Pierpont principal

Número primo de la forma 2^u • 3^v + 1 para u, v > 0

En teoría de números , un primo de Pierpont es un número primo de la forma para algunos números enteros no negativos u y v . Es decir, son los números primos p para los cuales p − 1 es 3-suave . Reciben su nombre en honor al matemático James Pierpont , quien los utilizó para caracterizar los polígonos regulares que se pueden construir utilizando secciones cónicas . La misma caracterización se aplica a los polígonos que se pueden construir utilizando regla, compás y trisectriz de ángulos , o utilizando plegado de papel . $${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1\,}$$

A excepción de 2 y los primos de Fermat , todos los primos de Pierpont deben ser 1 módulo 6. Los primeros primos de Pierpont son:

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... (secuencia A005109 en la OEIS )

Se ha conjeturado que hay infinitos números primos de Pierpont, pero esto aún no ha sido demostrado.

Distribución

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Pierpont?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Un primo de Pierpont con v = 0 tiene la forma , y por lo tanto es un primo de Fermat (a menos que u = 0 ). Si v es positivo , entonces u también debe ser positivo (porque sería un número par mayor que 2 y, por lo tanto, no primo), y por lo tanto, todos los primos de Pierpont que no son de Fermat tienen la forma 6 k  + 1 , cuando k es un entero positivo (excepto 2, cuando u = v = 0 ). ${\displaystyle 2^{u}+1}$ ${\displaystyle 3^{v}+1}$

Distribución de los exponentes para los primos de Pierpont más pequeños

Empíricamente, los primos de Pierpont no parecen ser particularmente raros o escasamente distribuidos; hay 42 primos de Pierpont menores que 10 ⁶ , 65 menores que 10 ⁹ , 157 menores que 10 ²⁰ y 795 menores que 10 ¹⁰⁰ . Hay pocas restricciones de factorizaciones algebraicas sobre los primos de Pierpont, por lo que no hay requisitos como la condición de primo de Mersenne de que el exponente debe ser primo. Por lo tanto, se espera que entre números de n dígitos de la forma correcta , la fracción de estos que son primos debería ser proporcional a 1/ n , una proporción similar a la proporción de números primos entre todos los números de n dígitos. Como hay números de la forma correcta en este rango, debería haber primos de Pierpont. ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$ ${\displaystyle \Theta (n)}$

Andrew M. Gleason hizo explícito este razonamiento, conjeturando que hay infinitos primos de Pierpont, y más específicamente que debería haber aproximadamente 9 n primos de Pierpont hasta 10 ⁿ . ^[1] Según la conjetura de Gleason, hay primos de Pierpont menores que N , a diferencia del número conjetural más pequeño de primos de Mersenne en ese rango. ${\displaystyle \Theta (\log N)}$ ${\displaystyle O(\log \log N)}$

Prueba de primalidad

Cuando , es un número de Proth y, por lo tanto, su primalidad puede probarse mediante el teorema de Proth . Por otro lado, cuando son posibles pruebas de primalidad alternativas para basadas en la factorización de como un número par pequeño multiplicado por una gran potencia de 3 . ^[2] ${\displaystyle 2^{u}>3^{v}}$ ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle 2^{u}<3^{v}}$ ${\displaystyle M=2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle M-1}$

Primos de Pierpont encontrados como factores de números de Fermat

Como parte de la búsqueda mundial en curso de factores de números de Fermat , se han anunciado algunos primos de Pierpont como factores. La siguiente tabla ^[3] proporciona valores de m , k y n tales que

${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$es divisible por ${\displaystyle 3^{k}\cdot 2^{n}+1.}$

El lado izquierdo es un número de Fermat; el lado derecho es un primo de Pierpont.

A partir de 2023 ^[actualizar], el primo de Pierpont más grande conocido es 81 × 2 ^20498148 + 1 (6.170.560 dígitos decimales), cuya primalidad se descubrió en junio de 2023. ^[4]

Construcción de polígonos

En las matemáticas del plegado de papel , los axiomas de Huzita definen seis de los siete tipos de pliegue posibles. Se ha demostrado que estos pliegues son suficientes para permitir la construcción de los puntos que resuelven cualquier ecuación cúbica . ^[5] De ello se deduce que permiten formar cualquier polígono regular de N lados, siempre que N ≥ 3 y tenga la forma 2 ^m 3 ⁿ ρ , donde ρ es un producto de primos de Pierpont distintos. Esta es la misma clase de polígonos regulares que los que se pueden construir con compás , regla y trisectriz de ángulos . ^[1] Los polígonos regulares que se pueden construir solo con compás y regla ( polígonos construibles ) son el caso especial donde n  = 0 y ρ es un producto de primos de Fermat distintos , ellos mismos un subconjunto de los primos de Pierpont.

En 1895, James Pierpont estudió la misma clase de polígonos regulares; su trabajo es el que da el nombre a los primos de Pierpont. Pierpont generalizó las construcciones con compás y regla de una manera diferente, al añadir la capacidad de dibujar secciones cónicas cuyos coeficientes provienen de puntos construidos previamente. Como demostró, los N -gonos regulares que se pueden construir con estas operaciones son aquellos tales que el tociente de N es 3-suave. Como el tociente de un primo se forma restándole uno, los primos N para los que funciona la construcción de Pierpont son exactamente los primos de Pierpont. Sin embargo, Pierpont no describió la forma de los números compuestos con tocientes 3-suaves. ^[6] Como Gleason demostró más tarde, estos números son exactamente los de la forma 2 ^m 3 ⁿ ρ dada anteriormente. ^[1]

El primo más pequeño que no es de Pierpont (o de Fermat) es 11; por lo tanto, el endecágono es el primer polígono regular que no se puede construir con compás, regla y trisectriz de ángulos (ni con origami, ni con secciones cónicas). Todos los demás polígonos regulares N con 3 ≤ N ≤ 21 se pueden construir con compás, regla y trisectriz. ^[1]

Generalización

Un primo de Pierpont de segunda especie es un número primo de la forma 2 ^u 3 ^v − 1. Estos números son

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (secuencia A005105 en la OEIS )

Los mayores primos conocidos de este tipo son los primos de Mersenne ; actualmente el mayor conocido es (41.024.320 dígitos decimales). El mayor primo de Pierpont conocido del segundo tipo que no es un primo de Mersenne es , encontrado por PrimeGrid . ^[7] ${\displaystyle 2^{136279841}-1}$ ${\displaystyle 3\cdot 2^{22103376}-1}$

Un primo de Pierpont generalizado es un primo de la forma con k primos fijos p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Un primo de Pierpont generalizado de segunda especie es un primo de la forma con k primos fijos p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Como todos los primos mayores que 2 son impares , en ambas especies p ₁ debe ser 2. Las sucesiones de dichos primos en la OEIS son: ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1}$ ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1}$

Véase también

• El primo de Proth , los primos de la forma donde k y n son números enteros positivos, es impar y ${\displaystyle N=k\cdot 2^{n}+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2^{n}>k.}$

Referencias

1. Gleason, Andrew M. (1988), "Trisección de ángulos, heptágono y triscaidecágono", American Mathematical Monthly , 95 (3): 185–194, doi :10.2307/2323624, MR  0935432. Nota 8, pág. 191.
2. Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "Sobre la primalidad de ", Discrete Mathematics , 241 (1–3): 395–406, doi :10.1016/S0012-365X(01)00125-X, MR  1861431 ${\displaystyle 2h\cdot 3^{n}+1}$.
3. Wilfrid Keller, Estado de factorización de Fermat.
4. Caldwell, Chris, "Los números primos más grandes conocidos", The Prime Pages , consultado el 17 de junio de 2023; "La base de datos principal: 81*2^20498148+1", The Prime Pages , consultado el 17 de junio de 2023
5. Hull, Thomas C. (2011), "Resolver ecuaciones cúbicas con pliegues: el trabajo de Beloch y Lill", American Mathematical Monthly , 118 (4): 307–315, doi :10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, MR  2800341.
6. Pierpont, James (1895), "Sobre un teorema no demostrado de las Disquisitiones Arithmeticæ", Boletín de la American Mathematical Society , 2 (3): 77–83, doi : 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1 , MR  1557414.
7. 3*2^22103376 - 1 (6.653.780 dígitos decimales), de The Prime Pages .