Normativa sobre prendas de vestir controvertida

Orientación sobre bancarrotas para judíos

La regla de la prenda impugnada (CG) , ^[1] también llamada conceder y dividir , ^[2] es una regla de división para resolver problemas de reclamaciones en conflicto (también llamados " problemas de quiebra "). La idea es que, si la reclamación de un reclamante es inferior al 100% del patrimonio a dividir, entonces efectivamente concede el patrimonio no reclamado al otro reclamante. Por lo tanto, primero le damos a cada reclamante la cantidad que le concedió el otro reclamante. Luego, la cantidad restante se divide en partes iguales entre los dos reclamantes.

La regla de la CG apareció por primera vez en la Mishná , ejemplificada por un caso de conflicto sobre una prenda de vestir, de ahí el nombre. En la Mishná, se la describió sólo para problemas entre dos personas. Pero en 1985, Robert Aumann y Michael Maschler demostraron que, en cada problema de quiebra, existe una división única que es consistente con la regla de la CG para cada par de demandantes. ^[1] Llamaron a la regla que selecciona esta división única la regla de la CG consistente (también se la llama regla del Talmud ). ^[2]

Descripción del problema

Existe un recurso divisible, denotado por (= Patrimonio o Dotación). Hay n personas que reclaman este recurso o partes de él; se les llama reclamantes . La cantidad reclamada por cada reclamante i se denota por . Por lo general, , es decir, el patrimonio es insuficiente para satisfacer todas las reclamaciones. El objetivo es asignar a cada reclamante una cantidad tal que . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}>E}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$

Dos demandantes

Con dos demandantes, la regla CG funciona de la siguiente manera.

• Truncar cada reclamación sobre el patrimonio (ya que no se puede reclamar más que todo el patrimonio). Es decir, establecer para cada reclamante i . ${\displaystyle c_{i}':=\min(c_{i},E)}$
• Asignar al reclamante 1 una cantidad , es decir, la cantidad no reclamada por 2. ${\displaystyle E-c_{2}'}$
• Asignar al reclamante 2 una cantidad , es decir, la cantidad no reclamada por 1. ${\displaystyle E-c_{1}'}$
• El resto es ; dividirlo equitativamente entre los reclamantes. ${\displaystyle E-(E-c_{2}')-(E-c_{1}')=c_{1}'+c_{2}'-E}$

Sumando las cantidades entregadas a cada reclamante, podemos escribir la siguiente fórmula:

${\displaystyle CG(c_{1},c_{2};E)=\left({\frac {E+c_{1}'-c_{2}'}{2}}~,~{\frac {E+c_{2}'-c_{1}'}{2}}\right)}$

Por ejemplo:

• Si y , entonces ambos reclamantes obtienen 1/2, es decir, . ${\displaystyle E=1}$ ${\displaystyle c_{1}=c_{2}=1}$ ${\displaystyle CG(1,1;1)=(1/2,1/2)}$
• Si y y . entonces el reclamante 1 obtiene 3/4 y el reclamante 2 obtiene 1/4, es decir, . ${\displaystyle E=1}$ ${\displaystyle c_{1}=1}$ ${\displaystyle c_{2}=1/2}$ ${\displaystyle CG(1,1/2;1)=(3/4,1/4)}$

Estos dos ejemplos se mencionan por primera vez en la primera Mishná de Bava Metzia : ^[3]

"Dos tienen en la mano una prenda de vestir. Uno dice: "La encontré", y el otro dice: "La encontré":

• Si uno dice: "Todo es mío" y el otro dice: "Todo es mío", entonces éste jurará que no es menos de la mitad de ello, y éste jurará que no es menos de la mitad de ello, y lo dividirán entre ambos.
• "Si uno dice: "todo es mío" y el otro dice: "la mitad es mía", entonces el que dice: "todo es mío" deberá jurarse que posee no menos de las tres cuartas partes; y el que dice: "la mitad es mía" deberá jurarse que posee no menos de la cuarta parte; el primero toma las tres cuartas partes y el segundo toma la cuarta parte."

Muchos demandantes

Para extender la regla de CG a problemas con tres o más demandantes, aplicamos el principio general de consistencia (también llamado coherencia ), que dice que cada parte de una división justa debe ser justa. ^[4] En particular, buscamos una asignación que respete la regla de CG para cada par de demandantes. Es decir, para cada demandante i y j :

${\displaystyle (x_{i},x_{j})=CG(c_{i},c_{j};x_{i}+x_{j})}$.

A priori, no está claro que dicha asignación exista siempre, o que sea única. Sin embargo, se puede demostrar que siempre existe una asignación única consistente con CG. ^[1] Se puede describir mediante el siguiente algoritmo:

• Si (es decir, el patrimonio total es menor que la mitad del total de las reclamaciones), entonces aplique la regla de adjudicaciones iguales restringidas a la mitad de las reclamaciones, es decir, devuelva . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}>2E}$ ${\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$
• De lo contrario, dar a cada reclamante la mitad de su reclamo y luego aplicar la regla de pérdidas iguales restringidas al resto, es decir, devolver . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\leq 2E}$ ${\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))}$

Obsérvese que, con dos reclamantes, una vez que los reclamos se truncan para que sean, como máximo, el patrimonio, la condición siempre se cumple. Por ejemplo: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\leq 2E}$

• ${\displaystyle CG(1,1/2;1)=(1/2,1/4)+CEL(1/2,1/4;1/4)=(1/2,1/4)+(1/4,0)=(3/4,1/4)}$.

A continuación se presentan algunos ejemplos de tres demandantes:

• ${\displaystyle CG(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)}$;Aquí se utiliza CEA.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;200)=(50,75,75)}$;Aquí se utiliza CEA.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;300)=(50,100,150)}$; aquí se puede utilizar tanto CEA como CEL (el resultado es el mismo); cuando la suma de los reclamos es exactamente la mitad del patrimonio, cada reclamante obtiene exactamente la mitad de su reclamo.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;400)=(50,125,225)}$;aquí se utiliza CEL.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;500)=(66.667,166.667,266.667)}$;aquí se utiliza CEL.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;600)=(100,200,300)}$;aquí se utiliza CEL.

Los primeros tres ejemplos aparecen en otra Mishná, en Ketubot : ^[5]

"Supongamos que un hombre, que estaba casado con tres mujeres, murió; el contrato matrimonial de una esposa era por 100 dinares, y el contrato matrimonial de la segunda esposa era por 200 dinares, y el contrato matrimonial de la tercera esposa era por 300, y los tres contratos se emitieron en la misma fecha de modo que ninguna de las esposas tiene precedencia sobre ninguna de las otras.

• Si el valor total del patrimonio es de sólo 100 dinares, las esposas dividen el patrimonio en partes iguales.
• Si el patrimonio era de 200 dinares, la primera esposa se lleva 50 dinares, mientras que las otras dos esposas se llevan tres dinares de oro cada una, lo que equivale a 75 dinares de plata.
• "Si en la herencia había 300 dinares, la primera esposa toma 50 dinares, la segunda toma 100 dinares y la tercera toma seis dinares de oro, el equivalente a 150 dinares de plata".

Descripción constructiva

La regla de CG puede describirse de manera constructiva. Supongamos que E aumenta de 0 a la mitad de la suma de los reclamos: las primeras unidades se dividen en partes iguales, hasta que cada reclamante recibe . Luego, el reclamante con la menor se pone en espera, y las siguientes unidades se dividen en partes iguales entre los reclamantes restantes hasta que cada uno de ellos llega a la siguiente más pequeña . Luego, el reclamante con la segunda más pequeña también se pone en espera. Esto continúa hasta que el patrimonio se divide completamente, o cada reclamante obtiene exactamente . Si queda algo de patrimonio, entonces las pérdidas se dividen de manera simétrica, comenzando con un patrimonio igual a la suma de todos los reclamos, y disminuyendo hasta la mitad de esta suma. ${\displaystyle \min _{i}(c_{i}/2)}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}/2}$

Propiedades

La regla CG es autodual . Esto significa que trata las ganancias y las pérdidas simétricamente: divide las ganancias de la misma manera que divide las pérdidas. Formalmente: . ^{[1] [6]} ${\displaystyle CG(c,E)=c-CG(c,\sum c-E)}$

Análisis de teoría de juegos

La regla CG se puede derivar de forma independiente, como el núcleo de un determinado juego cooperativo definido en función de las reivindicaciones. ^[7]

La regla de Piniles

Zvi Menahem Piniles, un erudito judío del siglo XIX, presentó una regla diferente para explicar los casos en Ketubot. ^[8] Su regla es similar a la regla CG, pero no es consistente con la regla CG cuando hay dos demandantes. La regla funciona de la siguiente manera: ^[2]

• Si la suma de reclamaciones es mayor que 2 E , entonces aplica la regla CEA sobre la mitad de las reclamaciones, es decir, devuelve . ${\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$
• De lo contrario, le da a cada agente la mitad de su reclamo y luego aplica CEA sobre el resto, es decir, devuelve . ${\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}$

Ejemplos con dos demandantes:

• ${\displaystyle PINI(60,90;100)=(42.5,57.5)}$Inicialmente, los demandantes reciben (30,45). Las reclamaciones restantes son (30,45) y el patrimonio restante es 25, por lo que se divide en partes iguales.
• ${\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)}$Inicialmente, los demandantes reciben (25,50). Las reclamaciones restantes son (25,50) y el patrimonio restante es 25, por lo que se divide en partes iguales.
• ${\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)}$Inicialmente, los demandantes reciben (25,50). Las reclamaciones restantes son (25,50) y el patrimonio restante es 25, por lo que se divide en partes iguales.

Ejemplos con tres demandantes:

• ${\displaystyle PINI(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)}$. En este caso, la suma de las reclamaciones es más del doble del patrimonio, por lo que el resultado es . ${\displaystyle CEA(50,100,150;100)=(33.333,33.333,33.333)}$
• ${\displaystyle PINI(100,200,300;200)=(50,75,75)}$. Nuevamente la suma de las reclamaciones es más del doble del patrimonio, por lo que el resultado es . ${\displaystyle CEA(50,100,150;200)=(50,75,75)}$
• ${\displaystyle PINI(100,200,300;300)=(50,100,150)}$. Nuevamente la suma de las reclamaciones es más del doble del patrimonio, por lo que el resultado es . ${\displaystyle CEA(50,100,150;300)=(50,100,150)}$

Lectura adicional

• Steven Landsburg , Que el rabino reparta el pastel: la sabiduría talmúdica aplicada a la bancarrota

Referencias

1. Aumann, Robert J; Maschler, Michael (1985-08-01). "Análisis teórico de juegos de un problema de bancarrota a partir del Talmud". Journal of Economic Theory . 36 (2): 195–213. doi :10.1016/0022-0531(85)90102-4. ISSN  0022-0531.
2. William, Thomson (1 de julio de 2003). "Análisis axiomático y teórico de juegos de los problemas de bancarrota e impuestos: una encuesta". Ciencias Sociales Matemáticas . 45 (3): 249–297. doi :10.1016/S0165-4896(02)00070-7. ISSN  0165-4896.
3. Biblia Metzia 1:1.
4. Balinski, Michel (1 de junio de 2005). "¿Qué es justo?". The American Mathematical Monthly . 112 (6): 502–511. doi :10.1080/00029890.2005.11920221. ISSN  0002-9890. S2CID  32125041.
5. Ketubot 10:4
6. Dagan, Nir (1996). "Nuevas caracterizaciones de las antiguas normas de quiebra". Social Choice and Welfare . 13 : 51–59. CiteSeerX 10.1.1.319.3243 . doi :10.1007/BF00179098. S2CID  18151768. 
7. Robert J. Aumann, Teoría de juegos en el Talmud, 2002
8. Piniles, Zvi Menahem (1863). Darkah Shel Torah (hebreo). Viena: Forester.