División justa de un único recurso homogéneo

La división justa de un único recurso homogéneo es una de las soluciones más sencillas en los problemas de división justa . Hay un único recurso que debe dividirse entre varias personas. El problema es que cada persona obtiene una utilidad diferente de cada cantidad del recurso. Por lo tanto, hay varios principios en conflicto para decidir cómo debe dividirse el recurso. Un conflicto principal es entre la eficiencia y la igualdad. La eficiencia está representada por la regla utilitaria , que maximiza la suma de utilidades; la igualdad está representada por la regla igualitaria , que maximiza la utilidad mínima. ^{[1] : sub.2.5}

Configuración

En una sociedad determinada existen:

• ${\displaystyle t}$unidades de algún recurso divisible.
• ${\displaystyle n}$agentes con diferentes "utilidades".
• La utilidad del agente está representada por una función ; cuando el agente recibe unidades de recurso, deriva de ello una utilidad de . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$

Esta configuración puede tener varias interpretaciones. Por ejemplo: ^{[1] : 44}

• El recurso es madera, los agentes son constructores y las funciones de utilidad representan su poder productivo: es la cantidad de edificios que el agente puede construir utilizando unidades de madera. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$
• El recurso es un medicamento, los agentes son los pacientes y las funciones de utilidad representan su probabilidad de recuperación: es la probabilidad de que el agente se recupere al recibir dosis del medicamento. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$

En cualquier caso, la sociedad tiene que decidir cómo dividir el recurso entre los agentes: tiene que encontrar un vector tal que: ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n}=t}$

Reglas de asignación

Libre de envidia

La regla de ausencia de envidia establece que el recurso debe asignarse de tal manera que ningún agente envidie a otro. En el caso de un único recurso homogéneo, siempre se selecciona la asignación que otorga a cada agente la misma cantidad del recurso, independientemente de su función de utilidad:

${\displaystyle \forall i:y_{i}=t/n}$

Utilitario

La regla utilitarista dice que la suma de utilidades debe maximizarse. Por lo tanto, la asignación utilitarista es:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\sum _{i}u_{i}(y_{i})}$

Igualitario

La regla igualitaria dice que las utilidades de todos los agentes deben ser iguales. Por lo tanto, nos gustaría seleccionar una asignación que satisfaga:

${\displaystyle \forall i,j:u_{i}(y_{i})=u_{j}(y_{j})}$

Sin embargo, es posible que dicha asignación no exista, ya que los rangos de las funciones de utilidad podrían no superponerse (ver el ejemplo a continuación). Para garantizar que exista una solución, permitimos diferentes niveles de utilidad, pero exigimos que los agentes con niveles de utilidad superiores al mínimo no reciban recursos:

${\displaystyle y_{i}>0\implies u_{i}(y_{i})=\min _{j}u_{j}(y_{j})}$

De manera equivalente, la asignación igualitaria maximiza la utilidad mínima:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\min _{i}u_{i}(y_{i})}$

Las reglas utilitaristas e igualitarias pueden dar lugar a la misma asignación o a asignaciones diferentes, según las funciones de utilidad. A continuación se ilustran algunos ejemplos.

Ejemplos

Utilidad común y dotaciones desiguales

Supongamos que todos los agentes tienen la misma función de utilidad, , pero cada agente tiene una dotación inicial diferente, . Por lo tanto, la utilidad de cada agente viene dada por: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=u(x_{i}+y_{i})}$

Si es una función cóncava , que representa rendimientos decrecientes , entonces las asignaciones utilitarias e igualitarias son las mismas: intentan igualar las dotaciones de los agentes. Por ejemplo, si hay 3 agentes con dotaciones iniciales y la cantidad total es , entonces ambas reglas recomiendan la asignación , ya que ambas empujan hacia utilidades iguales (tanto como sea posible) y maximizan la suma de utilidades. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x=2,4,9}$ ${\displaystyle t=8}$ ${\displaystyle y=5,3,0}$

Por el contrario, si es una función convexa , que representa rendimientos crecientes , entonces la asignación igualitaria todavía empuja hacia la igualdad, pero la asignación utilitaria ahora otorga toda la dotación al agente más rico: . ^{[1] : 45} Esto tiene sentido, por ejemplo, cuando el recurso es un medicamento escaso: puede ser socialmente mejor dar todos los medicamentos al paciente con mayores posibilidades de curación. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y=0,0,9}$

Razones de utilidad constantes

Supongamos que existe una función de utilidad común , pero cada agente tiene un coeficiente diferente que representa la productividad de ese agente. Por lo tanto, la utilidad de cada agente viene dada por: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=a_{i}\cdot u(y_{i})}$

En este caso, los enfoques utilitaristas e igualitarios son diametralmente opuestos. ^{[1] : 46–47}

• La asignación igualitaria da más recursos a los agentes menos productivos, para compensarlos y permitirles alcanzar un alto nivel de utilidad:

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{j}>y_{i}}$

• La asignación utilitaria otorga más recursos a los agentes más productivos, ya que utilizarán mejor los recursos:

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{i}>y_{j}}$

Propiedades de las reglas de asignación

• Monotonía de recursos : la regla de no envidia y la regla igualitaria son siempre monotónicas en cuanto a recursos. La regla utilitaria es monotónica en cuanto a recursos cuando todas las funciones de utilidad son funciones cóncavas , que representan rendimientos decrecientes ; pero, cuando algunas funciones de utilidad son funciones convexas , que representan rendimientos crecientes , la regla utilitaria podría no ser monotónica en cuanto a recursos. ^{[1] : 47}

Véase también

• Utilitarismo
• Igualitarismo

Referencias

1. Herve Moulin (2004). División justa y bienestar colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.