Parámetros de Denavit-Hartenberg

En ingeniería mecánica , los parámetros de Denavit-Hartenberg (también llamados parámetros DH ) son los cuatro parámetros asociados con una convención particular para unir marcos de referencia a los eslabones de una cadena cinemática espacial , o manipulador de robot .

Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron esta convención en 1955 para estandarizar los marcos de coordenadas para los vínculos espaciales . ^[1]^[2]

Richard Paul demostró su valor para el análisis cinemático de sistemas robóticos en 1981. ^[3] Si bien se han desarrollado muchas convenciones para adjuntar marcos de referencia, la convención Denavit-Hartenberg sigue siendo un enfoque popular.

Convención Denavit-Hartenberg

Una convención comúnmente utilizada para seleccionar marcos de referencia en aplicaciones de robótica es la convención de Denavit y Hartenberg (D – H), que fue introducida por Jacques Denavit y Richard S. Hartenberg. En esta convención, los marcos de coordenadas se adjuntan a las uniones entre dos vínculos de modo que una transformación esté asociada con la articulación $[Z]$ y la segunda con el vínculo $[X]$ . Las transformaciones de coordenadas a lo largo de un robot en serie que consta de $n$ enlaces forman las ecuaciones cinemáticas del robot:

[T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}][X_{ norte}]\!

donde $[T]$ es la transformación que caracteriza la ubicación y orientación del enlace final.

Para determinar las transformaciones de coordenadas $[Z]$ y $[X]$ , las uniones que conectan los enlaces se modelan como uniones articuladas o deslizantes, cada una de las cuales tiene una línea única $S$ en el espacio que forma el eje de la unión y define el movimiento relativo de los dos. Enlaces. Un robot en serie típico se caracteriza por una secuencia de seis líneas $Si (i = 1, 2, ..., 6),$ una para cada articulación del robot. Para $cada secuencia$ $de$ líneas $Si$ y $Si +1,$ existe una línea normal común $Ai, i +1$ . El sistema de seis ejes articulares $Si$ y cinco líneas normales comunes $Ai$ $,$ $i$ $+1$ forman el esqueleto cinemático del típico robot en serie de seis grados de $libertad . Denavit y Hartenberg introdujeron la convención de que los ejes$ $de$ coordenadas z se asignan a los ejes conjuntos $Si y los$ ejes de coordenadas x se asignan a las normales comunes $Ai, i +1$ .

Esta convención permite definir el movimiento de los eslabones alrededor de un eje de articulación común $Si$ $mediante$ el desplazamiento del tornillo :

[Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

donde $θ i$ es la rotación y $d i$ es el movimiento de deslizamiento a lo largo del eje $z$ . Cada uno de estos parámetros podría ser una constante dependiendo de la estructura del robot. Según esta convención $,$ $las dimensiones de cada$ eslabón de la cadena en serie están definidas por el desplazamiento del tornillo alrededor de la normal común $Ai, i +1$ desde la unión $Si a$ $Si +1$ , que viene dado por

[X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i +1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},

donde $α i, i +1$ y $r i, i +1$ definen las dimensiones físicas del enlace en términos del ángulo medido alrededor y la distancia medida a lo largo del eje X.

En resumen, los marcos de referencia se presentan de la siguiente manera:

El eje $z$ está en la dirección del eje de la articulación.
El eje $x$ es paralelo a la normal común : (o alejado de $z$ $n$ $-1$ ) Si no existe una normal común única ( ejes $z paralelos), entonces$ $d$ (a continuación) es un parámetro libre. La dirección de $x$ $n$ es de $z$ $n$ $-1$ a $z$ $n$ , como se muestra en el vídeo a continuación. $x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}$
el eje $y$ se deriva de los ejes $x$ y $z$ eligiéndolo como un sistema de coordenadas diestro .

Cuatro parámetros

Los siguientes cuatro parámetros de transformación se conocen como parámetros D – H: ^[4]

$d$ : desplazamiento a lo largo de $la z$ anterior a la normal común
$θ$ : ángulo sobre $la z$ anterior desde la antigua $x$ hasta la nueva $x$
$r$ : longitud de la normal común (también conocida como $a$ , pero si usa esta notación, no la confunda con $α$ ). Suponiendo una junta de revolución, este es el radio alrededor de $la z$ anterior .
$α$ : ángulo con respecto a la normal común, desde el antiguo eje $z$ hasta el nuevo eje $z$

Hay alguna opción en el diseño del marco en cuanto a si el eje $x$ anterior o el siguiente $x$ apuntan a lo largo de la normal común. El último sistema permite ramificar cadenas de manera más eficiente, ya que múltiples marcos pueden apuntar en dirección opuesta a su ancestro común, pero en el diseño alternativo el ancestro solo puede apuntar hacia un sucesor. Por lo tanto, la notación comúnmente utilizada coloca cada eje $x$ de la cadena descendente colineal con la normal común, lo que produce los cálculos de transformación que se muestran a continuación.

Podemos notar restricciones en las relaciones entre los ejes:

el eje $x n$ es perpendicular a los ejes $z n -1$ y $z n$
el eje $x n$ intersecta los ejes $z n -1$ y $z n$
el origen de la articulación $n$ está en la intersección de $x n$ y $z n$
$y n$ completa un sistema de referencia diestro basado en $x n$ y $z n$

Matriz Denavit-Hartenberg

Es común separar el desplazamiento de un tornillo en producto de una traslación pura a lo largo de una línea y una rotación pura alrededor de la línea, ^[5]^[6] de modo que

[Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),

[X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(r_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).

Usando esta notación, cada vínculo puede describirse mediante una transformación de coordenadas del sistema de coordenadas concurrente al sistema de coordenadas anterior.

{}^{n-1}T_{n}=[Z_{n-1}]\cdot [X_{n}]

Tenga en cuenta que este es el producto de dos desplazamientos de tornillo . Las matrices asociadas a estas operaciones son:

\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

\operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&r_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

\operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

Esto da:

\operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R&&T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

donde R es la submatriz de 3×3 que describe la rotación y T es la submatriz de 3×1 que describe la traslación.

En algunos libros, el orden de transformación para un par de rotación y traslación consecutivas (como y ) se invierte. Esto es posible (a pesar de que, en general, la multiplicación de matrices no es conmutativa) ya que las traslaciones y rotaciones se refieren a los mismos ejes y , respectivamente. Como el orden de multiplicación de matrices para estos pares no importa, el resultado es el mismo. Por ejemplo: . $d_{n}$ $\theta _{n}$ $z_{n-1}$ $x_{n}$ $\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})$

Por tanto, podemos escribir la transformación de la siguiente manera: $\operatorname {} ^{n-1}T_{n}$
${}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})$
${}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})$

Uso de matrices de Denavit y Hartenberg.

La notación de Denavit y Hartenberg proporciona una metodología estándar (distal) para escribir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador. Esto es especialmente útil para manipuladores en serie donde se utiliza una matriz para representar la pose (posición y orientación) de un cuerpo con respecto a otro.

La posición del cuerpo con respecto a puede representarse mediante una matriz de posición indicada con el símbolo o $n$ $n-1$ $T$ $M$

\operatorname {} ^{n-1}T_{n}=M_{n-1,n}

Esta matriz también se utiliza para transformar un punto de un cuadro a otro. $n$ $n-1$

M_{n-1,n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}&T_{x}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}&T_{y}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}&T_{z}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

Donde la submatriz superior izquierda de representa la orientación relativa de los dos cuerpos, y la parte superior derecha representa su posición relativa o más específicamente la posición del cuerpo en el cuadro n - 1 representado con el elemento del cuadro n . $3\times 3$ $M$ $3\times 1$

La posición de un cuerpo con respecto a otro se puede obtener como el producto de las matrices que representan la pose de con respecto a y la de con respecto a $k$ $i$ $j$ $i$ $k$ $j$

M_{i,k}=M_{i,j}M_{j,k}

Una propiedad importante de las matrices de Denavit y Hartenberg es que la inversa es

M^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R^{T}&&-R^{T}T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

donde es tanto la transpuesta como la inversa de la matriz ortogonal , es decir . $R^{T}$ $R$ $R_{ij}^{-1}=R_{ij}^{T}=R_{ji}$

Cinemática

Se pueden definir más matrices para representar la velocidad y la aceleración de los cuerpos. ^[5]^[6] La velocidad de un cuerpo con respecto a otro cuerpo se puede representar en un marco mediante la matriz. $i$ $j$ $k$

W_{i,j(k)}=\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\omega _{z}&\omega _{y}&v_{x}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}&v_{y}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0&v_{z}\\\hline 0&0&0&0\end{array}}\right]

donde es la velocidad angular de un cuerpo con respecto a otro y todos los componentes están expresados en marco ; es la velocidad de un punto del cuerpo con respecto al cuerpo (el polo). El polo es el punto de paso por el origen del marco . $\omega$ $j$ $i$ $k$ $v$ $j$ $i$ $j$ $i$

La matriz de aceleración se puede definir como la suma de la derivada temporal de la velocidad más la velocidad al cuadrado.

H_{i,j(k)}={\dot {W}}_{i,j(k)}+W_{i,j(k)}^{2}

La velocidad y la aceleración en el marco de un punto de un cuerpo se pueden evaluar como $i$ $j$

{\dot {P}}=W_{i,j}P

{\ddot {P}}=H_{i,j}P

También es posible demostrar que

{\dot {M}}_{i,j}=W_{i,j(i)}M_{i,j}

{\ddot {M}}_{i,j}=H_{i,j(i)}M_{i,j}

Las matrices de velocidad y aceleración se suman de acuerdo con las siguientes reglas

W_{i,k}=W_{i,j}+W_{j,k}

H_{i,k}=H_{i,j}+H_{j,k}+2W_{i,j}W_{j,k}

en otras palabras, la velocidad absoluta es la suma de la velocidad principal más la velocidad relativa; para la aceleración también está presente el término de Coriolis.

Las componentes de las matrices de velocidad y aceleración se expresan en un marco arbitrario y se transforman de un marco a otro mediante la siguiente regla $k$

W_{(h)}=M_{h,k}W_{(k)}M_{k,h}

H_{(h)}=M_{h,k}H_{(k)}M_{k,h}

Dinámica

Para la dinámica, se necesitan tres matrices más para describir la inercia , el momento lineal y angular , y las fuerzas y pares aplicados a un cuerpo. $J$ $\Gamma$ $\Phi$

Inercia : $J$

J=\left[{\begin{array}{ccc|c}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}&x_{g}m\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}&y_{g}m\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}&z_{g}m\\\hline x_{g}m&y_{g}m&z_{g}m&m\end{array}}\right]

donde está la masa, representan la posición del centro de masa, y los términos representan la inercia y se definen como $m$ $x_{g},\,y_{g},\,z_{g}$ $I_{xx},\,I_{xy},\ldots$

I_{xx}=\iint x^{2}\,dm

{\begin{aligned}I_{xy}&=\iint xy\,dm\\I_{xz}&=\cdots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}

Matriz de acción , que contiene fuerza y par : $\Phi$ $f$ $t$

\Phi =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-t_{z}&t_{y}&f_{x}\\t_{z}&0&-t_{x}&f_{y}\\-t_{y}&t_{x}&0&f_{z}\\\hline -f_{x}&-f_{y}&-f_{z}&0\end{array}}\right]

Matriz de momento , que contiene momento lineal y angular. $\Gamma$ $\rho$ $\gamma$

\Gamma =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\gamma _{z}&\gamma _{y}&\rho _{x}\\\gamma _{z}&0&-\gamma _{x}&\rho _{y}\\-\gamma _{y}&\gamma _{x}&0&\rho _{z}\\\hline -\rho _{x}&-\rho _{y}&-\rho _{z}&0\end{array}}\right]

Todas las matrices se representan con los componentes del vector en un marco determinado . La transformación de los componentes de cuadro a cuadro sigue la regla $k$ $k$ $h$

{\begin{aligned}J_{(h)}&=M_{h,k}J_{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Gamma _{(h)}&=M_{h,k}\Gamma _{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Phi _{(h)}&=M_{h,k}\Phi _{(k)}M_{h,k}^{T}\end{aligned}}

Las matrices descritas permiten la escritura de las ecuaciones dinámicas de forma concisa.

Ley de Newton:

\Phi =HJ-JH^{t}\,

Impulso:

\Gamma =WJ-JW^{t}\,

La primera de estas ecuaciones expresa la ley de Newton y es el equivalente de la ecuación vectorial (fuerza igual masa por aceleración) más (aceleración angular en función de la inercia y la velocidad angular); la segunda ecuación permite evaluar el momento lineal y angular cuando se conocen la velocidad y la inercia. $f=ma$ $t=J{\dot {\omega }}+\omega \times J\omega$

Parámetros DH modificados

Algunos libros, como Introducción a la robótica: mecánica y control (tercera edición) ^[7], utilizan parámetros DH modificados (proximales). La diferencia entre los parámetros DH clásicos (distales) y los parámetros DH modificados son las ubicaciones de los enlaces del sistema de coordenadas y el orden de las transformaciones realizadas.

En comparación con los parámetros DH clásicos, las coordenadas del marco se colocan en el eje i - 1, no en el eje i en la convención DH clásica. Las coordenadas de se colocan en el eje i , no en el eje i + 1 en la convención clásica de DH. $O_{i-1}$ $O_{i}$

Otra diferencia es que según la convención modificada, la matriz de transformación viene dada por el siguiente orden de operaciones:

{}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{x_{n-1}}(\alpha _{n-1})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n-1}}(a_{n-1})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})

Por lo tanto, la matriz de los parámetros DH modificados se convierte en

\operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&a_{n-1}\\\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&-\sin \alpha _{n-1}&-d_{n}\sin \alpha _{n-1}\\\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \alpha _{n-1}&d_{n}\cos \alpha _{n-1}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]

Tenga en cuenta que algunos libros (por ejemplo: ^[8] ) usan y para indicar la longitud y la torsión del enlace n − 1 en lugar del enlace n . Como consecuencia, se forma únicamente con parámetros que utilizan el mismo subíndice. $a_{n}$ $\alpha _{n}$ ${}^{n-1}T_{n}$

En algunos libros, se reemplaza el orden de transformación para un par de rotación y traslación consecutivas (como y ). Sin embargo, como el orden de multiplicación de matrices para dicho par no importa, el resultado es el mismo. Por ejemplo: . $d_{n}$ $\theta _{n}$ $\operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})=\operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})$

Se han publicado estudios sobre las convenciones de DH y sus diferencias. ^[9]^[10]

Ver también

Referencias

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la transformación de Denavit-Hartenberg .

^ Denavit, Jacques; Hartenberg, Richard Scheunemann (1955). "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basados en matrices". Revista de Mecánica Aplicada . 22 (2): 215–221. doi :10.1115/1.4011045.
^ Hartenberg, Richard Scheunemann; Denavit, Jacques (1965). Síntesis cinemática de enlaces. Serie McGraw-Hill en ingeniería mecánica. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 435. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2013 . Consultado el 13 de enero de 2012 .
^ Pablo, Richard (1981). Manipuladores de robots: matemáticas, programación y control: el control informático de los manipuladores de robots. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0-262-16082-7. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2017 . Consultado el 22 de septiembre de 2016 .
^ Esponja, Mark W.; Vidyasagar, M. (1989). Dinámica y control de robots . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 9780471503521.
^ ab Legnani, Giovanni; Casolo, Federico; Righettini, Paolo; Zappa, Bruno (1996). "Un enfoque matricial homogéneo para la cinemática y dinámica 3D - I. Teoría". Mecanismo y teoría de las máquinas . 31 (5): 573–587. doi :10.1016/0094-114X(95)00100-D.
^ ab Legnani, Giovanni; Casolo, Federico; Righettini, Paolo; Zappa, Bruno (1996). "Un enfoque matricial homogéneo para la cinemática y dinámica 3D—II. Aplicaciones a cadenas de cuerpos rígidos y manipuladores en serie". Mecanismo y teoría de las máquinas . 31 (5): 589–605. doi :10.1016/0094-114X(95)00101-4.
^ John J. Craig, Introducción a la robótica: mecánica y control (tercera edición) ISBN 978-0201543612
^ Khalil, Wisama; Dombre, Etienne (2002). Modelado, identificación y control de robots. Nueva York: Taylor Francis. ISBN 1-56032-983-1. Archivado desde el original el 12 de marzo de 2017 . Consultado el 22 de septiembre de 2016 .
^ Lipkin, Harvey (2005). "Una nota sobre la notación Denavit-Hartenberg en robótica". Volumen 7: 29ª Conferencia sobre Mecanismos y Robótica, Partes a y B. vol. 2005, págs. 921–926. doi :10.1115/DETC2005-85460. ISBN 0-7918-4744-6.
^ Waldron, Kenneth; Schmiedeler, James (2008). "Cinemática". Manual de robótica de Springer . págs. 9–33. doi :10.1007/978-3-540-30301-5_2. ISBN 978-3-540-23957-4.