Espacio semirreflexivo

En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , un espacio semirreflexivo es un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) X tal que el mapa de evaluación canónica de X a su bidual (que es el dual fuerte de X ) es biyectivo. Si este mapa es también un isomorfismo de TVS, entonces se llama reflexivo .

Los espacios semirreflexivos juegan un papel importante en la teoría general de los TVS localmente convexos . Dado que un TVS normal es semirreflexivo si y sólo si es reflexivo, el concepto de semirreflexividad se utiliza principalmente con TVS que no son normales.

Definición y notación

Breve definición

Supongamos que X es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo (que son los números reales o complejos) cuyo espacio dual continuo , separa puntos en X (es decir , para cualquiera existe algo tal que ). Sea y ambos denotan el dual fuerte de X , que es el espacio vectorial de funcionales lineales continuos en X dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de X ; Esta topología también se denomina topología dual fuerte y es la topología "predeterminada" colocada en un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si X es un espacio normado, entonces el dual fuerte de X es el espacio dual continuo con su topología normal habitual. El bidual de X , denotado por , es el dual fuerte de ; es decir, es el espacio . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Para cualquiera, definamos por , donde se denomina mapa de evaluación en x ; como es necesariamente continuo, se deduce que . Dado que separa puntos en X , el mapa definido por es inyectivo donde este mapa se llama mapa de evaluación o mapa canónico . Este mapa fue introducido por Hans Hahn en 1927. ^[2] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$

Llamamos a X semirreflexivo si es biyectivo (o equivalentemente, sobreyectivo ) y llamamos a X reflexivo si además es un isomorfismo de TVS. ^[1] Si X es un espacio normado, entonces J es una incrustación de TVS así como una isometría en su rango; además, según el teorema de Goldstine (probado en 1938), el rango de J es un subconjunto denso del bidual . ^[2] Un espacio normal es reflexivo si y sólo si es semirreflexivo. Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si su bola unitaria cerrada es compacta. ^[2] ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$

Definición detallada

Sea X un espacio vectorial topológico sobre un campo numérico (de números reales o complejos ). Considere su espacio dual fuerte , que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte , es decir, la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados en X. El espacio es un espacio vectorial topológico (para ser más precisos, un espacio localmente convexo), por lo que se puede considerar su espacio dual fuerte , que se denomina espacio bidual fuerte para X. Consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con una topología fuerte . Cada vector genera un mapa mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

Este es un funcional lineal continuo en , es decir, . Se obtiene un mapa llamado mapa de evaluación o inyección canónica : ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

que es un mapa lineal. Si X es localmente convexo, del teorema de Hahn-Banach se deduce que J es inyectivo y abierto (es decir, para cada vecindad de cero en X hay una vecindad de cero V tal que ). Pero puede ser no sobreyectivo y/o discontinuo. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Un espacio localmente convexo se denomina semirreflexivo si el mapa de evaluación es sobreyectivo (por tanto, biyectivo); se llama reflexivo si el mapa de evaluación es sobreyectivo y continuo, en cuyo caso J será un isomorfismo de TVS ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Caracterizaciones de espacios semirreflexivos.

Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces lo siguiente es equivalente:

1. X es semirreflexivo;
2. la topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil , todo subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Si la forma lineal en ese continuo tiene la topología dual fuerte, entonces es continua cuando tiene la topología débil; ^[3] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$está en forma de barril , donde indica la topología de Mackey en ; ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
5. X débil la topología débil es casi completa . ^[3] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

Teorema ^[4]  —  Un espacio de Hausdorff localmente convexo es semirreflexivo si y sólo si con la topología tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, los subconjuntos débilmente cerrados y acotados de son débilmente compactos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

Todo espacio semi-Montel es semi-reflexivo y todo espacio Montel es reflexivo.

Propiedades

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica desde su bidual es una incrustación topológica si y solo si está infrabarrilada. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El dual fuerte de un espacio semirreflexivo está en forma de cañón . Todo espacio semirreflexivo es casi completo . ^[3] Todo espacio normado semi-reflexivo es un espacio de Banach reflexivo. ^[6] El dual fuerte de un espacio semirreflexivo está en forma de barril. ^[7]

Espacios reflexivos

Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces lo siguiente es equivalente:

1. X es reflexivo ;
2. X es semirreflexivo y abultado ;
3. X tiene un cañón y la topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (lo que significa que para la topología débil , cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
4. X es semirreflexivo y cuasibarril . ^[8]

Si X es un espacio normado , entonces lo siguiente es equivalente:

1. X es reflexivo;
2. la bola unitaria cerrada es compacta cuando X tiene la topología débil . ^[9] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
3. X es un espacio de Banach y es reflexivo. ^[10] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Ejemplos

Todo espacio de Banach de dimensión infinita no reflexivo es un espacio distinguido que no es semirreflexivo. ^[11] Si es un subespacio vectorial propio denso de un espacio de Banach reflexivo, entonces es un espacio normado que no es semirreflexivo pero su espacio dual fuerte es un espacio de Banach reflexivo. ^{[11] Existe un} espacio semirreflexivo con forma de cañón contable que no tiene cañón . ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Espacio de Grothendieck : una generalización que tiene algunas de las propiedades de los espacios reflexivos e incluye muchos espacios de importancia práctica.
• Álgebra de operadores reflexivos
• Espacio reflexivo

Citas

1. Trèves 2006, págs. 372–374.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs.
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 144.
4. Edwards 1965, 8.4.2.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 488–491.
6. Schaefer y Wolff 1999, pág. 145.
7. Edwards 1965, 8.4.3.
8. Khaleelulla 1982, págs. 32–63.
9. Tréves 2006, pag. 376.
10. Tréves 2006, pag. 377.
11. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.

Bibliografía

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• John B. Conway , Un curso de análisis funcional , Springer, 1985.
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