Polinomios diferenciales

En matemáticas , en el área de análisis complejo , los polinomios diferenciales generales son una secuencia polinómica , una cierta subclase de los polinomios de Sheffer , que incluyen los polinomios de Newton , los polinomios de Selberg y los polinomios de interpolación de Stirling como casos especiales.

Definición

La secuencia polinomial diferencial general está dada por

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}$

donde es el coeficiente binomial . Para , los polinomios generados son los polinomios de Newton ${\displaystyle {z \choose n}}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}$

El caso de genera los polinomios de Selberg, y el caso de genera los polinomios de interpolación de Stirling. ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \beta =-1/2}$

Diferencias en movimiento

Dada una función analítica , defina la diferencia móvil de f como ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

donde es el operador de diferencia hacia delante . Entonces, siempre que f cumpla ciertas condiciones de sumabilidad, entonces puede representarse en términos de estos polinomios como ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}$

Las condiciones de sumabilidad (es decir, convergencia) para esta secuencia son un tema bastante complejo; en general, se puede decir que una condición necesaria es que la función analítica sea de tipo menor que exponencial . Las condiciones de sumabilidad se analizan en detalle en Boas & Buck.

Función generadora

La función generadora para los polinomios diferenciales generales está dada por

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

Esta función generadora se puede llevar a la forma de la representación generalizada de Appell.

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

estableciendo , , y . ${\displaystyle A(w)=1}$ ${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$ ${\displaystyle g(w)=t}$ ${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$

Véase también

• Teorema de Carlson
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo

Referencias

• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck , Expansiones polinomiales de funciones analíticas (segunda impresión corregida) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Número de tarjeta de la Biblioteca del Congreso 63-23263.