En geometría , el teorema de clausura de Poncelet , también conocido como porismo de Poncelet , establece que siempre que un polígono esté inscrito en una sección cónica y circunscriba otra, el polígono debe ser parte de una familia infinita de polígonos que estén todos inscritos y circunscriban las mismas dos cónicas. [1] [2] Recibe su nombre en honor al ingeniero y matemático francés Jean-Victor Poncelet , quien escribió sobre él en 1822; [3] sin embargo, el caso triangular fue descubierto significativamente antes, en 1746 por William Chapple . [4]
El porismo de Poncelet se puede demostrar mediante un argumento que utiliza una curva elíptica , cuyos puntos representan una combinación de una línea tangente a una cónica y un punto de cruce de esa línea con la otra cónica.
Sean C y D dos cónicas planas . Si es posible encontrar, para un número dado de n > 2, un polígono de n lados que esté simultáneamente inscrito en C (es decir, que todos sus vértices estén en C ) y circunscrito en D (es decir, que todas sus aristas sean tangentes a D ), entonces es posible encontrar un número infinito de ellos. Cada punto de C o D es un vértice o una tangencia (respectivamente) de uno de dichos polígonos.
Si las cónicas son círculos , los polígonos que están inscritos en un círculo y circunscritos al otro se llaman polígonos bicéntricos , por lo que este caso especial del porismo de Poncelet se puede expresar de forma más concisa diciendo que todo polígono bicéntrico es parte de una familia infinita de polígonos bicéntricos con respecto a los mismos dos círculos. [5] : p. 94
Consideremos C y D como curvas en el plano proyectivo complejo P 2 . Para simplificar, supongamos que C y D se encuentran transversalmente (lo que significa que cada punto de intersección de los dos es un cruce simple). Entonces, por el teorema de Bézout , la intersección C ∩ D de las dos curvas consta de cuatro puntos complejos. Para un punto arbitrario d en D , sea ℓ d la línea tangente a D en d . Sea X la subvariedad de C × D que consta de ( c , d ) tal que ℓ d pasa por c . Dado c , el número de d con ( c , d ) ∈ X es 1 si c ∈ C ∩ D y 2 en caso contrario. Por lo tanto, la proyección X → C ≃ P 1 presenta a X como una cobertura de grado 2 ramificada por encima de 4 puntos, por lo que X es una curva elíptica (una vez que fijamos un punto base en X ). Sea la involución de X enviando una general ( c , d ) al otro punto ( c , d ′) con la misma primera coordenada. Cualquier involución de una curva elíptica con un punto fijo, cuando se expresa en la ley de grupo, tiene la forma x → p − x para algún p , por lo que tiene esta forma. De manera similar, la proyección X → D es un morfismo de grado 2 ramificado sobre los puntos de contacto en D de las cuatro líneas tangentes tanto a C como a D , y la involución correspondiente tiene la forma x → q − x para algún q . Por lo tanto, la composición es una traslación en X . Si una potencia de tiene un punto fijo, esa potencia debe ser la identidad. Traducido de nuevo al lenguaje de C y D , esto significa que si un punto c ∈ C (equipado con un d) da lugar a una órbita que se cierra (es decir, da lugar a un n -gono), entonces lo mismo ocurre con cada punto. Los casos degenerados en los que C y D no son transversales se deducen de un argumento límite.
