Integral de Pettis

En matemáticas , la integral de Pettis o integral de Gelfand–Pettis , llamada así por Israel M. Gelfand y Billy James Pettis , extiende la definición de la integral de Lebesgue a funciones vectoriales en un espacio de medida , explotando la dualidad . La integral fue introducida por Gelfand para el caso en que el espacio de medida es un intervalo con medida de Lebesgue . La integral también se denomina integral débil en contraste con la integral de Bochner , que es la integral fuerte.

Definición

Sea donde es un espacio de medida y es un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuo que separa puntos (es decir, si es distinto de cero entonces existe algún tal que ), por ejemplo, es un espacio normado o (de manera más general) es un TVS localmente convexo de Hausdorff . La evaluación de un funcional puede escribirse como un emparejamiento de dualidad : ${\displaystyle f:X\to V}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle l\in V'}$ ${\displaystyle l(x)\neq 0}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}$$

El mapa se llama ${\displaystyle f:X\to V}$Débilmente medible si para todoslos mapas de valores escalareses unmapa medible.Se dice que un mapa débilmente medible es ${\displaystyle \varphi \in V',}$ ${\displaystyle \varphi \circ f}$ ${\displaystyle f:X\to V}$débilmente integrable en ${\displaystyle X}$si existe algunotal que para todoel mapa escalarseaintegrable según Lebesgue(es decir,) y ${\displaystyle e\in V}$ ${\displaystyle \varphi \in V',}$ ${\displaystyle \varphi \circ f}$ ${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$ $${\displaystyle \varphi (e)=\int _{X}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

Se dice que el mapa es ${\displaystyle f:X\to V}$Pettis es integrable sipara todoy también para cadaexiste un vectortal que ${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle e_{A}\in V}$ $${\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'.}$$

En este caso, se llama ${\displaystyle e_{A}}$Integral de Pettis deLasnotaciones comunes para la integral de Pettisincluyen ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle e_{A}}$ $${\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{and, in case that}}~A=X~{\text{is understood,}}\quad \mu [f].}$$

Para entender la motivación detrás de la definición de "débilmente integrable", considere el caso especial donde es el campo escalar subyacente; es decir, donde o En este caso, cada funcional lineal en es de la forma para algún escalar (es decir, es solo una multiplicación escalar por una constante), la condición se simplifica a En particular, en este caso especial, es débilmente integrable en si y solo si es integrable de Lebesgue. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi (y)=sy}$ ${\displaystyle s\in V}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all}}~\varphi \in V',}$$ $${\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all scalars}}~s.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Relación con la integral de Dunford

Se dice que el mapa es ${\displaystyle f:X\to V}$Dunford integrable sipara todosy también para cadaexiste un vectorllamado ${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle d_{A}\in V'',}$Integral dedetal que donde ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'}$$ ${\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =d_{A}(\varphi ).}$

Identificar cada vector con el mapa funcional escalar en definido por Esta asignación induce un mapa llamado mapa de evaluación canónica y a través de él, se identifica como un subespacio vectorial del doble dual El espacio es un espacio semirreflexivo si y solo si este mapa es sobreyectivo . El es integrable de Pettis si y solo si para cada ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x).}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V''.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f:X\to V}$ ${\displaystyle d_{A}\in V}$ ${\displaystyle A\in \Sigma .}$

Propiedades

Una consecuencia inmediata de la definición es que las integrales de Pettis son compatibles con los operadores lineales continuos: Si es lineal y continua y es integrable en Pettis, entonces es integrable en Pettis también y ${\displaystyle \Phi \colon V_{1}\to V_{2}}$ ${\displaystyle f\colon X\to V_{1}}$ ${\displaystyle \Phi \circ f}$ $${\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}$$

La estimación estándar para funciones de valores reales y complejos se generaliza a las integrales de Pettis en el siguiente sentido: Para todas las seminormas continuas y todos los integrables de Pettis , se cumple. El lado derecho es la integral de Lebesgue inferior de una función de valores reales, es decir, Es necesario tomar una integral de Lebesgue inferior porque el integrando puede no ser medible. Esto se desprende del teorema de Hahn-Banach porque para cada vector debe haber una funcional continua tal que y para todos , . Al aplicar esto a se obtiene el resultado. $${\displaystyle \left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leq \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)}$$ ${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon X\to V}$ $${\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leq {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)}$$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ $${\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ is measurable and }}0\leq h\leq g\right\}.}$$ ${\displaystyle p\circ f}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \varphi (v)=p(v)}$ ${\displaystyle w\in V}$ ${\displaystyle |\varphi (w)|\leq p(w)}$ ${\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }$

Teorema del valor medio

Una propiedad importante es que la integral de Pettis con respecto a una medida finita está contenida en el cierre de la envoltura convexa de los valores escalados por la medida del dominio de integración: $${\displaystyle \mu (A)<\infty {\text{ implies }}\int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {\operatorname {co} (f(A))}}}$$

Esta es una consecuencia del teorema de Hahn-Banach y generaliza el teorema del valor medio para integrales de funciones de valores reales : Si , entonces los conjuntos convexos cerrados son simplemente intervalos y para , se cumplen las siguientes desigualdades: ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon X\to [a,b]}$ $${\displaystyle \mu (A)a~\leq ~\int _{A}f\,d\mu ~\leq ~\mu (A)b.}$$

Existencia

Si es de dimensión finita, entonces es integrable según Pettis si y sólo si cada una de las coordenadas de es integrable según Lebesgue. ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Si es integrable de Pettis y es un subconjunto medible de , entonces por definición y también son integrables de Pettis y ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{|A}\colon A\to V}$ ${\displaystyle f\cdot 1_{A}\colon X\to V}$ $${\displaystyle \int _{A}f_{|A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .}$$

Si es un espacio topológico, su Borel -álgebra , una medida de Borel que asigna valores finitos a subconjuntos compactos, es cuasi-completa (es decir, toda red de Cauchy acotada converge) y si es continua con soporte compacto, entonces es integrable según Pettis. De manera más general: Si es débilmente medible y existe un conjunto compacto, convexo y nulo tal que , entonces es integrable según Pettis. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C\subseteq V}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq C}$ ${\displaystyle f}$

Ley de los grandes números para variables aleatorias integrables de Pettis

Sea un espacio de probabilidad y sea un espacio vectorial topológico con un espacio dual que separa los puntos. Sea una secuencia de variables aleatorias integrables por Pettis y escriba para la integral de Pettis de (sobre ). Nótese que es un vector (no aleatorio) en y no es un valor escalar. ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{n}:\Omega \to V}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$ ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$ ${\displaystyle V,}$

Sea la media de la muestra. Por linealidad, ¿es Pettis integrable? $${\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}}$$ ${\displaystyle {\bar {v}}_{N}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}$$

Supongamos que las sumas parciales convergen absolutamente en la topología de en el sentido de que todos los reordenamientos de la suma convergen a un solo vector. La ley débil de los grandes números implica que para cada funcional En consecuencia, en la topología débil de $${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}$$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \lambda \in V.}$ ${\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{*}.}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }$ ${\displaystyle X.}$

Sin más suposiciones, es posible que no converja a ^{[ cita requerida ]} Para obtener una convergencia fuerte, son necesarias más suposiciones. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}$ ${\displaystyle \lambda .}$

Véase también

• Función medible de Bochner
• Integral de Bochner  : generalización de la integral de Lebesgue a funciones con valores en el espacio de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de Bochner  – Tipo de espacio topológico
• Medida vectorial
• Función débilmente medible

Referencias

• James K. Brooks, Representaciones de integrales débiles y fuertes en espacios de Banach , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América 63, 1969, 266–270. Texto completo MR 0274697
• Israel M. Gel'fand , Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires , Commun. Inst. Ciencia. Matemáticas. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Matemáticas. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl  0014.16202
• Michel Talagrand , Teoría de la medida e integral de Pettis , Memorias de la AMS n.° 307 (1984) MR 0756174
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Integral de Pettis", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press