Ecuaciones de Oseen

Fórmulas para el flujo de fluidos viscosos e incompresibles con números de Reynolds pequeños

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Oseen (o flujo de Oseen ) describen el flujo de un fluido viscoso e incompresible a números de Reynolds pequeños , según lo formuló Carl Wilhelm Oseen en 1910. El flujo de Oseen es una descripción mejorada de estos flujos, en comparación con el flujo de Stokes , con la inclusión (parcial) de la aceleración convectiva . ^[1]

El trabajo de Oseen se basa en los experimentos de G. G. Stokes , que había estudiado la caída de una esfera a través de un fluido viscoso . Desarrolló un término de corrección, que incluía factores inerciales , para la velocidad de flujo utilizada en los cálculos de Stokes, para resolver el problema conocido como la paradoja de Stokes . Su aproximación conduce a una mejora de los cálculos de Stokes.

Ecuaciones

Las ecuaciones de Oseen son, en el caso de un objeto que se mueve con una velocidad de flujo constante U a través del fluido (que está en reposo lejos del objeto) y en un marco de referencia unido al objeto: ^[1] donde $${\displaystyle {\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}}$$

• u es la perturbación en la velocidad del flujo inducida por el objeto en movimiento, es decir, la velocidad total del flujo en el marco de referencia que se mueve con el objeto es − U + u ,
• p es la presión ,
• ρ es la densidad del fluido,
• μ es la viscosidad dinámica ,
• ∇ es el operador de gradiente , y
• ∇ ² es el operador de Laplace .

Las condiciones de contorno para el flujo de Oseen alrededor de un objeto rígido son: con r la distancia desde el centro del objeto y p _∞ la presión no perturbada lejos del objeto. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{at the object surface}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{and}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{for}}\quad r\to \infty ,\end{aligned}}}$$

Ondas longitudinales y transversales[2]

Una propiedad fundamental de la ecuación de Oseen es que la solución general puede dividirse en ondas longitudinales y transversales .

Una solución es una onda longitudinal si la velocidad es irrotacional y, por lo tanto, el término viscoso desaparece. Las ecuaciones se convierten en ${\displaystyle \left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)}$ $${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0}$$

En consecuencia $${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\rho U\mathbf {u} _{\text{L}}}$$

La velocidad se deriva de la teoría del potencial y la presión de las ecuaciones de Bernoulli linealizadas.

Una solución es una onda transversal si la presión es idénticamente cero y el campo de velocidad es solenoidal. Las ecuaciones son ${\displaystyle (\mathbf {u} _{\text{T}},0)}$ ${\displaystyle p'}$ $${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.}$$

Entonces la solución completa de Oseen viene dada por $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}}$$

un teorema de división debido a Horace Lamb . ^[3] La división es única si se especifican las condiciones en el infinito (digamos ). ${\displaystyle \mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }}$

Para ciertos flujos de Oseen, es posible una división adicional de la onda transversal en componentes irrotacionales y rotacionales Sea la función escalar que satisface y se anula en el infinito y, a la inversa, sea dada de manera que , entonces la onda transversal es donde se determina a partir de y es el vector unitario. Ni o son transversales por sí mismos, pero es transversal. Por lo tanto, ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}\,dy=0}$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _{\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .}$$ ${\displaystyle \chi }$ ${\textstyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}\,dy}$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$$

El único componente rotacional es el . ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$

Soluciones fundamentales[2]

La solución fundamental debida a una fuerza puntual singular incorporada en un flujo de Oseen es el Oseenlet . Las soluciones fundamentales de forma cerrada para los flujos de Stokes y Oseen inestables generalizados asociados con movimientos de traslación y rotación arbitrarios dependientes del tiempo se han derivado para los fluidos newtonianos ^[4] y micropolares ^[5] .

Utilizando la ecuación de Oseen, Horace Lamb fue capaz de derivar expresiones mejoradas para el flujo viscoso alrededor de una esfera en 1911, mejorando la ley de Stokes hacia números de Reynolds algo más altos. ^[1] Además, Lamb derivó, por primera vez, una solución para el flujo viscoso alrededor de un cilindro circular. ^[1]

La solución de la respuesta de una fuerza singular cuando no existen límites externos se puede escribir como ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

Si , donde es la fuerza singular concentrada en el punto y es un punto arbitrario y es el vector dado, que da la dirección de la fuerza singular, entonces en ausencia de límites, la velocidad y la presión se derivan del tensor fundamental y el vector fundamental. ${\displaystyle \mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \delta (q,q_{o})}$ ${\displaystyle q_{o}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \Gamma (q,q_{o})}$ ${\displaystyle \Pi (q,q_{o})}$ $${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a} }$$

Ahora bien, si es una función arbitraria del espacio, la solución para un dominio ilimitado es donde es el elemento de volumen/área infinitesimal alrededor del punto . ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}}$$ ${\displaystyle dq_{o}}$ ${\displaystyle q_{o}}$

Bidimensional

Sin pérdida de generalidad tomada en el origen y . Entonces el tensor y el vector fundamentales son donde donde es la función de Bessel modificada de segunda especie de orden cero. ${\displaystyle q_{o}=(0,0)}$ ${\displaystyle q=(x,y)}$ $${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial A}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&-{\frac {\partial A}{\partial x}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2\pi \nu }}e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi ={\frac {\rho }{2\pi }}\nabla (\ln r)}$$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2},\quad A=-{\frac {1}{2\pi U}}\left[\ln r+e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r)\right]}$$ ${\displaystyle K_{o}(\lambda r)}$

Tridimensional

Sin pérdida de generalidad tomada en el origen y . Entonces el tensor y el vector fundamentales son donde ${\displaystyle q_{o}=(0,0,0)}$ ${\displaystyle q=(x,y,z)}$ $${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial B}{\partial x}}&{\frac {\partial C}{\partial x}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&{\frac {\partial B}{\partial y}}&{\frac {\partial C}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial z}}&{\frac {\partial B}{\partial z}}&{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4\pi \nu }}{\frac {e^{-\lambda (r-x)}}{r}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi =-{\frac {\rho }{4\pi }}\nabla \left({\frac {1}{r}}\right)}$$

• ${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},}$
• ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},}$
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4\pi U}}{\frac {1-e^{-\lambda (r-x)}}{r}},}$
• ${\displaystyle B=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]y}{r(r-x)}},}$
• ${\displaystyle C=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]z}{r(r-x)}}}$

Cálculos

Oseen consideró que la esfera estaba estacionaria y que el fluido fluía con una velocidad de flujo ( ) a una distancia infinita de la esfera. Los términos inerciales se descuidaron en los cálculos de Stokes. ^[6] Es una solución limitante cuando el número de Reynolds tiende a cero. Cuando el número de Reynolds es pequeño y finito, como 0,1, se necesita una corrección para el término inercial. Oseen sustituyó los siguientes valores de velocidad de flujo en las ecuaciones de Navier-Stokes . ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.}$$

Insertando estos en las ecuaciones de Navier-Stokes y descuidando los términos cuadráticos en las cantidades primas se llega a la derivación de la aproximación de Oseen: $${\displaystyle u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).}$$

Como el movimiento es simétrico con respecto al eje y la divergencia del vector de vorticidad es siempre cero, obtenemos: la función se puede eliminar añadiendo a una función adecuada en , es la función de vorticidad, y la función anterior se puede escribir como: y por alguna integración la solución para es: por lo tanto, al dejar que sea la "dirección privilegiada" produce: ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0}$$ ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'}$$ ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots }$$

Luego, al aplicar las tres condiciones de contorno, obtenemos el nuevo coeficiente de arrastre mejorado que ahora se convierte en: y finalmente, cuando se resolvió la solución de Stokes sobre la base de la aproximación de Oseen, se demostró que la fuerza de arrastre resultante está dada por $${\displaystyle C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}}$$ $${\displaystyle C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)}$$ $${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathrm {Re} =\rho ua/\mu }$es el número de Reynolds basado en el radio de la esfera, ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle F}$es la fuerza hidrodinámica
• ${\displaystyle u}$es la velocidad del flujo
• ${\displaystyle \mu \,}$es la viscosidad del fluido

La fuerza de la ecuación de Oseen difiere de la de Stokes en un factor de $${\displaystyle 1+{3 \over 8}\mathrm {Re} .}$$

Corrección de la solución de Stokes

Las ecuaciones para la perturbación se leen: ^[7] pero cuando el campo de velocidad es: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla u'&~=0\\u\cdot \nabla u'&~=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}u',\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}}$$

En el campo lejano ≫ 1, la tensión viscosa está dominada por el último término. Es decir: ${\displaystyle {r \over a}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).}$$

El término de inercia está dominado por el término: $${\displaystyle u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).}$$

El error viene entonces dado por la relación: $${\displaystyle u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \nabla ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).}$$

Esto se vuelve ilimitado para ≫ 1, por lo tanto, la inercia no se puede ignorar en el campo lejano. Al tomar el rotacional, la ecuación de Stokes da Dado que el cuerpo es una fuente de vorticidad , se volvería ilimitado logarítmicamente para grandes Esto ciertamente no es físico y se conoce como la paradoja de Stokes . ${\displaystyle {r \over a}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\zeta \,=0.}$ ${\displaystyle \zeta \,}$ ${\displaystyle {r \over a}.}$

Solución para una esfera en movimiento en un fluido incompresible

Consideremos el caso de una esfera sólida que se mueve en un líquido estacionario con una velocidad constante. El líquido se modela como un fluido incompresible (es decir, con densidad constante ), y estar estacionario significa que su velocidad tiende a cero a medida que la distancia desde la esfera se acerca al infinito.

Para un cuerpo real habrá un efecto transitorio debido a su aceleración al iniciar su movimiento; sin embargo, después de un tiempo suficiente tenderá a cero, de modo que la velocidad del fluido en todas partes se aproximará a la obtenida en el caso hipotético en el que el cuerpo ya se estuviera moviendo durante tiempo infinito.

Así, suponemos una esfera de radio a que se mueve a velocidad constante en un fluido incompresible que se encuentra en reposo en el infinito. Trabajaremos en coordenadas que se mueven junto con la esfera con el centro de coordenadas situado en el centro de la esfera. Tenemos: ${\displaystyle {\vec {U}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}}$$

Dado que estas condiciones de contorno, así como la ecuación de movimientos, son invariantes en el tiempo (es decir, no cambian al desplazarse el tiempo ) cuando se expresan en las coordenadas, la solución depende del tiempo solo a través de estas coordenadas. ${\displaystyle t\rightarrow t+\Delta t}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

Las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Navier-Stokes definidas en las coordenadas del sistema de referencia en reposo . Si bien las derivadas espaciales son iguales en ambos sistemas de coordenadas, la derivada temporal que aparece en las ecuaciones satisface: donde la derivada es con respecto a las coordenadas en movimiento . De aquí en adelante omitimos el subíndice m . ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}}$$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

La aproximación de Oseen se resume en descuidar el término no lineal en . Por lo tanto, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se convierten en: para un fluido que tiene densidad ρ y viscosidad cinemática ν = μ/ρ (siendo μ la viscosidad dinámica ). p es la presión . ${\displaystyle {\vec {u}}}$ $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p}$$

Debido a la ecuación de continuidad para fluido incompresible , la solución puede expresarse utilizando un potencial vectorial . Este resulta estar dirigido a la dirección y su magnitud es equivalente a la función de corriente utilizada en problemas bidimensionales. Resulta ser: donde es el número de Reynolds para el flujo cercano a la esfera. ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R=2aU/\nu }$

Nótese que en algunas notaciones se reemplaza por para que la derivación de sea más similar a su derivación de la función de flujo en el caso bidimensional (en coordenadas polares). ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Psi =\psi \cdot r\sin \theta }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle \Psi }$

Elaboración

${\displaystyle \psi }$se puede expresar de la siguiente manera: $${\displaystyle \psi =\psi _{1}+\psi _{2}-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}}$$

donde: , de modo que . $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&\equiv -{\frac {Ua^{3}}{4r^{2}}}\sin \theta \\\psi _{2}&\equiv {\frac {3Ua^{2}}{Rr}}{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{4a}}}$$ ${\displaystyle {\frac {U}{2k}}={\frac {2Ua}{R}}=\nu }$

El laplaciano vectorial de un vector del tipo se lee : . ${\displaystyle V(r,\theta ){\hat {\varphi }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left(V(r,\theta ){\hat {\varphi }}\right)={\hat {\varphi }}\cdot \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)V(r,\theta )=\\&{\hat {\varphi }}\cdot \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,\theta )\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}V(r,\theta )\right)-{\frac {V(r,\theta )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]\end{aligned}}}$$

Se puede así calcular que: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=0\\\nabla ^{2}\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=0\end{aligned}}}$$

Por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {\psi }}&=-\nabla ^{2}\left(\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)\\&=-\left(\psi _{2}\nabla ^{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}+2{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}e^{-kr(1+\cos \theta )}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}e^{-kr(1+\cos \theta )}\right){\hat {\varphi }}\\&=-{\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto la vorticidad es: $${\displaystyle {\vec {\omega }}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}={\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}}$$

donde hemos utilizado el desvanecimiento de la divergencia de para relacionar el laplaciano vectorial y un doble rotacional . ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$

El lado izquierdo de la ecuación del movimiento es el rizo de la siguiente ecuación: $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}-\nu {\vec {\omega }}}$$

Calculamos la derivada por separado para cada término en . ${\displaystyle \psi }$

Tenga en cuenta que: $${\displaystyle {\vec {U}}=U\left(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta }}\right)}$$

Y además: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}&=-{\frac {1}{r}}\psi _{2}\\\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}&=\psi _{2}\end{aligned}}}$$

Así pues, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}=-U{\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )\psi _{2}{\hat {\varphi }}=-{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)&=-e^{-kr(1+\cos \theta )}\left(\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }})+\psi _{2}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-kr(1+\cos \theta \right){\hat {\varphi }}\right)\right)\\&=U\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}\left({\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )+\cos \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}\\&=U\psi _{2}(1+\cos \theta )\left({\frac {1}{r}}+k\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\\&={\frac {U}{2k}}{\vec {\omega }}=\nu {\vec {\omega }}\end{aligned}}}$$

Combinando todos los términos tenemos: $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta -{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta \right){\hat {\varphi }}}$$

Tomando el rizo, encontramos una expresión que es igual a veces el gradiente de la siguiente función, que es la presión: ${\displaystyle 1/\rho }$ $${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {3\mu Ua}{2r^{2}}}\cos \theta +{\frac {\rho U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}$$

¿Dónde está la presión en el infinito?, ¿el ángulo polar se origina en el lado opuesto del punto de estancamiento frontal ( donde es el punto de estancamiento frontal)? ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

Además, la velocidad se deriva tomando el rizo de : ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ $${\displaystyle {\vec {u}}=U\left[-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}\cos \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr^{2}}}-{\frac {3a^{2}}{R}}\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}[1-\cos \theta ]\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {r}}-U\left[{\frac {a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr}}k\sin \theta e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {\theta }}}$$

Estas p y u satisfacen la ecuación de movimiento y por tanto constituyen la solución a la aproximación de Oseen.

Modificaciones a la aproximación de Oseen

Sin embargo, se puede cuestionar si el término de corrección fue elegido por casualidad, porque en un marco de referencia que se mueve con la esfera, el fluido cerca de la esfera está casi en reposo, y en esa región la fuerza inercial es despreciable y la ecuación de Stokes está bien justificada. ^[6] Lejos de la esfera, la velocidad del flujo se acerca a u y la aproximación de Oseen es más precisa. ^[6] Pero la ecuación de Oseen se obtuvo aplicando la ecuación para todo el campo de flujo. Esta pregunta fue respondida por Proudman y Pearson en 1957, ^[8] quienes resolvieron las ecuaciones de Navier-Stokes y dieron una solución de Stokes mejorada en la vecindad de la esfera y una solución de Oseen mejorada en el infinito, y emparejaron las dos soluciones en una supuesta región común de su validez. Obtuvieron:

$${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).}$$

Aplicaciones

El método y la formulación para el análisis del flujo a un número de Reynolds muy bajo son importantes. El movimiento lento de partículas pequeñas en un fluido es común en la bioingeniería . La formulación de arrastre de Oseen se puede utilizar en relación con el flujo de fluidos en varias condiciones especiales, como: contención de partículas, sedimentación de partículas, centrifugación o ultracentrifugación de suspensiones, coloides y sangre mediante el aislamiento de tumores y antígenos. ^[6] El fluido ni siquiera tiene que ser un líquido, y las partículas no necesitan ser sólidas. Se puede utilizar en varias aplicaciones, como la formación de smog y la atomización de líquidos.

El flujo sanguíneo en vasos pequeños, como los capilares , se caracteriza por números de Reynolds y de Womersley pequeños . Un vaso con un diámetro de 10 µm con un flujo de 1 milímetro/segundo , una viscosidad de 0,02 poises para la sangre, una densidad de 1 g/cm ³ y una frecuencia cardíaca de 2 Hz , tendrá un número de Reynolds de 0,005 y un número de Womersley de 0,0126. Con estos números de Reynolds y de Womersley pequeños, los efectos viscosos del fluido se vuelven predominantes. Comprender el movimiento de estas partículas es esencial para la administración de fármacos y el estudio de los movimientos de metástasis de los cánceres.

Notas

1. Batchelor (2000), §4.10, págs. 240–246.
2. Lagerstrom, Paco Axel. Teoría del flujo laminar. Princeton University Press, 1996.
3. Lamb, Horace. Hidrodinámica. Cambridge University Press, 1932.
4. Shu, Jian-Jun; Chwang, AT (2001). "Soluciones fundamentales generalizadas para flujos viscosos inestables". Physical Review E . 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Bibcode :2001PhRvE..63e1201S. doi :10.1103/PhysRevE.63.051201. PMID  11414893. S2CID  22258027.
5. Shu, Jian-Jun; Lee, JS (2008). "Soluciones fundamentales para fluidos micropolares". Journal of Engineering Mathematics . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Código Bibliográfico :2008JEnMa..61...69S. doi :10.1007/s10665-007-9160-8. S2CID  3450011.
6. Fung (1997)
7. Mayo de 2011
8. Proudman y Pearson (1957)

Referencias

• Oseen, Carl Wilhelm (1910), "Über die Stokes'sche formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik", Arkiv för matematik, astronomi och fysik , vi (29)
• Batchelor, George (2000), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge Mathematical Library (segunda edición de bolsillo), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66396-0, Sr.  1744638
• Fung, Yuan-cheng (1997), Biomecánica: Circulación (2.ª ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag
• Mei, CC (4 de abril de 2011), "Mejora de Oseen para el flujo lento que pasa por un cuerpo" (PDF) , Advanced Environmental Fluid Mechanics , Web.Mit.edu , consultado el 28 de febrero de 2013
• Proudman, I.; Pearson, JRA (1957), "Expansiones a números de Reynolds pequeños para el flujo que pasa por una esfera y un cilindro circular", Journal of Fluid Mechanics , 2 (3): 237–262, Bibcode :1957JFM.....2..237P, doi :10.1017/S0022112057000105, S2CID  119410137