El noveno problema de Hilbert , de la lista de 23 problemas de Hilbert (1900), pedía encontrar la ley de reciprocidad más general para los residuos normativos de orden k en un cuerpo de números algebraicos generales , donde k es una potencia de un primo .
El problema fue parcialmente resuelto por Emil Artin estableciendo la ley de reciprocidad de Artin que trata con extensiones abelianas de cuerpos de números algebraicos . [1] [2] [3] Junto con el trabajo de Teiji Takagi y Helmut Hasse (quien estableció la ley de reciprocidad de Hasse más general), esto condujo al desarrollo de la teoría de cuerpos de clases , realizando el programa de Hilbert de manera abstracta. Ciertas fórmulas explícitas para residuos normativos fueron encontradas más tarde por Igor Shafarevich (1948; 1949; 1950).
La generalización no abeliana , también relacionada con el duodécimo problema de Hilbert , es uno de los desafíos de larga data en la teoría de números y está lejos de estar completa.