Plano de fase

Representación visual utilizada en el análisis de sistemas de control no lineal

En matemáticas aplicadas , en particular en el contexto del análisis de sistemas no lineales , un plano de fase es una representación visual de ciertas características de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ; un plano de coordenadas cuyos ejes son los valores de las dos variables de estado, por ejemplo ( x , y ), o ( q , p ), etc. (cualquier par de variables). Es un caso bidimensional del espacio de fase general n -dimensional .

El método del plano de fases se refiere a determinar gráficamente la existencia de ciclos límite en las soluciones de la ecuación diferencial.

Las soluciones de la ecuación diferencial son una familia de funciones . Gráficamente, esto se puede representar en el plano de fase como un campo vectorial bidimensional . Se dibujan vectores que representan las derivadas de los puntos con respecto a un parámetro (por ejemplo, el tiempo t ), es decir ( dx / dt , dy / dt ), en puntos representativos. Con una cantidad suficiente de estas flechas en su lugar, se puede visualizar el comportamiento del sistema sobre las regiones del plano en análisis y se pueden identificar fácilmente los ciclos límite .

El campo entero es el retrato de fase , un camino particular tomado a lo largo de una línea de flujo (es decir, un camino siempre tangente a los vectores) es un camino de fase . Los flujos en el campo vectorial indican la evolución temporal del sistema que describe la ecuación diferencial.

De esta manera, los planos de fase son útiles para visualizar el comportamiento de los sistemas físicos ; en particular, de los sistemas oscilatorios como los modelos depredador-presa (ver ecuaciones de Lotka-Volterra ). En estos modelos, las trayectorias de fase pueden "entrar en espiral" hacia cero, "salir en espiral" hacia el infinito o alcanzar situaciones neutralmente estables llamadas centros, donde la trayectoria trazada puede ser circular, elíptica u ovoide, o alguna variante de las mismas. Esto es útil para determinar si la dinámica es estable o no. ^[1]

Otros ejemplos de sistemas oscilatorios son ciertas reacciones químicas con múltiples pasos, algunas de las cuales implican equilibrios dinámicos en lugar de reacciones que llegan a su fin. En tales casos, se puede modelar el aumento y la disminución de la concentración de reactivos y productos (o masa, o cantidad de sustancia) con las ecuaciones diferenciales correctas y un buen conocimiento de la cinética química . ^[2]

Ejemplo de un sistema lineal

Un sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales lineales se puede escribir en la forma: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=Ax+By\\{\frac {dy}{dt}}&=Cx+Dy\end{aligned}}}$

que puede organizarse en una ecuación matricial :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {v} .\end{aligned}}}$

donde A es la matriz de coeficientes 2 × 2 anterior, y v = ( x , y ) es un vector de coordenadas de dos variables independientes .

Estos sistemas pueden resolverse analíticamente, para este caso integrando: ^[3]

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {Cx+Dy}{Ax+By}}}$$

Aunque las soluciones son funciones implícitas en x e y , y son difíciles de interpretar. ^[1]

Resolver utilizando valores propios

Más comúnmente se resuelven con los coeficientes del lado derecho escritos en forma matricial utilizando valores propios λ , dados por el determinante :

${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}-\lambda \mathbf {I} \right)=0}$

y vectores propios :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

Los valores propios representan las potencias de los componentes exponenciales y los vectores propios son coeficientes. Si las soluciones se escriben en forma algebraica, expresan el factor multiplicativo fundamental del término exponencial. Debido a la no unicidad de los vectores propios, cada solución obtenida de esta manera tiene constantes indeterminadas c ₁ , c ₂ , …, c _n .

La solución general es:

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.}$

donde λ ₁ y λ ₂ son los valores propios, y ( k ₁ , k ₂ ), ( k ₃ , k ₄ ) son los vectores propios básicos. Las constantes c ₁ y c ₂ explican la no unicidad de los vectores propios y no son solucionables a menos que se dé una condición inicial para el sistema.

El determinante anterior conduce al polinomio característico :

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0}$

que es simplemente una ecuación cuadrática de la forma:

${\displaystyle \lambda ^{2}-p\lambda +q=0}$

donde ("tr" denota traza ) y $${\displaystyle p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,}$$ $${\displaystyle q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.}$$

La solución explícita de los valores propios se da entonces mediante la fórmula cuadrática :

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,}$

dónde $${\displaystyle \Delta =p^{2}-4q\,.}$$

Vectores propios y nodos

Los vectores propios y los nodos determinan el perfil de las trayectorias de fase, proporcionando una interpretación gráfica de la solución del sistema dinámico, como se muestra a continuación.

Clasificación de los puntos de equilibrio de un sistema autónomo lineal . ^[1] Estos perfiles también surgen para sistemas autónomos no lineales en aproximaciones linealizadas.

El plano de fase se configura primero dibujando líneas rectas que representan los dos vectores propios (que representan situaciones estables en las que el sistema converge hacia esas líneas o se aleja de ellas). Luego, el plano de fase se traza utilizando líneas continuas en lugar de líneas discontinuas en el campo de dirección. Los signos de los valores propios indican el comportamiento del plano de fase:

• Si los signos son opuestos, la intersección de los vectores propios es un punto de silla .
• Si ambos signos son positivos, los vectores propios representan situaciones estables de las cuales el sistema se aleja y la intersección es un nodo inestable .
• Si ambos signos son negativos, los vectores propios representan situaciones estables hacia las que converge el sistema y la intersección es un nodo estable .

Lo anterior se puede visualizar recordando el comportamiento de los términos exponenciales en soluciones de ecuaciones diferenciales.

Valores propios repetidos

Este ejemplo cubre únicamente el caso de valores propios reales e independientes. Los valores propios reales y repetidos requieren resolver la matriz de coeficientes con un vector desconocido y el primer vector propio para generar la segunda solución de un sistema de dos por dos. Sin embargo, si la matriz es simétrica, es posible utilizar el vector propio ortogonal para generar la segunda solución.

Valores propios complejos

Los valores y vectores propios complejos generan soluciones en forma de senos y cosenos , así como exponenciales. Una de las simplicidades de esta situación es que solo se necesita uno de los valores y vectores propios para generar el conjunto completo de soluciones para el sistema.

Véase también

• Línea de fase , caso unidimensional
• Espacio de fases , caso n -dimensional
• Retrato de fase

Referencias

1. DW Jordan; P. Smith (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: Introducción para científicos e ingenieros (4.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.
2. KT Alligood; TD Sauer; JA Yorke (1996). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Springer. ISBN 978-0-38794-677-1.
3. WE Boyce; RC Diprima (1986). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (4.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.

Enlaces externos

• Universidad Lamar, Notas de matemáticas en línea: Plano de fases, P. Dawkins
• Universidad Lamar, Apuntes de Matemáticas en Línea - Sistemas de Ecuaciones Diferenciales, P. Dawkins
• Descripción general del método del plano de fase