En la geometría del espacio hiperbólico tridimensional , el panal de abejas de teselación cuadrada de orden 4 es uno de los 11 panales de abejas regulares paracompactos. Es paracompacto porque tiene infinitas celdas y figuras de vértices , con todos los vértices como puntos ideales en el infinito. Dado por el símbolo de Schläfli {4,4,4}, tiene cuatro teselación cuadrada alrededor de cada arista e infinitas teselación cuadrada alrededor de cada vértice en una figura de vértice de teselación cuadrada . [1]
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abejas se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abejas uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abejas uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abejas uniforme en el espacio esférico.
El panal de abeja de mosaico cuadrado de orden 4 tiene muchas construcciones de simetría reflexiva:
como un panal normal,
↔
con tipos (colores) alternos de mosaicos cuadrados, y
con 3 tipos (colores) de mosaicos cuadrados en una proporción de 2:1:1.
Otras dos construcciones de semisimetría con dominios piramidales tienen simetría [4,4,1 + ,4]:↔
, y↔
.
Hay dos subgrupos de alto índice, ambos de índice 8: [4,4,4 * ] ↔ [(4,4,4,4,1 + )], con un dominio fundamental piramidal: [((4,∞,4)),((4,∞,4))] o
; y [4,4 * ,4], con 4 conjuntos ortogonales de espejos ultraparalelos en un dominio fundamental octaédrico:
.
El panal de abejas de mosaico cuadrado de orden 4 es análogo al mosaico apeirogonal hiperbólico 2D de orden infinito , {∞,∞}, con infinitas caras apeirogonales y con todos los vértices en la superficie ideal.
Contiene
yque forman 2 superficies hipercíclicas , que son similares a estos mosaicos apeirogonales de orden 4 paracompactos 
:
El panal de abejas de orden 4 es un panal hiperbólico regular en el espacio tridimensional. Es uno de los once panales de abejas paracompactos regulares.
Hay nueve panales uniformes en la familia del grupo Coxeter [4,4,4] , incluida esta forma regular.
Forma parte de una secuencia de panales con figura de vértice de teselación cuadrada :
Forma parte de una secuencia de panales con celdas de teselación cuadrada :
Forma parte de una secuencia de polichoras y panales cuasirregulares:
El panal de abejas de mosaico hexagonal de orden 4 rectificado , t 1 {4,4,4},tiene facetas de mosaico cuadrado , con una figura de vértice cúbica . Es lo mismo que el panal de mosaico cuadrado regular , {4,4,3},
.
El panal de abeja de mosaico cuadrado de orden 4 truncado , t 0,1 {4,4,4},tiene mosaicos cuadrados y facetas de mosaicos cuadrados truncados , con una figura de vértice de pirámide cuadrada .
El panal de abeja de teselación cuadrada de orden 4 bitruncado , t 1,2 {4,4,4},tiene facetas de mosaico cuadrado truncado , con figura de vértice difenoide tetragonal .
Orden cantelado: 4 mosaicos cuadrados en forma de panal .es lo mismo que el panal de abeja de mosaico cuadrado rectificado ,Tiene facetas de mosaico cúbico y cuadrado , con figura de vértice de prisma triangular .
Orden cantitruncada: 4 mosaicos cuadrados en forma de panal .es lo mismo que el panal de abeja de mosaico cuadrado truncado ,Contiene facetas de mosaico cúbico y cuadrado truncado , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Es lo mismo que el panal de abeja de teselación cuadrada truncada ..
Orden 4 de panal de abejas cuadrado runcinado , t 0,3 {4,4,4},tiene mosaicos cuadrados y facetas cúbicas , con una figura de vértice de antiprisma cuadrado .
El panal de abejas de mosaico cuadrado de orden 4 truncado , t 0,1,3 {4,4,4},tiene mosaicos cuadrados , mosaicos cuadrados truncados , cubos y facetas de prisma octogonal , con una figura de vértice de pirámide cuadrada .
El panal de abeja de teselación cuadrada de orden 4 runcicantelado es equivalente al panal de abeja de teselación cuadrada de orden 4 runcitruncado.
El panal de abeja de mosaico cuadrado de orden 4 omnitruncado , t 0,1,2,3 {4,4,4},tiene teselaciones cuadradas truncadas y facetas prismáticas octogonales , con figura de vértice diegonal difenoide .
El panal de abejas de teselación cuadrada de orden 4 alternado es una construcción de simetría inferior del propio panal de abejas de teselación cuadrada de orden 4.
El panal de abeja de teselación cuadrada de orden cántico 4 es una construcción de simetría inferior del panal de abeja de teselación cuadrada de orden truncado 4 .
El panal de abeja de teselación cuadrada de orden rúnico 4 es una construcción de simetría inferior del panal de abeja de teselación cuadrada de orden 3 .
El panal de abejas de teselación cuadrada de orden 4 runcicantic es una construcción de simetría inferior del panal de abejas de teselación cuadrada de orden 4 bitruncado .
El panal de abeja de mosaico cuadrado de orden 4 , q{4,4,4},
, o
, tiene teselación cuadrada truncada y facetas de teselación cuadrada , con una figura de vértice de antiprisma cuadrado .