Principio de redundancia (biología)

Principio en biología

El principio de redundancia en biología ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} expresa la necesidad de muchas copias de la misma entidad ( células , moléculas , iones ) para cumplir una función biológica . Los ejemplos son numerosos: números desproporcionados de espermatozoides durante la fertilización en comparación con un óvulo, gran número de neurotransmisores liberados durante la comunicación neuronal en comparación con el número de receptores , grandes cantidades de iones de calcio liberados durante el transitorio en las células, y muchos más en la transducción molecular y celular o la activación genética y la señalización celular . Esta redundancia es particularmente relevante cuando los sitios de activación están separados físicamente de la posición inicial de los mensajeros moleculares. La redundancia a menudo se genera con el propósito de resolver la restricción de tiempo de las vías de activación rápida. Puede expresarse en términos de la teoría de las estadísticas extremas para determinar sus leyes y cuantificar cómo se seleccionan los caminos más cortos. El objetivo principal es estimar estos grandes números a partir de principios físicos y derivaciones matemáticas.

Cuando una gran distancia separa la fuente y el objetivo (un pequeño sitio de activación), el principio de redundancia explica que esta brecha geométrica puede ser compensada por un gran número. Si la naturaleza hubiera utilizado menos copias de lo normal, la activación habría llevado mucho más tiempo, ya que encontrar un objetivo pequeño por casualidad es un evento raro y cae en problemas de escape estrecho . ^[10]

Tasa molecular

El tiempo que tardan las partículas más rápidas en alcanzar un objetivo en el contexto de la redundancia depende de la cantidad y la geometría local del objetivo. En la mayoría de los casos, es la tasa de activación. Esta tasa debería utilizarse en lugar de la tasa clásica de Smoluchowski , que describe el tiempo medio de llegada, pero no la más rápida. Las estadísticas del tiempo mínimo de activación establecen leyes cinéticas en biología, que pueden ser bastante diferentes de las asociadas a los tiempos promedio.

Modelos físicos

Proceso estocástico

El movimiento de una partícula situada en la posición se puede describir mediante el límite de Smoluchowski de la ecuación de Langevin : ^{[11] [12]} ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)dt,}$

donde es el coeficiente de difusión de la partícula, es el coeficiente de fricción por unidad de masa, la fuerza por unidad de masa y es un movimiento browniano . Este modelo se utiliza clásicamente en simulaciones de dinámica molecular . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle B_{t}}$

Procesos de salto

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}={\begin{cases}x_{n}-a,&{\text{with probability }}l(x_{n})\\x_{n}+b,&{\text{ with probability }}r(x_{n})\end{cases}}\end{aligned}}}$, que es, por ejemplo, un modelo de la dinámica de la longitud de los telómeros . Aquí , con . ^[13] ${\displaystyle r(x)={\frac {1}{1+\beta x}},}$ ${\displaystyle r(x)+l(x)=1}$

Proceso de movimiento dirigido

${\displaystyle {\dot {X}}=v_{0}{\bf {u,}}}$donde es un vector unitario elegido de una distribución uniforme. Al chocar con un obstáculo en un punto límite , la velocidad cambia a donde se elige en la esfera unitaria en el semiespacio de soporte en de una distribución uniforme, independientemente de . Este modelo rectilíneo con velocidad constante es un modelo simplificado del movimiento del espermatozoide en un dominio acotado . Otros modelos pueden ser difusión en gráfico, movimiento de gráfico activo. ^[14] ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle X_{0}\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\dot {X}}=v_{0}{\bf {v,}}}$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Formulación matemática: Cálculo de la tasa de tiempo de llegada para el más rápido

El análisis matemático de grandes cantidades de moléculas, que obviamente son redundantes en la teoría de activación tradicional, se utiliza para calcular la escala de tiempo in vivo de las reacciones químicas estocásticas . El cálculo se basa en enfoques asintóticos o probabilísticos para estimar el tiempo medio de las moléculas más rápidas para alcanzar un objetivo pequeño en varias geometrías. ^{[15] [16] [17]}

Con N trayectorias brownianas iid no interactuantes (iones) en un dominio acotado Ω que se unen en un sitio, el tiempo de llegada más corto es por definición

${\displaystyle \tau ^{1}=\min(t_{1},\ldots ,t_{N}),}$donde son los tiempos de llegada independientes de los iones N en el medio. La distribución de supervivencia del tiempo de llegada del más rápido se expresa en términos de una sola partícula, . Aquí está la probabilidad de supervivencia de una sola partícula antes de unirse al objetivo. Esta probabilidad se calcula a partir de la solución de la ecuación de difusión en un dominio : ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle Pr(\tau ^{1}>t)}$ ${\displaystyle Pr(\tau ^{1}>t)=Pr^{N}(t_{1}>t)}$ ${\displaystyle Pr\{t_{1}>t\}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=D\Delta p(x,t){\hbox{ for }}x\in \Omega ,t>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x,0)=&p_{0}(x){\hbox{ for }}x\in \Omega \\{\frac {\partial p}{\partial n}}(x,t)&=0{\hbox{ for }}x\in \partial \Omega _{r}\\p(x,t)&=0{\hbox{ for }}x\in \partial \Omega _{a},\end{aligned}}}$

donde el límite contiene sitios de unión NR ( ). La probabilidad de supervivencia de una sola partícula es ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{i}\subset \partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{a}=\bigcup \limits _{i=1}^{N_{R}}\partial \Omega _{i},\ \partial \Omega _{r}=\partial \Omega -\partial \Omega _{a}}$

${\displaystyle \Pr\{t_{1}>t\}=\int \limits _{\Omega }p(x,t)dx,}$para que donde ${\displaystyle \Pr\{\tau ^{1}=t\}={\frac {d}{dt}}\Pr\{\tau ^{1}<t\}=N(\Pr\{t_{1}>t\})^{N-1}\Pr \limits \{t_{1}=t\},}$

${\displaystyle \Pr\{t_{1}=t\}={\oint _{\partial \Omega _{a}}}{\frac {\partial p(x,t)}{\partial n}}\,dS_{x}}$y . ${\displaystyle \Pr\{t_{1}=t\}=N_{R}{\oint _{\partial \Omega _{1}}}{\frac {\partial p(x,t)}{\partial n}}\,dS_{x}}$

La función de densidad de probabilidad (pdf) del tiempo de llegada es

${\displaystyle \Pr\{\tau ^{1}=t\}=NN_{R}\left[\int \limits _{\Omega }p(x,t)dx\right]^{N-1}\oint \limits _{\partial \Omega _{1}}{\frac {\partial p(x,t)}{\partial n}}dS_{x},}$que da el MFPT

${\displaystyle {\bar {\tau }}^{1}=\int \limits \limits _{0}^{\infty }\Pr\{\tau ^{1}>t\}dt=\int \limits _{0}^{\infty }\left[\Pr\{t_{1}>t\}\right]^{N}dt.}$La probabilidad se puede calcular utilizando asintóticas de corto plazo de la ecuación de difusión como se muestra en las siguientes secciones. ${\displaystyle \Pr\{t_{1}>t\}}$

Computación explícita en dimensión 1

La asintótica de corto plazo de la ecuación de difusión se basa en la aproximación del método de rayos. Para un semiintervalo , la función de densidad de probabilidad de supervivencia es la solución de ${\displaystyle [0,\infty [}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (x,t)}{\partial t}}&=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}}\quad {\mbox{ for }}x>0,\ t>0\\p(x,0)&=\delta (x-a)\quad {\mbox{ for }}\ x>0,\quad p(0,t)=0\quad {\mbox{ for }}t>0,\end{aligned}}}$

eso es ${\displaystyle p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4D\pi t}}}\left[\exp \left\{-{\frac {(x-a)^{2}}{4Dt}}\right\}-\exp \left\{-{\frac {(x+a)^{2}}{4Dt}}\right\}\right].}$

La probabilidad de supervivencia con D=1 es . Para calcular el MFPT, desarrollamos la función de error complementaria ${\displaystyle \Pr\{t_{1}>t\}=\int \limits \limits _{0}^{\infty }p(x,t)\,dx=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits \limits _{a/{\sqrt {4t}}}^{\infty }e^{-u^{2}}\,du}$

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits \limits _{x}^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1-{\frac {1}{2x^{2}}}+O(x^{-4})\right)\quad {\mbox{for}}\ x\gg 1,}$lo cual da , ${\displaystyle {\bar {\tau }}^{1}=\int \limits \limits _{0}^{\infty }\left[\Pr\{t_{1}>t\}\right]^{N}dt\approx \int \limits \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{N\ln \left(1-{\frac {e^{-(a/{\sqrt {4t}})^{2}}}{(a/{\sqrt {4t}}){\sqrt {\pi }}}}\right)\right\}\,dt\approx {\frac {a^{2}}{4}}\int \limits \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{-N{\frac {{\sqrt {u}}e^{-{\frac {1}{u}}}}{\sqrt {\pi }}}\right\}du}$

líder (la contribución principal de la integral está cerca de 0) a ${\displaystyle {\bar {\tau }}^{1}\approx {\frac {a^{2}}{4D\ln {\frac {N}{\sqrt {\pi }}}}}\quad {\mbox{for}}\ N\gg 1.}$

Este resultado recuerda al uso de la ley de Gumbel. De manera similar, el escape del intervalo [0,a] se calcula a partir de la suma infinita

${\displaystyle p(x,t\,|\,y)={\frac {1}{\sqrt {4D\pi t}}}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\left[\exp \left\{-{\frac {(x-y+2na)^{2}}{4t}}\right\}-\exp \left\{-{\frac {(x+y+2na)^{2}}{4t}}\right\}\right]}$La probabilidad de supervivencia condicional se aproxima mediante ^[1]

${\displaystyle \Pr\{t_{1}>t\,|\,y\}=\int \limits \limits _{0}^{a}p(x,t\,|\,y)\,dxds\sim 1-\max {\frac {2{\sqrt {t}}}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {e^{-y^{2}/4t}}{y}},{\frac {e^{-(a-y)^{2}/4t}}{a-y}}\right]\quad {\mbox{as}}\ t\to 0}$, donde el máximo ocurre en min[y,ay] para 0<y<a (el rayo más corto desde y hasta el límite). Todas las demás integrales se pueden calcular explícitamente, lo que conduce a ${\displaystyle \delta =}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}^{1}=\int \limits \limits _{0}^{\infty }\left[\Pr\{t_{1}>t\}\right]^{N}dt\approx \int \limits \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{N\ln \left(1-{\frac {8{\sqrt {t}}}{\delta {\sqrt {\pi }}}}e^{-\delta ^{2}/16t}\right)\right\}dt\approx {\frac {\delta ^{2}}{16D\ln {\frac {2N}{\sqrt {\pi }}}}}\quad {\mbox{for}}\ N\gg 1.}$

Tiempos de llegada de los más rápidos en dimensiones superiores

Los tiempos de llegada de los más rápidos entre muchos movimientos brownianos se expresan en términos de la distancia más corta desde la fuente S hasta la ventana absorbente A, medida por la distancia donde d es la distancia euclidiana asociada . Curiosamente, las trayectorias seguidas por los más rápidos son lo más cercanas posible a las trayectorias óptimas. En lenguaje técnico, las trayectorias asociadas de los más rápidos entre N, se concentran cerca de la trayectoria óptima (camino más corto) cuando el número N de partículas aumenta. Para un coeficiente de difusión D y una ventana de tamaño a, los primeros tiempos de llegada esperados de N partículas brownianas distribuidas de manera idéntica e independiente, inicialmente posicionadas en la fuente S, se expresan en las siguientes fórmulas asintóticas: ${\displaystyle \delta _{min}=d(S,A),}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}^{d1}\approx {\frac {\delta _{min}^{2}}{4D\ln \left({\frac {N}{\sqrt {\pi }}}\right)}},{\hbox{in dim 1, valid for}}N\gg 1,}$

${\textstyle {\bar {\tau }}^{d2}\approx {\frac {\delta _{min}^{2}}{4D\log \left({\frac {\pi {\sqrt {2}}N}{8\log \left({\frac {1}{a}}\right)}}\right)}},{\hbox{ in dim 2 for }}{\frac {N}{\log({\frac {1}{\epsilon }})}}\gg 1,}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}^{d3}\approx {\frac {\delta _{min}^{2}}{4D{\log \left(N{\frac {4a^{2}}{\pi ^{1/2}\delta _{min}^{2}}}\right)}}},{\hbox{ in dim }}3,{\hbox{ for }}{\frac {Na^{2}}{\delta _{min}^{2}}}\gg 1.}$

Estas fórmulas muestran que el tiempo de llegada esperado de la partícula más rápida está en dimensión 1 y 2, O(1/\log(N)). Se deben utilizar en lugar de la velocidad de avance clásica en los modelos de activación en reacciones bioquímicas. El método para derivar fórmulas se basa en la representación asintótica de tiempo corto y la función de Green de la ecuación de Helmholtz. Nótese que otras distribuciones podrían conducir a otras desintegraciones con respecto a N.

Caminos óptimos

Minimizar la ruta óptima en N grandes

Las trayectorias óptimas para el más rápido pueden encontrarse utilizando la función de Wencell-Freidlin en la teoría de grandes desviaciones. Estas trayectorias corresponden a las asintóticas de corto plazo de la ecuación de difusión desde una fuente hasta un objetivo. En general, la solución exacta es difícil de encontrar, especialmente para un espacio que contiene diversas distribuciones de obstáculos.

La representación integral de Wiener de la función de densidad de probabilidad para un movimiento browniano puro se obtiene para una deriva cero y una constante de tensor de difusión, de modo que está dada por la probabilidad de una trayectoria muestreada hasta que sale de la ventana pequeña en el tiempo aleatorio T ${\displaystyle \sigma =D}$ ${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$

${\displaystyle Pr\{x_{N}(t_{1,M})\in \Omega ,{x}_{N}(t_{2,M})\in \Omega ,\dots ,x_{M}(t)=x,t\leq T\leq t+\Delta t|x(0)=y\}}$

${\displaystyle =[\int \limits _{\Omega }\cdots \int \limits \limits _{\Omega }\prod _{j=1}^{M}{\frac {d{y}_{j}}{\sqrt {(2\pi \Delta t)^{n}\det {\sigma }(x)(t_{j-1,M}))}}}\exp\{-{\frac {1}{2\Delta t}}\left[{y}_{j}-x(t_{j-1,N})-{a}({x}(t_{j-1,N}))\Delta t\right]^{T}{\sigma }^{-1}(x(t_{j-1,N}))\left[{y}_{j}-x(t_{j-1,N})-{a}(x(t_{j-1,N}))\Delta t\right]\}}$

dónde

${\displaystyle \Delta t=t/M,t_{j,N}=j\Delta t,\ x(t_{0,N})=y{\hbox{ and }}{y}_{j}=x(t_{j,N})}$en el producto y T es el tiempo de salida en la estrecha ventana de absorción Finalmente, ${\displaystyle \partial \Omega _{a}.}$

${\displaystyle \langle \tau ^{(n)}\rangle =\int \limits \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{n\log \int \limits _{\Omega }p(x,t|y)\,dx\right\}dt=\int _{0}^{\infty }\tau _{\sigma }Pr\{{\hbox{ Path }}\sigma \in S_{n}(y),\tau _{\sigma }=t\}dt,}$

donde es el conjunto de caminos más cortos seleccionados entre n trayectorias brownianas, comenzando en el punto y y saliendo entre el tiempo t y t+dt del dominio . La probabilidad se utiliza para mostrar que las trayectorias estocásticas empíricas de se concentran cerca de los caminos más cortos que comienzan en y y terminan en la pequeña ventana absorbente , bajo la condición de que . Los caminos de se pueden aproximar utilizando líneas discretas discontinuas entre un número finito de puntos y denotamos el conjunto asociado por . La regla de Bayes conduce a donde es la probabilidad de que un camino de   salga en m-pasos de tiempo discretos. Un camino hecho de líneas discontinuas (caminata aleatoria con un paso de tiempo ) se puede expresar utilizando la integral de caminos de Wiener. La probabilidad de un camino browniano x(s) se puede expresar en el límite de una integral de caminos con la funcional: ${\displaystyle S_{n}(y)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Pr\{{\hbox{ Path }}\sigma \in S_{n}\}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$ ${\displaystyle \epsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$ ${\displaystyle S_{n}(y)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{n}(y)}$ ${\displaystyle Pr\{{\hbox{ Path }}\sigma \in {\tilde {S}}_{n}(y)|t<\tau _{\sigma }<t+dt\}=\sum _{m=0}^{\infty }Pr\{{\hbox{ Path }}\sigma \in {\tilde {S}}_{n}(y)|m,t<\tau _{\sigma }<t+dt\}Pr\{m{\mbox{ steps}}\}}$ ${\displaystyle Pr\{m{\mbox{ steps}}\}=Pr\{{\mbox{the paths of }}{\tilde {S}}_{n}(y){\mbox{exit in m steps}}\}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{n}(y)}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle Pr\{x(s)|s\in [0,t]\}\approx \exp \left(-\int _{0}^{t}|{\dot {x}}|^{2}ds\right).}$

La probabilidad de supervivencia condicionada a comenzar en y viene dada por la representación de Wiener:

${\displaystyle S(t|x_{0})=\int _{x\in \Omega }dx\int _{x(0)}^{x(t)=x}{\mathcal {D}}(x)\exp \left(-\int _{0}^{t}|{\dot {x}}|^{2}ds\right),}$

donde es la medida límite de Wiener: la integral exterior se toma sobre todos los puntos finales x y la integral de trayectoria es sobre todas las trayectorias que comienzan desde x(0). Cuando consideramos trayectorias n-independientes (formadas por puntos con un paso de tiempo que salen en m pasos), la probabilidad de tal evento es ${\displaystyle {\mathcal {D}}(x)}$ ${\displaystyle (\sigma _{1},..\sigma _{n})}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle Pr\{\sigma _{1},..\sigma _{n}\in S_{n}(y)|m,\tau _{\sigma }=m\Delta t\}=\left(\int \limits _{y_{0}=y}\cdots \int \limits _{{y}_{j}\in \Omega }\int \limits _{{y}_{n}\in \partial \Omega _{a}}{\frac {1}{(4D\Delta t)^{dm/2}}}\prod _{j=1}^{m}\exp {\Bigg \{}-{\frac {1}{4D\Delta t}}\left[|{y}_{j}-{y}_{j-1})|^{2}\right]\}\right)^{n}}$ ${\displaystyle \approx \left({\frac {1}{(4D\Delta t)^{dm/2}}}\right)^{n}\int _{x}{\mathcal {D}}(x)\exp {\Bigg \{}-n\int \limits _{0}^{m\Delta t}{\dot {x}}^{2}ds{\Bigg \}}}$De hecho, cuando hay n caminos de m pasos, y el más rápido escapa en m pasos, todos deberían salir en m pasos. Utilizando el límite de la integral de caminos, obtenemos heurísticamente la representación

${\displaystyle Pr\{{\hbox{ Path }}\sigma \in {\tilde {S}}_{n}(y)|m,\tau _{\sigma }=m\Delta t\}=\left(\int \limits _{{y}_{0}=y}\cdots \int \limits _{{y}_{j}\in \Omega }\int \limits _{{y}_{n}\in \partial \Omega _{a}}{\frac {1}{(4D\Delta t)^{dm/2}}}\prod _{j=1}^{m}\exp(-{\frac {1}{4D\Delta t}}\left[|{y}_{j}-{y}_{j-1})|^{2}\right])\right)^{n}}$

${\displaystyle \approx \int _{x\in \Omega }dx\int _{x(0)=y}^{x(t)=x}{D}(x)\exp(-n\int \limits _{0}^{m\Delta t}{\dot {x}}^{2}ds),}$

donde la integral se toma sobre todos los caminos que comienzan en y(0) y terminan en el tiempo . Esta fórmula sugiere que cuando n es grande, solo los caminos que minimizan el integrante contribuirán. Para n grande, esta fórmula sugiere que los caminos que contribuirán más son los que minimizarán el exponente, lo que permite seleccionar los caminos para los cuales el funcional de energía es mínimo, es decir ${\displaystyle m\Delta t}$

${\displaystyle E=\min _{X\in {\mathcal {P}}_{t}}\int \limits _{0}^{T}{\dot {x}}^{2}ds,}$

donde la integración se realiza sobre el conjunto de caminos regulares internos que comienzan en y y salen en , definido como ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{t}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{T}=\{P(0)=y,P(T)\in \partial \Omega _{a}{\hbox{ and }}P(s)\in \Omega {\hbox{ and }}0\leq s\leq T\}.}$

Este argumento formal muestra que los caminos aleatorios asociados al tiempo de salida más rápido se concentran cerca de los caminos más cortos. De hecho, las ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema extremal son las geodésicas clásicas entre y y un punto en la ventana estrecha . ${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$

El escape más rápido de una cúspide en dos dimensiones

La fórmula para el escape más rápido se puede generalizar al caso en el que la ventana absorbente está ubicada en la cúspide del embudo y las partículas iniciales se distribuyen fuera de la cúspide. La cúspide tiene un tamaño en la abertura y una curvatura R. El coeficiente de difusión es D. El tiempo de llegada más corto, válido para n grande, está dado por Aquí y c es una constante que depende del diámetro del dominio. El tiempo que tardan los primeros en llegar es proporcional al recíproco del tamaño del objetivo estrecho . Esta fórmula se deriva para geometría fija y n grande y no en el límite opuesto de n grande y épsilon pequeña. ^[18] ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \tau ^{(n)}\approx {\frac {\pi ^{2}R^{3}}{4\epsilon D({\frac {1-\cos(c{\sqrt {\tilde {\epsilon }}})}{\tilde {\epsilon }}})^{2}\log({\frac {2n}{\sqrt {\pi }}})}}.}$ ${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}={\frac {\epsilon }{R}}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Observaciones finales

No está claro cómo la naturaleza determina la cantidad desproporcionada de partículas, pero se puede averiguar utilizando la teoría de la difusión. Un ejemplo es la cantidad de neurotransmisores (entre 2000 y 3000) liberados durante la transmisión sináptica, que se configuran para compensar el bajo número de copias de receptores, de modo que la probabilidad de activación se restablezca a uno. ^{[19] [20]}

En los procesos naturales, estas grandes cantidades no deberían considerarse un desperdicio, sino que son necesarias para generar la respuesta más rápida posible y hacer posibles eventos raros que de otra manera nunca ocurrirían. Esta propiedad es universal y abarca desde la escala molecular hasta el nivel de población. ^[21]

La estrategia de la naturaleza para optimizar el tiempo de respuesta no está necesariamente definida por la física del movimiento de una partícula individual, sino más bien por las estadísticas extremas, que seleccionan los caminos más cortos. Además, la búsqueda de un pequeño sitio de activación selecciona la partícula que llega primero: aunque estas trayectorias son raras, son las que establecen la escala de tiempo. Tal vez debamos reconsiderar nuestra estimación de los números al puntuar a la naturaleza de acuerdo con el principio redundante que cuantifica la solicitud para lograr la función biológica. ^[21]

Referencias

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