En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría combinatoria de grupos , las transformaciones de Nielsen , llamadas así por Jakob Nielsen , son ciertos automorfismos de un grupo libre que son un análogo no conmutativo de la reducción por filas y una de las principales herramientas utilizadas en el estudio de los grupos libres (Fine, Rosenberger y Stille 1995). Fueron introducidas en (Nielsen 1921) para demostrar que cada subgrupo de un grupo libre es libre (el teorema de Nielsen-Schreier ), pero ahora se utilizan en una variedad de matemáticas, incluyendo la teoría de grupos computacionales , la teoría k y la teoría de nudos . El libro de texto Combinatorial Group Theory (Magnus, Karrass y Solitar 2004) dedica todo el capítulo 3 a las transformaciones de Nielsen.
Una de las definiciones más simples de una transformación de Nielsen es un automorfismo de un grupo libre, pero esta no era su definición original. A continuación se ofrece una definición más constructiva.
Una transformación de Nielsen en un grupo libre finitamente generado con base ordenada [ x 1 , ..., x n ] se puede factorizar en transformaciones elementales de Nielsen de los siguientes tipos:
Estas transformaciones son análogas a las operaciones elementales de filas . Las transformaciones de los dos primeros tipos son análogas a los intercambios de filas y a las permutaciones cíclicas de filas. Las transformaciones del tercer tipo corresponden a la escala de una fila mediante un escalar invertible. Las transformaciones del cuarto tipo corresponden a las adiciones de filas.
Las transformaciones de los dos primeros tipos son suficientes para permutar los generadores en cualquier orden, por lo que el tercer tipo puede aplicarse a cualquiera de los generadores y el cuarto tipo a cualquier par de generadores.
Cuando se trabaja con grupos que no son libres, se aplican estas transformaciones a subconjuntos finitos ordenados de un grupo. En esta situación, las composiciones de las transformaciones elementales se denominan regulares . Si se permite eliminar elementos del subconjunto que son el elemento identidad, entonces la transformación se denomina singular .
La imagen bajo una transformación de Nielsen (elemental o no, regular o no) de un grupo electrógeno de un grupo G es también un grupo electrógeno de G. Dos grupos electrógenos se denominan equivalentes de Nielsen si existe una transformación de Nielsen que lleve uno al otro. Si los grupos electrógenos tienen el mismo tamaño, entonces basta considerar composiciones de transformaciones de Nielsen regulares.
El grupo diedro de orden 10 tiene dos clases de equivalencia de Nielsen de conjuntos generadores de tamaño 2. Si x es un elemento de orden 2 e y es un elemento de orden 5, las dos clases de conjuntos generadores se representan por [ x , y ] y [ x , yy ], y cada clase tiene 15 elementos distintos. Un conjunto generador muy importante de un grupo diedro es el conjunto generador a partir de su presentación como un grupo de Coxeter . Un conjunto generador de este tipo para un grupo diedro de orden 10 consta de cualquier par de elementos de orden 2, como [ x , xy ]. Este conjunto generador es equivalente a [ x , y ] mediante:
A diferencia de [ x , y ] y [ x , yy ], los conjuntos generadores [ x , y , 1 ] y [ x , yy , 1 ] son equivalentes. [1] Una secuencia de transformación que utiliza transformaciones elementales más convenientes (todos los intercambios, todos los inversos, todos los productos) es:
En (Nielsen 1921), se da una prueba combinatoria sencilla de que los subgrupos finitamente generados de grupos libres son libres. Un conjunto generador se llama Nielsen reducido si no hay demasiada cancelación en los productos. El artículo muestra que cada conjunto generador finito de un subgrupo de un grupo libre es (singularmente) Nielsen equivalente a un conjunto generador Nielsen reducido, y que un conjunto generador Nielsen reducido es una base libre para el subgrupo, por lo que el subgrupo es libre. Esta prueba se da con cierto detalle en (Magnus, Karrass y Solitar 2004, Cap. 3.2).
En (Nielsen 1924), se muestra que el automorfismo definido por las transformaciones elementales de Nielsen genera el grupo de automorfismos completo de un grupo libre finitamente generado . Nielsen, y más tarde Bernhard Neumann, utilizaron estas ideas para dar presentaciones finitas de los grupos de automorfismos de grupos libres. Esto también se describe en el libro de texto (Magnus, Karrass & Solitar 2004, p. 131, Tesis 3.2).
Para un conjunto generador dado de un grupo finitamente generado dado, no es necesariamente cierto que cada automorfismo esté dado por una transformación de Nielsen, pero para cada automorfismo hay un conjunto generador donde el automorfismo está dado por una transformación de Nielsen (Rapaport 1959).
Un caso particularmente simple del problema verbal para grupos y el problema de isomorfismo para grupos pregunta si un grupo finitamente presentado es el grupo trivial . Se sabe que esto es intratable en general, aunque existe una secuencia finita de transformaciones de Tietze elementales que llevan la presentación a la presentación trivial si y solo si el grupo es trivial. Un caso especial es el de las "presentaciones balanceadas", aquellas presentaciones finitas con números iguales de generadores y relatadores. Para estos grupos, existe una conjetura de que las transformaciones requeridas son bastante más simples (en particular, no involucran agregar o quitar relatadores). Si uno permite llevar el conjunto de relatadores a cualquier conjunto equivalente de Nielsen, y uno permite conjugar los relatadores, entonces uno obtiene una relación de equivalencia en subconjuntos ordenados de un relatadores de un grupo finitamente presentado. La conjetura de Andrews-Curtis es que los relatadores de cualquier presentación balanceada del grupo trivial son equivalentes a un conjunto de relatadores triviales, afirmando que cada generador es el elemento identidad.
En el libro de texto (Magnus, Karrass y Solitar 2004, págs. 131-132), se presenta una aplicación de las transformaciones de Nielsen para resolver el problema verbal generalizado para grupos libres, también conocido como el problema de pertenencia para subgrupos dados por conjuntos generadores finitos en grupos libres.
Un caso especial particularmente importante del problema de isomorfismo para grupos se refiere a los grupos fundamentales de nudos tridimensionales , que pueden resolverse utilizando transformaciones de Nielsen y un método de JW Alexander (Magnus, Karrass y Solitar 2004, cap. 3.4).
En la teoría computacional de grupos , es importante generar elementos aleatorios de un grupo finito . Los métodos populares para hacer esto aplican métodos de cadena de Markov para generar conjuntos generadores aleatorios del grupo. El "algoritmo de reemplazo de producto" simplemente utiliza transformaciones de Nielsen elegidas aleatoriamente para realizar un recorrido aleatorio en el gráfico de conjuntos generadores del grupo. El algoritmo está bien estudiado y se ofrece una descripción general en (Pak 2001). Una versión del algoritmo, llamada "shake", es:
Se puede demostrar que el grupo electrógeno utilizado durante el desarrollo de este algoritmo varía de manera uniforme en todos los grupos electrógenos equivalentes de Nielsen. Sin embargo, este algoritmo presenta una serie de problemas estadísticos y teóricos. Por ejemplo, puede haber más de una clase de generadores de equivalencia de Nielsen. Además, los elementos de los grupos electrógenos deben estar distribuidos de manera uniforme (por ejemplo, los elementos del subgrupo Frattini nunca pueden estar presentes en un grupo electrógeno de tamaño mínimo, pero también se producen problemas más sutiles).
La mayoría de estos problemas se solucionan rápidamente con la siguiente modificación denominada "traqueteo" (Leedham-Green y Murray 2002):
Para entender la equivalencia de Nielsen de los grupos electrógenos no mínimos, han sido útiles las investigaciones de teoría de módulos , como en (Evans 1989). Siguiendo en esta línea, una formulación de teoría K de la obstrucción a la equivalencia de Nielsen fue descrita en (Lustig 1991) y (Lustig & Moriah 1993). Estos muestran una conexión importante entre el grupo Whitehead del anillo de grupo y las clases de equivalencia de Nielsen de los generadores.