Isometría parcial

En el análisis funcional matemático, una isometría parcial es una función lineal entre espacios de Hilbert tal que es una isometría en el complemento ortogonal de su núcleo .

El complemento ortogonal de su núcleo se llama subespacio inicial y su rango se llama subespacio final .

En la descomposición polar aparecen isometrías parciales .

Definición general

El concepto de isometría parcial se puede definir de otras formas equivalentes. Si U es una función isométrica definida en un subconjunto cerrado H ₁ de un espacio de Hilbert H, entonces podemos definir una extensión W de U a todo H con la condición de que W sea cero en el complemento ortogonal de H ₁ . Por lo tanto, una isometría parcial también se define a veces como una función isométrica parcialmente definida y cerrada.

Las isometrías parciales (y proyecciones) se pueden definir en el contexto más abstracto de un semigrupo con involución ; la definición coincide con la aquí presentada.

Caracterización en dimensiones finitas

En espacios vectoriales de dimensión finita, una matriz es una isometría parcial si y solo si es la proyección sobre su soporte. Contrastemos esto con la definición más exigente de isometría : una matriz es una isometría si y solo si . En otras palabras, una isometría es una isometría parcial inyectiva. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}V=I}$

Cualquier isometría parcial de dimensión finita se puede representar, en alguna elección de base, como una matriz de la forma , es decir, como una matriz cuyas primeras columnas forman una isometría, mientras que todas las demás columnas son idénticamente 0. ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)}$

Nótese que para cualquier isometría , el conjugado hermítico es una isometría parcial, aunque no toda isometría parcial tiene esta forma, como se muestra explícitamente en los ejemplos dados. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Álgebras de operadores

Para las álgebras de operadores se introducen los subespacios inicial y final:

${\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}}$

Álgebras C*

Para las C*-álgebras se tiene la cadena de equivalencias debida a la C*-propiedad:

${\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}$

De este modo, se definen isometrías parciales mediante cualquiera de los métodos anteriores y se declara que la proyección inicial o final es W*W o WW* .

Un par de proyecciones se dividen mediante la relación de equivalencia :

${\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}$

Desempeña un papel importante en la teoría K para álgebras C* y en la teoría de proyecciones de Murray - von Neumann en un álgebra de von Neumann .

Clases especiales

Proyecciones

Toda proyección ortogonal es aquella que tiene un subespacio inicial y final común:

${\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}$

Incrustaciones

Cualquier incrustación isométrica es aquella con subespacio inicial completo:

${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}$

Unitarios

Cualquier operador unitario es aquel con subespacio inicial y final completo:

${\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}$

(Aparte de éstas, existen muchas más isometrías parciales).

Ejemplos

Nilpotentes

En el espacio de Hilbert complejo bidimensional la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

es una isometría parcial con subespacio inicial

${\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }$

y subespacio final

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}$

Ejemplos genéricos de dimensión finita

Otros ejemplos posibles en dimensiones finitas son Claramente no se trata de una isometría, porque las columnas no son ortonormales. Sin embargo, su soporte es el vano de y , y restringiendo la acción de sobre este espacio, se convierte en una isometría (y en particular, en una unitaria). Se puede verificar de manera similar que , es decir, que es la proyección sobre su soporte. $${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

Las isometrías parciales no necesariamente corresponden a matrices cuadradas. Consideremos, por ejemplo, Esta matriz tiene soporte del espacio de y , y actúa como una isometría (y en particular, como identidad) en este espacio. $${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)}$

Otro ejemplo más, en el que este tiempo actúa como una isometría no trivial sobre su soporte, es Se puede verificar fácilmente que , y , mostrando el comportamiento isométrico de entre su soporte y su rango . ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})}$

Desplazamiento a la izquierda y desplazamiento a la derecha

En las secuencias cuadradas sumables los operadores

${\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}$

${\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}$

que están relacionados por

${\displaystyle R^{*}=L}$

son isometrías parciales con subespacio inicial

${\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}$

y subespacio final:

${\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots )}$.

Referencias

• John B. Conway (1999). "Un curso sobre teoría de operadores", AMS Bookstore, ISBN  0-8218-2065-6
• Carey, RW; Pincus, JD (mayo de 1974). "Un invariante para ciertas álgebras de operadores". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 71 (5): 1952–1956. Bibcode :1974PNAS...71.1952C. doi : 10.1073/pnas.71.5.1952 . PMC  388361 . PMID  16592156.
• Alan LT Paterson (1999). "Grupoides, semigrupos inversos y sus álgebras de operadores", Springer, ISBN 0-8176-4051-7 
• Mark V. Lawson (1998). "Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales". ISBN 981-02-3316-7 de World Scientific  
• Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. (2019). "Matrices parcialmente isométricas: un estudio breve y selectivo". arXiv : 1903.11648 [math.FA].

Enlaces externos

• Propiedades y pruebas importantes
• Pruebas alternativas