Las aves acuáticas y los barcos que se desplazan por la superficie del agua producen un patrón de estela , explicado matemáticamente por primera vez por Lord Kelvin y conocido hoy como el patrón de estela de Kelvin . [1]
Este patrón consta de dos líneas de estela que forman los brazos de un cheurón, V, con la fuente de la estela en el vértice de la V. Para un movimiento suficientemente lento, cada línea de estela está desplazada de la trayectoria de la fuente de estela alrededor de arcsin(1/3) = 19,47° y está formada por pequeñas ondas en un ángulo de aproximadamente 53° con respecto a la trayectoria.
El interior de la V (de una abertura total de 39°, como se indicó anteriormente) está lleno de ondas curvas transversales, cada una de las cuales se asemeja a un arco de círculo centrado en un punto que se encuentra en el camino a una distancia dos veces mayor que la del arco hasta la fuente de la estela. Esta parte del patrón es independiente de la velocidad y el tamaño de la fuente de la estela en un rango significativo de valores.
Sin embargo, a velocidades más altas (específicamente, a un gran número de Froude ) entran en juego otras partes del patrón. En las puntas de los arcos de onda transversales, sus crestas giran y continúan dentro del cono V y hacia la fuente, formando un patrón superpuesto de ondas más estrechas dirigidas hacia afuera del cono. A medida que aumenta la velocidad de la fuente, estas ondas más cortas comienzan a dominar y forman una segunda V dentro del patrón, que se vuelve más estrecha a medida que la mayor velocidad de la fuente enfatiza las ondas más cortas que están más cerca de la trayectoria de la fuente. [2]
Los ángulos de este patrón no son propiedades intrínsecas del agua: cualquier líquido isentrópico e incompresible con baja viscosidad exhibirá el mismo fenómeno. Además, este fenómeno no tiene nada que ver con la turbulencia. Todo lo que se analiza aquí se basa en la teoría lineal de un fluido ideal, véase la teoría de las ondas de Airy .
Algunas partes del patrón pueden verse oscurecidas por los efectos de la estela de la hélice y los remolinos de cola detrás de la popa del barco, y por el hecho de que el barco es un objeto grande y no una fuente puntual. El agua no tiene por qué estar estacionaria, sino que puede estar en movimiento como en un río grande, y lo importante es considerar la velocidad del agua en relación con un barco u otro objeto que cause una estela.
Este patrón se deriva de la relación de dispersión de las ondas en aguas profundas , que a menudo se escribe como,
dónde
"Profundo" significa que la profundidad es mayor que la mitad de la longitud de onda. Esta fórmula implica que la velocidad de grupo de una ola de aguas profundas es la mitad de su velocidad de fase , que, a su vez, es la raíz cuadrada de la longitud de onda. Dos parámetros de velocidad importantes para el patrón de estela son:
A medida que el objeto de la superficie se mueve, genera continuamente pequeñas perturbaciones que son la suma de ondas sinusoidales con un amplio espectro de longitudes de onda. Las ondas con las longitudes de onda más largas tienen velocidades de fase superiores a v y se disipan en el agua circundante y no se observan fácilmente. Sin embargo, otras ondas con velocidades de fase iguales o inferiores a v se amplifican mediante interferencias constructivas y forman ondas de choque visibles , estacionarias en su posición con respecto al barco.
El ángulo θ entre el frente de la onda de choque de fase y la trayectoria del objeto es θ = arcsin( c/v ) . Si c/v > 1 o < −1, ninguna onda posterior puede alcanzar a las ondas anteriores y no se forma ninguna onda de choque.
En aguas profundas, las ondas de choque se forman incluso a partir de fuentes que se mueven lentamente, porque las ondas con longitudes de onda suficientemente cortas se mueven más lentamente. Estas ondas de choque tienen ángulos más agudos de lo que uno esperaría ingenuamente, porque es la velocidad de grupo la que determina el área de interferencia constructiva y, en aguas profundas, la velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase .
Todas las ondas de choque, que cada una por sí sola habrían tenido un ángulo entre 33° y 72°, se comprimen en una estrecha banda de estela con ángulos entre 15° y 19°, con la interferencia constructiva más fuerte en el borde exterior (ángulo arcsin(1/3) = 19,47°), colocando los dos brazos de la V en el célebre patrón de estela de Kelvin.
Una construcción geométrica concisa [3] demuestra que, sorprendentemente, este ángulo de choque de grupo con respecto a la trayectoria del barco, 19,47°, para cualquiera y todos los θ anteriores , es en realidad independiente de v , c y g ; simplemente se basa en el hecho de que la velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase c . En cualquier planeta, los objetos que nadan lentamente tienen un " número de Mach efectivo " de 3.
Para nadadores lentos, número de Froude bajo, el argumento geométrico de Lighthill−Whitham de que la apertura del chevron de Kelvin (cuña, patrón en V) es universal es el siguiente. Consideremos un barco que se mueve de derecha a izquierda con velocidad constante v , emitiendo ondas de longitud de onda variable, y por lo tanto número de onda k y velocidad de fase c ( k ) , de interés cuando < v para una onda de choque (cf., p. ej., explosión sónica o radiación Cherenkov ). De manera equivalente, y más intuitiva, fije la posición del barco y haga que el agua fluya en la dirección opuesta, como un pilote en un río.
Centrémonos primero en un k dado , emitiendo frentes de onda (de fase) cuya posición estacionaria respecto del ensamblaje del barco respecto de la cuña de choque estándar tangente a todos ellos, cf. Fig.12.3.
Como se ha indicado anteriormente, las aberturas de estos chevrones varían con el número de onda, siendo el ángulo θ entre el frente de onda de choque de fase y la trayectoria del barco (el agua) θ = arcsin( c / v ) ≡ π /2 − ψ . Evidentemente, ψ aumenta con k . Sin embargo, estos chevrones de fase no son visibles: son sus manifestaciones de onda de grupo correspondientes las que se observan.
Consideremos uno de los círculos de fase de la Fig.12.3 para un k particular , correspondiente al tiempo t en el pasado, Fig.12.2. Su radio es QS , y el lado del chevron de fase es la tangente PS a él. Evidentemente, PQ = vt y SQ = ct = vt cos ψ , ya que el ángulo recto PSQ coloca a S en el semicírculo de diámetro PQ .
Sin embargo , dado que la velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase para cualquier k , el punto de perturbación visible (de grupo) correspondiente a S será T , el punto medio de SQ . De manera similar, se encuentra en un semicírculo ahora centrado en R , donde, evidentemente, RQ = PQ /4, un frente de onda de grupo efectivo emitido desde R , con radio v t /4 ahora.
Significativamente, el ángulo del frente de onda resultante con la trayectoria del barco, el ángulo de la tangente desde P a este círculo más pequeño, obviamente tiene un seno de TR/PR =1/3, para todos y cada uno de los k , c , ψ , g , etc.: ¡Sorprendentemente, prácticamente todos los parámetros del problema han desaparecido, excepto la relación de velocidad de fase a grupo en aguas profundas! Nótese que el emisor de perturbación de grupo efectivo (altamente nocional) se mueve más lento, a 3 v /4.
Por lo tanto, al sumar todos los k y t relevantes para formar un patrón de choque efectivo como el de la figura 12.3, surge el patrón de estela de Kelvin universal: el ángulo de chevron visible completo es el doble, 2arcsin(1/3) ≈ 39°.
Los frentes de onda de las ondículas en la estela se encuentran a 53°, lo que equivale aproximadamente a la media de 33° y 72°. Los componentes de onda con posibles ángulos de onda de choque entre 73° y 90° dominan el interior de la V. Terminan a medio camino entre el punto de generación y la ubicación actual de la fuente de la estela. Esto explica la curvatura de los arcos.
Esas ondas muy cortas con ángulos de onda de choque potenciales inferiores a 33° carecen de un mecanismo para reforzar sus amplitudes a través de interferencia constructiva y generalmente se ven como pequeñas ondulaciones en la parte superior de las ondas transversales interiores.
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La naturaleza de los dos tipos de crestas , longitudinal y transversal, se ilustra gráficamente mediante el patrón de frentes de onda de una fuente puntual en movimiento en un sistema propio . Los radios de los frentes de onda son proporcionales, debido a la dispersión, al cuadrado del tiempo (medido a partir del momento de la emisión), y la envolvente de los frentes de onda representa el patrón de estela de Kelvin.
