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Número de Ulam

En matemáticas , los números Ulam comprenden una secuencia de números enteros ideada y nombrada en su honor por Stanislaw Ulam , quien la introdujo en 1964. [1] La secuencia Ulam estándar (la secuencia (1, 2)-Ulam) comienza con U 1  = 1 y U 2  = 2. Luego, para n  > 2, U n se define como el entero más pequeño que es la suma de dos términos anteriores distintos exactamente de una manera y más grande que todos los términos anteriores.

Ejemplos

Como consecuencia de la definición, 3 es un número Ulam (1 + 2); y 4 es un número Ulam (1 + 3). (Aquí 2 + 2 no es una segunda representación de 4, porque los términos anteriores deben ser distintos). El entero 5 no es un número Ulam, porque 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Los primeros términos son

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ... (secuencia A002858 en la OEIS ).

Hay una cantidad infinita de números de Ulam. Una vez determinados los primeros n números de la secuencia, siempre es posible extender la secuencia con un elemento más: U n −1 + U n se representa de forma única como suma de dos de los primeros n números, y puede haber otros números más pequeños que también se representen de forma única de esta manera, por lo que el siguiente elemento puede elegirse como el más pequeño de estos números representables de forma única. [2]

Se dice que Ulam conjeturó que los números tienen densidad cero , [3] pero parecen tener una densidad de aproximadamente 0,07398. [4]

Propiedades

Aparte de 1 + 2 = 3, cualquier número Ulam posterior no puede ser la suma de sus dos números Ulam consecutivos anteriores.

Demostración: Supongamos que para n > 2, U n −1 + U n = U n +1 es la suma requerida en una sola dirección; entonces, U n −2 + U n produce una suma en una sola dirección, y está entre U n y U n +1 . Esto contradice la condición de que U n +1 es el siguiente número Ulam más pequeño. [5]

Para n > 2, tres números Ulam consecutivos cualesquiera ( U n −1 , U n , U n +1 ) como lados enteros formarán un triángulo. [6]

Demostración: La propiedad anterior establece que para n > 2, U n −2 + U n ≥ U n + 1 . En consecuencia U n −1 + U n > U n +1 y como U n −1 < U n < U n +1 se satisface la desigualdad triangular .

La secuencia de números Ulam forma una secuencia completa .

Demostración: Por definición U n = U j + U k donde j < k < n y es el entero más pequeño que es la suma de dos números Ulam más pequeños y distintos exactamente de una manera. Esto significa que para todo U n  con n > 3, el mayor valor que puede tener U j es U n −3 y el mayor valor que puede tener U k es U n −1 . [5] [7]
Por lo tanto, U n ≤ U n −1 + U n −3 < 2 U n −1 y U 1 = 1, U 2 = 2, U 3 = 3. Esta es una condición suficiente para que los números de Ulam sean una secuencia completa.

Para cada entero n > 1 siempre existe al menos un número Ulam U j tal que n ≤ U j < 2 n .

Demostración: Se ha demostrado que hay infinitos números Ulam y que empiezan en 1. Por lo tanto, para cada entero n > 1 es posible encontrar j tal que U j −1 ≤ n ≤ U j . De la demostración anterior para n > 3, U j  ≤  U j −1  +  U j −3  < 2 U j −1 . Por lo tanto, n  ≤  U j  <  2U j −1  ≤ 2 n . También para n = 2 y 3 la propiedad es verdadera por cálculo.

En cualquier secuencia de 5 números enteros positivos consecutivos { i , i + 1,..., i + 4}, i > 4 puede haber un máximo de 2 números Ulam. [7]

Demostración: Supongamos que la secuencia { i , i + 1,..., i + 4} tiene su primer valor i = U j un número Ulam, entonces es posible que i + 1 sea el siguiente número Ulam U j +1 . Ahora consideremos i + 2, este no puede ser el siguiente número Ulam U j +2 porque no es una suma única de dos términos anteriores. i + 2 = U j +1 + U 1 = U j + U 2 . Existe un argumento similar para i + 3 e i + 4.

Desigualdades

Los números Ulam son pseudoaleatorios y demasiado irregulares para tener límites estrictos. Sin embargo, a partir de las propiedades anteriores, es decir, en el peor de los casos, el siguiente número Ulam U n +1 ≤ U n + U n −2 y en cinco enteros positivos consecutivos cualesquiera, como máximo dos pueden ser números Ulam, se puede afirmar que

⁠5/2n −7 ≤ U n ≤ N n +1 para n > 0,[ 7]

donde N n son los números en la secuencia de vacas de Narayana : 1,1,1,2,3,4,6,9,13,19,... con la relación de recurrencia N n = N n −1 + N n −3 que comienza en N 0 .

Estructura oculta

Se ha observado [8] que los primeros 10 millones de números de Ulam satisfacen, excepto los cuatro elementos (esto se ha verificado ahora para los primeros números de Ulam). Las desigualdades de este tipo suelen ser ciertas para secuencias que presentan alguna forma de periodicidad, pero la secuencia de Ulam no parece ser periódica y el fenómeno no se entiende. Se puede aprovechar para realizar un cálculo rápido de la secuencia de Ulam (ver enlaces externos).

Generalizaciones

La idea puede generalizarse como números ( u ,  v )-Ulam seleccionando diferentes valores iniciales ( u ,  v ). Una secuencia de números ( u ,  v )-Ulam es regular si la secuencia de diferencias entre números consecutivos en la secuencia es eventualmente periódica. Cuando v es un número impar mayor que tres, los números (2,  v )-Ulam son regulares. Cuando v es congruente con 1 (mod 4) y al menos cinco, los números (4,  v )-Ulam son nuevamente regulares. Sin embargo, los números Ulam en sí mismos no parecen ser regulares. [9]

Se dice que una secuencia de números es s - aditiva si cada número de la secuencia, después de los 2 términos iniciales de la secuencia, tiene exactamente s representaciones como suma de dos números anteriores. Por lo tanto, los números Ulam y los números ( u ,  v )-Ulam son secuencias 1-aditivas. [10]

Si se forma una secuencia añadiendo el número más grande con una representación única como suma de dos números anteriores, en lugar de añadir el número más pequeño con una representación única, entonces la secuencia resultante es la secuencia de números de Fibonacci . [11]

Notas

  1. ^ Ulam  (1964a, 1964b).
  2. ^ Recaman (1973) ofrece un argumento similar, expresado como una prueba por contradicción . Afirma que, si hubiera un número finito de números Ulam, entonces la suma de los dos últimos también sería un número Ulam, lo que constituye una contradicción. Sin embargo, aunque la suma de los dos últimos números tendría en este caso una representación única como suma de dos números Ulam, no sería necesariamente el número más pequeño con una representación única.
  3. ^ La afirmación de que Ulam hizo esta conjetura se encuentra en OEIS OEIS : A002858 , pero Ulam no aborda la densidad de esta secuencia en Ulam (1964a), y en Ulam (1964b) plantea la cuestión de determinar su densidad sin conjeturar un valor para ella. Recaman (1973) repite la pregunta de Ulam (1964b) sobre la densidad de esta secuencia, nuevamente sin conjeturar un valor para ella.
  4. ^ OEISOEIS : A002858
  5. ^ de Recaman (1973)
  6. ^ OEISOEIS : A330909
  7. ^ abc Philip Gibbs y Judson McCranie (2017). "Los números de Ulam ascienden a un billón". p. 1 (Introducción).
  8. ^ Steinerberger (2015)
  9. ^ Queneau (1972) observó por primera vez la regularidad de las secuencias para u  = 2 y v  = 7 y v  = 9. Finch (1992) conjeturó la extensión de este resultado a todos los números v impares mayores que tres, y esta conjetura fue demostrada por Schmerl y Spiegel (1994). La regularidad de los números (4,  v )-Ulam fue demostrada por Cassaigne y Finch (1995).
  10. ^ Queneau (1972).
  11. ^ Pinzón (1992).

Referencias


Enlaces externos