En álgebra abstracta , un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en sus submódulos , donde los submódulos están parcialmente ordenados por inclusión . [1]
Históricamente, Hilbert fue el primer matemático en trabajar con las propiedades de submódulos generados de forma finita . Demostró un teorema importante conocido como teorema de la base de Hilbert que dice que cualquier ideal en el anillo polinómico multivariado de un campo arbitrario se genera de forma finita . Sin embargo, la propiedad lleva el nombre de Emmy Noether, quien fue la primera en descubrir la verdadera importancia de la propiedad.
En presencia del axioma de elección , [2] [ se necesita mejor fuente ] son posibles otras dos caracterizaciones:
Si M es un módulo y K un submódulo, entonces M es noetheriano si y sólo si K y M / K son noetherianos. Esto contrasta con la situación general con los módulos generados de forma finita: no es necesario generar un submódulo de un módulo generado de forma finita. [4]
Un anillo noetheriano derecho R es, por definición, un módulo R derecho noetheriano sobre sí mismo mediante la multiplicación por la derecha. Del mismo modo, un anillo se denomina anillo noetheriano izquierdo cuando R es noetheriano y se considera un módulo R izquierdo . Cuando R es un anillo conmutativo, los adjetivos de izquierda a derecha pueden eliminarse porque son innecesarios. Además, si R es noetheriano en ambos lados, se acostumbra llamarlo noetheriano y no "noetheriano de izquierda y derecha".
La condición noetheriana también se puede definir en estructuras de bimódulos : un bimódulo noetheriano es un bimódulo cuyo conjunto de subbimódulos satisface la condición de cadena ascendente. Dado que un subbimódulo de un bimódulo R - S M es en particular un módulo R izquierdo , si M considerado como un módulo R izquierdo fuera noetheriano, entonces M es automáticamente un bimódulo noetheriano. Puede suceder, sin embargo, que un bimódulo sea noetheriano sin que sus estructuras izquierda o derecha sean noetherianas.