Polarización de una forma algebraica.

Técnica para expresar un polinomio homogéneo de una manera más sencilla uniendo más variables

En matemáticas , en particular en álgebra , la polarización es una técnica para expresar un polinomio homogéneo de una manera más simple uniendo más variables. Específicamente, dado un polinomio homogéneo, la polarización produce una forma multilineal simétrica única a partir de la cual se puede recuperar el polinomio original evaluando a lo largo de una determinada diagonal.

Aunque la técnica es engañosamente simple, tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas abstractas: en particular en la geometría algebraica , la teoría de invariantes y la teoría de la representación . La polarización y las técnicas relacionadas forman las bases de la teoría invariante de Weyl.

La técnica

Las ideas fundamentales son las siguientes. Sea un polinomio en variables Supongamos que es homogéneo de grado lo que significa que ${\displaystyle f(\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d,}$

$${\displaystyle f(t\mathbf {u} )=t^{d}f(\mathbf {u} )\quad {\text{ for all }}t.}$$

Sea una colección de indeterminados con lo que hay variables en total. La forma polar de es un polinomio. ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}=\left(u_{1}^{(i)},u_{2}^{(i)},\ldots ,u_{n}^{(i)}\right),}$ ${\displaystyle dn}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}\right)}$$

${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)},}$

$${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {u} \right)=f(\mathbf {u} ).}$$

La forma polar de viene dada por la siguiente construcción ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle F\left({\mathbf {u} }^{(1)},\dots ,{\mathbf {u} }^{(d)}\right)={\frac {1}{d!}}{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\dots {\frac {\partial }{\partial \lambda _{d}}}f(\lambda _{1}{\mathbf {u} }^{(1)}+\dots +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)})|_{\lambda =0}.}$$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{d}}$ ${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\mathbf {u} ^{(1)}+\cdots +\lambda _{d}\mathbf {u} ^{(d)}\right).}$

Ejemplos

Un ejemplo cuadrático. Supongamos que y es la forma cuadrática ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=x^{2}+3xy+2y^{2}.}$$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(1)}=\left(x^{(1)},y^{(1)}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(2)}=\left(x^{(2)},y^{(2)}\right)}$

$${\displaystyle F\left(\mathbf {x} ^{(1)},\mathbf {x} ^{(2)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}+{\frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y^{(1)}y^{(2)}.}$$

identidad de polarización ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Un ejemplo cúbico. Sea entonces la polarización de está dada por ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}.}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle F\left(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{(3)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2}{3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.}$$

Detalles matemáticos y consecuencias.

La polarización de un polinomio homogéneo de grado es válida sobre cualquier anillo conmutativo en el que se encuentre una unidad. En particular, se aplica a cualquier campo de característica cero o cuya característica sea estrictamente mayor que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d!}$ ${\displaystyle d.}$

El isomorfismo de polarización (por grado)

Para simplificar, sea un campo de característica cero y sea el anillo polinómico en variables sobre Luego se clasifica por grado , de modo que ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A=k[\mathbf {x} ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=\bigoplus _{d}A_{d}.}$$

$${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}k^{n}}$$

potencia simétrica ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k^{n}.}$

Estos isomorfismos se pueden expresar independientemente de una base de la siguiente manera. Si es un espacio vectorial de dimensión finita y es el anillo de funciones polinomiales valoradas en grados homogéneos, entonces la polarización produce un isomorfismo ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}V^{*}.}$$

El isomorfismo algebraico

Además, la polarización es compatible con la estructura algebraica de , de modo que ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A\cong \operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}}$$

simétrica completa? ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}.}$

Observaciones

• Para campos de característica positiva , se aplican los isomorfismos anteriores si las álgebras graduadas se truncan en el grado ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p-1.}$
• Existen generalizaciones cuando se trata de un espacio vectorial topológico de dimensión infinita . ${\displaystyle V}$

Ver también

• Función homogénea  – Función con comportamiento de escala multiplicativo

Referencias

• Claudio Procesi (2007) Grupos de mentira: una aproximación a través de invariantes y representaciones , Springer, ISBN  9780387260402 .