Parámetros de impedancia

Conjunto de propiedades utilizadas en ingeniería eléctrica.

Los parámetros de impedancia o parámetros Z (los elementos de una matriz de impedancia o matriz Z ) son propiedades utilizadas en ingeniería eléctrica , ingeniería electrónica e ingeniería de sistemas de comunicaciones para describir el comportamiento eléctrico de redes eléctricas lineales . También se utilizan para describir la respuesta de señal pequeña ( linealizada ) de redes no lineales. Son miembros de una familia de parámetros similares utilizados en ingeniería electrónica, siendo otros ejemplos: parámetros S , ^[1] parámetros Y , ^[2] parámetros H , parámetros T o parámetros ABCD . ^{[3] [4]}

Los parámetros Z también se conocen como parámetros de impedancia de circuito abierto, ya que se calculan en condiciones de circuito abierto. es decir, I _x =0, donde x=1,2 se refieren a las corrientes de entrada y salida que fluyen a través de los puertos (de una red de dos puertos en este caso) respectivamente.

La matriz de parámetros Z

Una matriz de parámetros Z describe el comportamiento de cualquier red eléctrica lineal que pueda considerarse como una caja negra con varios puertos . Un puerto en este contexto es un par de terminales eléctricos que transportan corrientes iguales y opuestas dentro y fuera de la red, y que tienen un voltaje particular entre ellos. La matriz Z no da información sobre el comportamiento de la red cuando las corrientes en algún puerto no están equilibradas de esta manera (si esto fuera posible), ni da información sobre el voltaje entre terminales que no pertenecen al mismo puerto. Normalmente se pretende que cada conexión externa a la red sea entre los terminales de un solo puerto, para que estas limitaciones sean las adecuadas.

Para una definición genérica de red multipuerto, se supone que a cada uno de los puertos se le asigna un número entero n que va de 1 a N , donde N es el número total de puertos. Para el puerto n , la definición del parámetro Z asociado está en términos de la corriente y el voltaje del puerto, y respectivamente. ${\displaystyle I_{n}\,}$ ${\displaystyle V_{n}\,}$

Para todos los puertos, los voltajes se pueden definir en términos de la matriz de parámetros Z y las corrientes mediante la siguiente ecuación matricial:

${\displaystyle V=ZI\,}$

donde Z es una matriz N × N cuyos elementos pueden indexarse ​​utilizando notación matricial convencional. En general, los elementos de la matriz de parámetros Z son números complejos y funciones de frecuencia. Para una red de un solo puerto, la matriz Z se reduce a un solo elemento, midiendo la impedancia ordinaria entre los dos terminales. Los parámetros Z también se conocen como parámetros de circuito abierto porque se miden o calculan aplicando corriente a un puerto y determinando los voltajes resultantes en todos los puertos mientras los puertos no controlados terminan en circuitos abiertos.

Redes de dos puertos

El circuito equivalente para los parámetros Z de una red de dos puertos.

El circuito equivalente para los parámetros Z de una red recíproca de dos puertos.

La matriz de parámetros Z para la red de dos puertos es probablemente la más común. En este caso, la relación entre las corrientes de puerto, los voltajes de puerto y la matriz de parámetros Z viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$.

dónde

${\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

${\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

Para el caso general de una red de N puertos,

${\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

Relaciones de impedancia

La impedancia de entrada de una red de dos puertos viene dada por:

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}}$

donde Z _L es la impedancia de la carga conectada al puerto dos.

De manera similar, la impedancia de salida viene dada por:

${\displaystyle Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}}$

donde Z _S es la impedancia de la fuente conectada al puerto uno.

Relación con los parámetros S

Los parámetros Z de una red están relacionados con sus parámetros S por ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}$ 

y ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}}$ 

donde es la matriz identidad , es una matriz diagonal que tiene la raíz cuadrada de la impedancia característica en cada puerto como sus elementos distintos de cero, ${\displaystyle 1_{\!N}}$ ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

y es la matriz diagonal correspondiente de raíces cuadradas de admitancias características . En estas expresiones, las matrices representadas por los factores entre corchetes se conmutan y, por lo tanto, como se muestra arriba, pueden escribirse en cualquier orden. ^{[5] [nota 1]} ${\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}$

Dos puertos

En el caso especial de una red de dos puertos, con la misma impedancia característica en cada puerto, las expresiones anteriores se reducen a ${\displaystyle z_{01}=z_{02}=Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

Dónde

${\displaystyle \Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,}$

Los parámetros S de dos puertos pueden obtenerse a partir de los parámetros Z de dos puertos equivalentes mediante las siguientes expresiones ^[6]

${\displaystyle S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

${\displaystyle S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,}$

Las expresiones anteriores generalmente utilizarán números complejos para y . Tenga en cuenta que el valor de puede llegar a ser 0 para valores específicos de, por lo que la división entre en los cálculos de puede llevar a una división entre 0. ${\displaystyle S_{ij}\,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle S_{ij}\,}$

Relación con los parámetros Y

La conversión de parámetros Y a parámetros Z es mucho más sencilla, ya que la matriz de parámetros Z es justo la inversa de la matriz de parámetros Y. Para dos puertos:

${\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}$

dónde

${\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}$

es el determinante de la matriz de parámetros Y.

Notas

1. Cualquier matriz cuadrada conmuta consigo misma y con la matriz identidad, y si dos matrices A y B conmutan, también lo hacen A y B ⁻¹ (ya que AB ⁻¹  =  B ⁻¹ BAB ⁻¹  =  B ⁻¹ ABB ⁻¹  =  segundo ⁻¹ A )

Referencias

1. David M. Pozar (5 de febrero de 2004). Ingeniería de Microondas . Wiley. págs. 170-174. ISBN 978-0-471-44878-5.
2. David M. Pozar, 2005 (op. cit); págs. 170-174.
3. David M. Pozar, 2005 (op. cit); págs. 183-186.
4. AH Morton, Ingeniería eléctrica avanzada , Pitman Publishing Ltd., 1985; págs. 33-72, ISBN 0-273-40172-6 . 
5. Russer, Peter (2003). Electromagnética, diseño de circuitos de microondas y antenas para ingeniería de comunicaciones . Casa Artech. pag. 420.ISBN​ 1-58053-532-1.
6. Simón Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (9 de febrero de 1994). Campos y ondas en electrónica de comunicaciones . Wiley. págs. 537–541. ISBN 978-0-471-58551-0.

Bibliografía

• David M. Pozar (5 de febrero de 2004). Ingeniería de Microondas . Wiley. ISBN 978-0-471-44878-5.
• Simón Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (9 de febrero de 1994). Campos y ondas en electrónica de comunicaciones . Wiley. ISBN 978-0-471-58551-0.

Ver también

• Parámetros de dispersión
• Parámetros de admitancia
• Red de dos puertos