problema de quiebra

Problema en sociología matemática.

Un problema de quiebra , ^[1] también llamado problema de reclamaciones , ^[2] es un problema de distribución de un bien homogéneo divisible (como el dinero) entre personas con diferentes reclamaciones . La atención se centra en el caso en que el importe es insuficiente para satisfacer todas las reclamaciones.

La solicitud canónica es una empresa en quiebra que va a ser liquidada . La empresa debe diferentes cantidades de dinero a diferentes acreedores , pero el valor total de los activos de la empresa es menor que su deuda total. El problema es cómo dividir el escaso dinero existente entre los acreedores.

Otra aplicación sería la división de una herencia entre varios herederos , especialmente cuando la herencia no puede hacer frente a todos los compromisos del causante.

Una tercera aplicación ^[2] es la liquidación fiscal . Se pueden considerar a los reclamantes como contribuyentes, los reclamos como los ingresos y la dotación como el ingreso total después de impuestos. Determinar la asignación del ingreso total después de impuestos equivale a determinar la asignación de los pagos de impuestos.

Definiciones

La cantidad disponible para dividir se denota por (=Patrimonio o Dotación). Hay n demandantes . Cada reclamante i tiene un reclamo indicado por . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c_{i}}$

Se supone que , es decir, las reclamaciones totales son (débilmente) mayores que el patrimonio. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$

Una regla de división es una función que asigna una instancia de problema a un vector tal que y para todo i . Es decir: cada reclamante recibe como máximo su derecho, y la suma de las asignaciones es exactamente el patrimonio E. ${\displaystyle (c_{1},\ldots ,c_{n},E)}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$ ${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}$

Generalizaciones

Existen variantes generalizadas en las que los créditos totales pueden ser menores que el patrimonio. En estas variantes generalizadas, no se supone ni se exige. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$ ${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}$

Otra generalización, inspirada en problemas realistas de quiebra, es agregar un orden de prioridad exógeno entre los reclamantes, que puede ser diferente incluso para reclamantes con reclamaciones idénticas. Este problema se llama problema de reclamaciones con prioridades . Otra variante se llama problema de reclamaciones con pesas.

Normas

En la práctica, existen varias reglas para resolver problemas de quiebra. ^[1]

• La regla proporcional divide el patrimonio proporcionalmente al reclamo de cada agente. Formalmente, cada reclamante i recibe , donde r es una constante elegida tal que . Denotamos el resultado de la regla proporcional por . ${\displaystyle r\cdot c_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r\cdot c_{i}=E}$ ${\displaystyle PROP(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}$
• Existe una variante llamada regla proporcional de reclamaciones truncadas , en la que cada reclamación mayor que E se trunca a E y luego se activa la regla proporcional. Es decir, es igual a , donde . ^[2] ${\displaystyle PROP(c_{1}',\ldots ,c_{n}',E)}$ ${\displaystyle c'_{i}:=\min(c_{i},E)}$
• La regla proporcional ajustada ^[3] da en primer lugar, a cada agente i , su derecho mínimo , que es la cantidad no reclamada por los demás agentes. Formalmente ,. Tenga en cuenta que eso implica . Luego, revisa el reclamo del agente i a y el patrimonio a . Tenga en cuenta que . Finalmente, activa la regla proporcional de reclamaciones truncadas, es decir, devuelve , donde . Con dos reclamantes, las reclamaciones revisadas son siempre iguales, por lo que el resto se divide en partes iguales. Con tres o más reclamantes, las reclamaciones revisadas pueden ser diferentes. ${\displaystyle m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$ ${\displaystyle m_{i}\leq c_{i}}$ ${\displaystyle c'_{i}:=c_{i}-m_{i}}$ ${\displaystyle E':=E-\sum _{i}m_{i}}$ ${\displaystyle E'\geq 0}$ ${\displaystyle TPROP(c_{1},\ldots ,c_{n},E')=PROP(c_{1}'',\ldots ,c_{n}'',E')}$ ${\displaystyle c''_{i}:=\min(c'_{i},E')}$
• La regla restringida de adjudicación igualitaria divide el patrimonio en partes iguales entre los agentes, asegurando que nadie obtenga más de lo que reclama. Formalmente, cada reclamante i recibe , donde r es una constante elegida tal que . Denotamos el resultado de esta regla por . En el contexto de la tributación, se le conoce como impuesto de nivelación . ^[2] ${\displaystyle \min(c_{i},r)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\min(c_{i},r)=E}$ ${\displaystyle CEA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}$
• La regla restringida de pérdidas iguales divide equitativamente la diferencia entre el reclamo agregado y el patrimonio, asegurando que ningún agente termine con una transferencia negativa. Formalmente, cada reclamante i recibe , donde r se elige de modo que . Esta regla fue discutida por Maimónides . ^[4] En el contexto tributario, se le conoce como impuesto de capitación . ${\displaystyle \max(0,c_{i}-r)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\max(0,c_{i}-r)=E}$
• La regla de la prenda impugnada (también llamada regla del Talmud ) utiliza la regla CEA en la mitad de los reclamos si el patrimonio es menor que la mitad del reclamo total; de lo contrario, otorga a cada reclamante la mitad de sus reclamaciones y aplica la regla CEL. Formalmente, si entonces ; De lo contrario, . ${\displaystyle 2E<\sum _{i=1}^{n}c_{i}}$ ${\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$ ${\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=c/2+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))}$
• A Piniles se le atribuye la siguiente regla ^[2] . ^[5] Si la suma de reclamaciones es mayor que 2 E , entonces aplica la regla CEA a la mitad de las reclamaciones, es decir, devuelve  ; En caso contrario, le da a cada agente la mitad de su reclamo y luego aplica CEA sobre el resto, es decir, devuelve . ${\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$ ${\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}$
• La regla igualitaria restringida ^[6] funciona de la siguiente manera. Si la suma de las reclamaciones es mayor que 2 E , entonces aplica la regla CEA a la mitad de las reclamaciones, dando a cada reclamante i . De lo contrario, le da a cada agente i . En ambos casos, r es una constante elegida de modo que la suma de las asignaciones sea igual a E. ${\displaystyle \min(c_{i}/2,r)}$ ${\displaystyle \max(c_{i}/2,\min(c_{i},r))}$
• La regla de llegada aleatoria funciona de la siguiente manera. Supongamos que los reclamantes llegan uno por uno. Cada reclamante recibe todo su reclamo, hasta el monto disponible. La regla devuelve el promedio de los vectores de asignación resultantes cuando el orden de llegada se elige uniformemente al azar. ^[7] Formalmente:

${\displaystyle RA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in {\text{permutations}}}\min(c_{i},\max(0,E-\sum _{\pi (j)<\pi (i)}c_{j}))}$.

Reglas de quiebra y juegos cooperativos.

juegos de negociación

Es posible asociar cada problema de quiebra con un problema de negociación cooperativa y utilizar una regla de negociación para resolver el problema de quiebra. Entonces:

• La solución de negociación de Nash corresponde a la regla de igualdad de premios restringida ; ^[8]
• La solución de negociación lexicográfica-igualitaria también corresponde a la regla de igualdad restringida de premios; ^[2]
• La solución de negociación ponderada de Nash , con pesos iguales a las reclamaciones, corresponde a la regla proporcional ; ^[8]
• La solución de negociación Kalai-Smorodinsky corresponde a la regla proporcional de reclamaciones truncadas; ^[8]
• La solución de negociación extendida de pérdidas iguales corresponde a la regla de reclamaciones truncadas restringidas de pérdidas iguales. ^[2]

Juegos de coalición

Es posible asociar cada problema de quiebra con un juego cooperativo en el que el valor de cada coalición es su derecho mínimo : la cantidad que esta coalición puede asegurarse si todos los demás demandantes obtienen su reclamo completo (es decir, la cantidad que esta coalición puede obtener). sin acudir a los tribunales). Formalmente, el valor de cada subconjunto S de reclamantes es . El juego resultante es convexo , ^[4] por lo que su núcleo no está vacío. Se puede utilizar un concepto de solución para juegos cooperativos para resolver el correspondiente problema de quiebra. Cada regla de división que depende únicamente de las reclamaciones truncadas corresponde a una solución de juego cooperativo. En particular: ${\displaystyle v(S):=\max \left(0,~E-\sum _{j\not \in S}c_{j}\right)}$

• El valor de Shapley corresponde a la regla de llegada aleatoria; ^[7]
• El prenucleolo corresponde a la regla del Talmud; ^[4]
• La solución de Dutta-Ray corresponde a la regla de igualdad de premios restringida; ^[9]
• La solución del valor Tau corresponde a la regla proporcional ajustada. ^[3]

Una forma alternativa de asociar un problema de reclamaciones con un juego cooperativo ^[10] es su derecho máximo : la cantidad que esta coalición puede asegurarse si todos los demás reclamantes abandonan sus reclamaciones: . ${\displaystyle v(S):=\min \left(E,\sum _{j\in S}c_{j}\right)}$

Propiedades de las reglas de división

En la mayoría de los entornos, las reglas de división suelen ser necesarias para satisfacer las siguientes propiedades básicas: ^[2]

• Viabilidad : la suma de las asignaciones es como máximo el patrimonio total . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\leq E}$
• Eficiencia : más fuerte que viabilidad: la suma de las asignaciones es igual al patrimonio total . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$
• No negatividad : cada reclamante debe recibir una cantidad no negativa . ${\displaystyle \forall i:x_{i}\geq 0}$
• Limitación de las reclamaciones : cada reclamante debe obtener como máximo su reclamación . ${\displaystyle \forall i:x_{i}\leq c_{i}}$
• Derechos mínimos : más fuerte que la no negatividad: cada reclamante debe obtener al menos su derecho mínimo, que es lo que queda si todos los demás agentes obtienen sus derechos completos: . ${\displaystyle \forall i:x_{i}\geq m_{i},{\text{ where }}m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})}$
  • Tenga en cuenta que la eficiencia, la no negatividad y la limitación de las reclamaciones implican derechos mínimos.
• Igualdad de trato entre iguales (ETE) : dos solicitantes con reclamaciones idénticas deberían recibir asignaciones idénticas: . En problemas generalizados de reclamaciones con prioridades , se requiere que el trato igualitario entre iguales sea válido para los agentes de cada clase de prioridad, pero no para los agentes de diferentes clases de prioridad. ${\displaystyle c_{i}=c_{j}\implies x_{i}=x_{j}}$
• Igualdad de trato a grupos iguales : más fuerte que ETE: dos subconjuntos de solicitantes con el mismo reclamo total deberían recibir la misma asignación total.
• Anonimato : más fuerte que ETE: si permutamos el vector de reclamaciones, entonces el vector de asignaciones se permuta en consecuencia.
• Preservación del orden : más fuerte que ETE: los agentes con reclamaciones débilmente más altas deberían obtener débilmente más y deberían perder débilmente más: . ${\displaystyle c_{i}\geq c_{j}\implies (x_{i}\geq x_{j}{\text{ and }}c_{i}-x_{i}\geq c_{j}-x_{j})}$
• Preservación del orden de grupo : más fuerte que la ETE de grupo y la preservación del orden: requiere la preservación del orden entre cada dos subconjuntos de agentes.

Ver también

• Derecho (división justa)
• Corte de pastel proporcional con diferentes derechos
• Problema de quiebra estratégica

Referencias

1. Alcalde, José; Peris, Josep E. (17 de febrero de 2017). "Iguales premios frente a iguales pérdidas en problemas de quiebra". SSRN . doi :10.2139/ssrn.2919582. S2CID  158036131. ​​SSRN  2919582.
2. Thomson, William (1 de julio de 2003). "Análisis axiomático y de teoría de juegos de los problemas de quiebras y tributación: una encuesta". Ciencias Sociales Matemáticas . 45 (3): 249–297. doi :10.1016/S0165-4896(02)00070-7. ISSN  0165-4896.
3. Curiel, IJ; Maschler, M.; Tijs, SH (1 de septiembre de 1987). "Juegos de quiebras". Zeitschrift für Investigación de operaciones . 31 (5): A143 – A159. doi :10.1007/BF02109593. ISSN  1432-5217. S2CID  206811949.
4. Aumann, Robert J; Maschler, Michael (1 de agosto de 1985). "Análisis de la teoría de juegos de un problema de quiebra del Talmud". Revista de teoría económica . 36 (2): 195–213. doi :10.1016/0022-0531(85)90102-4. ISSN  0022-0531.
5. Piniles, Zvi Menahem (1863). Darkah Shel Torah (hebreo). Viena: Forester.
6. Chun, Youngsub; Schummer, James; Thomson, William (1998). "Igualitarismo restringido: una nueva solución para los problemas de reclamaciones". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
7. O'Neill, Barry (1 de junio de 1982). "Un problema de arbitraje de derechos desde el Talmud". Ciencias Sociales Matemáticas . 2 (4): 345–371. doi :10.1016/0165-4896(82)90029-4. hdl : 10419/220805 . ISSN  0165-4896.
8. Dagan, Nir; Volij, Oscar (1 de noviembre de 1993). "El problema de la quiebra: un enfoque de negociación cooperativa". Ciencias Sociales Matemáticas . 26 (3): 287–297. doi :10.1016/0165-4896(93)90024-D. ISSN  0165-4896.
9. Dutta, Bhaskar; Ray, Debraj (1989). "Un concepto de igualitarismo bajo restricciones de participación". Econométrica . 57 (3): 615–635. doi :10.2307/1911055. ISSN  0012-9682. JSTOR  1911055.
10. Driessen, Theo (1995). "Un análisis de la teoría de juegos alternativa de un problema de quiebra del Talmud: el caso del codicioso juego de la quiebra". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )

• Reglas aditivas en problemas de quiebra y otros problemas relacionados
• El problema de la quiebra: un enfoque de negociación cooperativa