Constante de normalización

Constante a tal que af(x) es una medida de probabilidad

En teoría de la probabilidad , se utiliza una constante de normalización o un factor de normalización para reducir cualquier función de probabilidad a una función de densidad de probabilidad con una probabilidad total de uno.

Por ejemplo, una función gaussiana se puede normalizar en una función de densidad de probabilidad, lo que da la distribución normal estándar. En el teorema de Bayes, se utiliza una constante de normalización para garantizar que la suma de todas las hipótesis posibles sea igual a 1. Otros usos de las constantes de normalización incluyen hacer que el valor de un polinomio de Legendre sea 1 y en la ortogonalidad de funciones ortonormales.

Se ha utilizado un concepto similar en áreas distintas a la probabilidad, como los polinomios.

Definición

En teoría de la probabilidad , una constante de normalización es una constante por la cual se debe multiplicar una función no negativa en todas partes para que el área bajo su gráfica sea 1, por ejemplo, para convertirla en una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad . ^{[1] [2]}

Ejemplos

Si partimos de la función gaussiana simple

$${\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}/2},\quad x\in (-\infty ,\infty )}$$

integral gaussiana correspondiente

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},}$$

Ahora bien, si utilizamos el valor recíproco de este último como constante de normalización para el primero, definiendo una función como ${\displaystyle \varphi (x)}$

$${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}}$$

integral

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}\,dx=1}$$

^[3]distribución normalEstándarvalor esperadovarianza ${\displaystyle \varphi (x)}$

Y constante es la constante de normalización de la función . ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ ${\displaystyle p(x)}$

Similarmente,

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=e^{\lambda },}$$

$${\displaystyle f(n)={\frac {\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}}}$$

^[4]distribución de Poisson

Tenga en cuenta que si la función de densidad de probabilidad es función de varios parámetros, también lo será su constante de normalización. La constante de normalización parametrizada para la distribución de Boltzmann juega un papel central en la mecánica estadística . En ese contexto, la constante de normalización se llama función de partición .

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes dice que la medida de probabilidad posterior es proporcional al producto de la medida de probabilidad anterior y la función de verosimilitud . Proporcional a implica que se debe multiplicar o dividir por una constante de normalización para asignar la medida 1 a todo el espacio, es decir, para obtener una medida de probabilidad. En un caso discreto simple tenemos

${\displaystyle P(H_{0}|D)={\frac {P(D|H_{0})P(H_{0})}{P(D)}}}$

donde P(H ₀ ) es la probabilidad a priori de que la hipótesis sea cierta; P(D|H ₀ ) es la probabilidad condicional de los datos dado que la hipótesis es verdadera, pero dado que los datos son conocidos es la probabilidad de la hipótesis (o sus parámetros) dados los datos; P(H ₀ |D) es la probabilidad posterior de que la hipótesis sea cierta dados los datos. P(D) debería ser la probabilidad de producir los datos, pero por sí solo es difícil de calcular, por lo que una forma alternativa de describir esta relación es como una de proporcionalidad:

${\displaystyle P(H_{0}|D)\propto P(D|H_{0})P(H_{0}).}$

Dado que P(H|D) es una probabilidad, la suma de todas las hipótesis posibles (mutuamente excluyentes) debería ser 1, lo que lleva a la conclusión de que

${\displaystyle P(H_{0}|D)={\frac {P(D|H_{0})P(H_{0})}{\displaystyle \sum _{i}P(D|H_{i})P(H_{i})}}.}$

En este caso, el recíproco del valor

${\displaystyle P(D)=\sum _{i}P(D|H_{i})P(H_{i})\;}$

es la constante de normalización . ^[5] Se puede extender desde hipótesis contablemente muchas a incontables muchas reemplazando la suma por una integral.

Para ser más concretos, existen muchos métodos para estimar la constante de normalización con fines prácticos. Los métodos incluyen la técnica de muestreo puente, el estimador ingenuo de Monte Carlo, el estimador de media armónica generalizada y el muestreo de importancia. ^[6]

Usos no probabilísticos

Los polinomios de Legendre se caracterizan por su ortogonalidad con respecto a la medida uniforme en el intervalo [−1, 1] y por el hecho de que están normalizados para que su valor en 1 sea 1. La constante por la que se multiplica un polinomio para que su valor en 1 es una constante de normalización.

Las funciones ortonormales están normalizadas de modo que

$${\displaystyle \langle f_{i},\,f_{j}\rangle =\,\delta _{i,j}}$$

⟨ f , g ⟩

La constante 1/ √ 2 se utiliza para establecer las funciones hiperbólicas cosh y sinh a partir de las longitudes de los lados adyacentes y opuestos de un triángulo hiperbólico .

Ver también

• Normalización (estadísticas)

Notas

1. Distribuciones continuas en la Universidad de Alabama.
2. Feller, 1968, pág. 22.
3. Feller, 1968, pág. 174.
4. Feller, 1968, pág. 156.
5. Feller, 1968, pág. 124.
6. Gronau, Quentin (2020). "bridgesampling: un paquete R para estimar constantes de normalización" (PDF) . La red integral de archivos de R. Consultado el 11 de septiembre de 2021 .

Referencias

• Distribuciones continuas en el Departamento de Ciencias Matemáticas: Universidad de Alabama en Huntsville
• Feller, William (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones (volumen I) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-25708-7.