Representaciones lineales en robótica

Convenciones utilizadas en el campo de la investigación robótica

Las representaciones de líneas en robótica se utilizan para lo siguiente:

• Modelan ejes articulados: una articulación giratoria hace que cualquier cuerpo rígido conectado gire sobre la línea de su eje; una articulación prismática hace que el cuerpo rígido conectado se traslade a lo largo de la línea de su eje.
• Modelan los bordes de los objetos poliédricos utilizados en muchos planificadores de tareas o módulos de procesamiento de sensores.
• Son necesarios para calcular la distancia más corta entre robots y obstáculos.

Al utilizar este tipo de líneas, es necesario tener convenciones para las representaciones, de modo que estén claramente definidas. En este artículo se analizan varios de estos métodos.

Coordenadas vectoriales no mínimas

Una línea está completamente definida por el conjunto ordenado de dos vectores: ${\displaystyle L(p,d)}$

• un vector de puntos que indica la posición de un punto arbitrario en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L}$
• un vector de dirección libre , que da a la línea una dirección así como un sentido. ${\displaystyle d}$

A cada punto de la línea se le asigna un valor de parámetro que satisface: . El parámetro t es único una vez y se eligen. La representación no es mínima, porque utiliza seis parámetros para solo cuatro grados de libertad. Se aplican las dos restricciones siguientes: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=p+td}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$
${\displaystyle L(p,d)}$

• El vector de dirección puede elegirse como un vector unitario. ${\displaystyle d}$
• El punto vector puede elegirse como el punto de la línea más cercano al origen. Por lo tanto, es ortogonal a ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$

Coordenadas de Plücker

Arthur Cayley y Julius Plücker introdujeron una representación alternativa utilizando dos vectores libres. Esta representación finalmente recibió el nombre de Plücker.
La representación de Plücker se denota por . Tanto y son vectores libres: representa la dirección de la línea y es el momento de respecto al origen de referencia elegido. ( ¡es independiente del punto de la línea que se elija!) La ventaja de las coordenadas de Plücker es que son homogéneas. Una línea en coordenadas de Plücker tiene todavía cuatro de los seis parámetros independientes, por lo que no es una representación mínima. Las dos restricciones sobre las seis coordenadas de Plücker son ${\displaystyle L_{pl}(d,m)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m=p\times d}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$

• la restricción de homogeneidad
• la restricción de ortogonalidad

Representación lineal mínima

Una representación de línea es mínima si utiliza cuatro parámetros, que es el mínimo necesario para representar todas las líneas posibles en el espacio euclidiano (E³).

Coordenadas de la línea Denavit–Hartenberg

Jaques Denavit y Richard S. Hartenberg presentaron la primera representación mínima de una línea, que ahora se utiliza ampliamente. La normal común entre dos líneas fue el concepto geométrico principal que permitió a Denavit y Hartenberg encontrar una representación mínima. Los ingenieros utilizan la convención de Denavit-Hartenberg (D-H) para ayudarlos a describir las posiciones de los eslabones y las uniones de manera inequívoca. Cada eslabón tiene su propio sistema de coordenadas . Hay algunas reglas que se deben tener en cuenta al elegir el sistema de coordenadas:

1. El eje está en la dirección del eje de la articulación. ${\displaystyle z}$
2. el eje es paralelo a la normal común : si no hay una normal común única ( ejes paralelos), entonces (abajo) es un parámetro libre. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}}$
   ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle d}$
3. El eje se deriva del eje y al elegirlo como un sistema de coordenadas diestro . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

Una vez determinados los marcos de coordenadas, las transformaciones entre enlaces se describen de forma única mediante los siguientes cuatro parámetros:

• ${\displaystyle \theta \,}$: ángulo sobre lo anterior , de lo antiguo a lo nuevo ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle d\,}$: desplazamiento a lo largo del anterior a la normal común ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle r\,}$: longitud de la normal común (también conocida como , pero si se usa esta notación, no confundir con ). Suponiendo una articulación giratoria, este es el radio sobre el . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \alpha \,}$: ángulo respecto de la normal común, desde el eje antiguo al nuevo eje ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

Coordenadas de la línea Hayati-Roberts

La representación de línea de Hayati-Roberts, denotada como , es otra representación de línea mínima, con parámetros: ${\displaystyle L_{hr}(e_{x},e_{y},l_{x},l_{y})}$

• ${\displaystyle e_{x}}$y son los componentes y de un vector de dirección unitario en la línea. Este requisito elimina la necesidad de un componente, ya que ${\displaystyle e_{y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle e_{z}=(1-e_{x}^{2}-e_{y}^{2})^{\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle l_{x}}$y son las coordenadas del punto de intersección de la línea con el plano que pasa por el origen del sistema de referencia mundial y es normal a la línea. El sistema de referencia en este plano normal tiene el mismo origen que el sistema de referencia mundial y sus ejes y son imágenes de los ejes y del sistema de referencia mundial a través de una proyección paralela a lo largo de la línea. ${\displaystyle l_{y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Esta representación es única para una línea dirigida. Las singularidades de coordenadas son diferentes de las singularidades de DH: tiene singularidades si la línea se vuelve paralela al eje o al eje del marco del mundo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Fórmula del producto de exponenciales

La fórmula del producto de exponenciales representa la cinemática de un mecanismo de cadena abierta como el producto de exponenciales de giros , y puede usarse para describir una serie de articulaciones giratorias, prismáticas y helicoidales. ^[1]

Véase también

• Lista de temas básicos de robótica

Referencias

1. Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Una introducción matemática a la manipulación robótica (PDF) (1.ª ed. [Dr.]). Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 9780849379819.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

• Giovanni Legnani, Federico Casolo, Paolo Righettini y Bruno Zappa Un enfoque matricial homogéneo para la cinemática y dinámica 3D — I. Theory Mechanism and Machine Theory, Volumen 31, Número 5, julio de 1996, páginas 573–587
• Giovanni Legnani, Federico Casalo, Paolo Righettini y Bruno Zappa Un enfoque matricial homogéneo para la cinemática y dinámica 3D: II. Aplicaciones a cadenas de cuerpos rígidos y manipuladores en serie Mechanism and Machine Theory, Volumen 31, Número 5, julio de 1996, páginas 589–605
• A. Bottema y B. Roth. Cinemática teórica. Dover Books on Engineering. Dover Publications, Inc. Mineola, NY, 1990
• A. Cayley . Sobre una nueva representación analítica de curvas en el espacio. Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 3:225–236, 1860
• KH Hunt . Geometría cinemática de mecanismos . Oxford Science Publications, Oxford, Inglaterra, 2.ª edición, 1990.
• J. Plücker . Sobre una nueva geometría del espacio. Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 155:725–791, 1865
• J. Plücker . Puntos de vista fundamentales sobre la mecánica. Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 156:361–380, 1866
• J. Denavit y RS Hartenberg. Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basada en matrices. Trans ASME J. Appl. Mech, 23:215–221,1955
• RS HartenBerg y J. Denavit Síntesis cinemática de enlaces McGraw–Hill, Nueva York, NY, 1964
• R. Bernhardt y SL Albright. Calibración de robots , Chapman & Hall, 1993
• SA Hayati y M. Mirmirani. Mejora de la precisión absoluta de posicionamiento de los manipuladores robóticos. J. Robotic Systems , 2(4):397–441, 1985
• KS Roberts. Una nueva representación de una línea. En Actas de la Conferencia sobre Visión artificial y reconocimiento de patrones , páginas 635–640, Ann Arbor, MI, 1988

Enlaces externos

• Software computacional de la Convención Hartenburg de Denavit, Wolfram.com 'Math Source' Autor: Jason Desjardins 2002