Mapa perfecto

Mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras son también conjuntos compactos

En matemáticas , especialmente en topología , una función perfecta es un tipo particular de función continua entre espacios topológicos . Las funciones perfectas son más débiles que los homeomorfismos , pero lo suficientemente fuertes como para preservar algunas propiedades topológicas, como la compacidad local , que no siempre se conservan en las funciones continuas.

Definición formal

Sean y espacios topológicos y sea una función de a que es continua , cerrada , sobreyectiva y tal que cada fibra es compacta en relación con para cada en . Entonces se conoce como función perfecta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos y propiedades

1. Si es un mapa perfecto y es compacto , entonces es compacto. ${\displaystyle p\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
2. Si es una función perfecta y es regular , entonces es regular. (Si es meramente continua, entonces incluso si es regular, no necesita ser regular. Un ejemplo de esto es si es un espacio regular y es un conjunto infinito en la topología indiscreta). ${\displaystyle p\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. Si es un mapa perfecto y si es localmente compacto , entonces es localmente compacto. ${\displaystyle p\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
4. Si es un mapa perfecto y si es segundo contable, entonces es segundo contable . ${\displaystyle p\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
5. Toda función inyectiva perfecta es un homeomorfismo . Esto se deduce del hecho de que una función cerrada biyectiva tiene una inversa continua.
6. Si es una función perfecta y si es conexa , entonces no es necesario que sea conexa. Por ejemplo, la función constante de un espacio compacto no conectado a un espacio singleton es una función perfecta. ${\displaystyle p\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
7. Una función perfecta no necesita ser abierta. De hecho, considere la función dada por if y if . Esta función es cerrada, continua (por el lema de pegado ) y sobreyectiva y, por lo tanto, es una función perfecta (la otra condición se satisface trivialmente). Sin embargo, p no es abierta, ya que la imagen de [1, 2] bajo p es [1, 2] que no es abierta en relación con [1, 3] (el rango de p ). Nótese que esta función es una función cociente y la operación cociente es 'pegar' dos intervalos juntos. ${\displaystyle p\colon [1,2]\cup [3,4]\to [1,3]}$ ${\displaystyle p(x)=x}$ ${\displaystyle x\in [1,2]}$ ${\displaystyle p(x)=x-1}$ ${\displaystyle x\in {}[3,4]}$
8. Observe cómo, para preservar propiedades como la conectividad local , la segunda contabilidad, la compacidad local , etc., la función no solo debe ser continua sino también abierta. Una función perfecta no necesita ser abierta (ver el ejemplo anterior), pero estas propiedades aún se conservan en funciones perfectas.
9. Todo homeomorfismo es una función perfecta. Esto se deduce del hecho de que una función abierta biyectiva es cerrada y que, puesto que un homeomorfismo es inyectivo, la inversa de cada elemento del rango debe ser finita en el dominio (de hecho, la inversa debe tener precisamente un elemento).
10. Toda función perfecta es una función cociente. Esto se deduce del hecho de que una función sobreyectiva cerrada y continua es siempre una función cociente.
11. Sea G un grupo topológico compacto que actúa continuamente sobre X. Entonces la función cociente de X a X / G es una función perfecta.
12. Los mapas perfectos son propios . Los mapas propios sobreyectivos son perfectos, siempre que la topología de Y sea de Hausdorff y se genere de forma compacta. ^[1]

Véase también

• Mapas abiertos y cerrados  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)
• Espacio cociente  – Construcción del espacio topológico
• Mapa propio  – Mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacto

Referencias

1. "CoberturasAdecuadas.pdf" (PDF) .

• Munkres, James (1999). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.