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Número de Lah

Ilustración de los números Lah sin signo para n y k entre 1 y 4

En matemáticas , los números de Lah (con signo y sin signo) son coeficientes que expresan factoriales ascendentes en términos de factoriales descendentes y viceversa. Fueron descubiertos por Ivo Lah en 1954. [1] [2] Explícitamente, los números de Lah sin signo se dan mediante la fórmula que involucra el coeficiente binomial

para .

Los números Lah sin signo tienen un significado interesante en combinatoria : cuentan la cantidad de formas en que un conjunto de elementos puede dividirse en subconjuntos ordenados linealmente no vacíos . [3] Los números Lah están relacionados con los números de Stirling . [4]

Para , el número Lah es igual al factorial en la interpretación anterior, la única partición de en 1 conjunto puede tener su conjunto ordenado de 6 maneras: es igual a 6, porque hay seis particiones de en dos partes ordenadas: es siempre 1 porque la única manera de particionar en subconjuntos no vacíos da como resultado subconjuntos de tamaño 1, que solo se pueden permutar de una manera. En la literatura más reciente, [5] [6] la notación de estilo KaramataKnuth ha tomado el control. Los números Lah ahora se escriben a menudo como

Tabla de valores

A continuación se muestra una tabla de valores para los números Lah:

Las sumas de las filas son (secuencia A000262 en la OEIS ).

Factoriales ascendentes y descendentes

Sea el factorial ascendente y sea el factorial descendente . Los números Lah son los coeficientes que expresan cada una de estas familias de polinomios en términos de la otra. Explícitamente, y Por ejemplo, y

donde los coeficientes 6, 6 y 1 son exactamente los números de Lah , , y .

Identidades y relaciones

Los números de Lah satisfacen una variedad de identidades y relaciones.

En la notación Karamata - Knuth para números de Stirling, donde son los números de Stirling del primer tipo y son los números de Stirling del segundo tipo .

, para .

Relaciones de recurrencia

Los números de Lah satisfacen las relaciones de recurrencia donde , el delta de Kronecker y para todos los .

Función generadora exponencial

Derivada de exp(1/incógnita)

La derivada n - ésima de la función se puede expresar con los números de Lah, de la siguiente manera [7] Por ejemplo,

Enlace a polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre generalizados están vinculados a los números de Lah al establecer Esta fórmula es el polinomio de Laguerre predeterminado en la convención de cálculo Umbral . [8]

Aplicación práctica

En los últimos años, los números de Lah se han utilizado en esteganografía para ocultar datos en imágenes. En comparación con alternativas como DCT , DFT y DWT , tiene una menor complejidad de cálculo: —de sus coeficientes enteros. [9] [10] Las transformadas de Lah y Laguerre surgen naturalmente en la descripción perturbativa de la dispersión cromática . [11] [12] En la óptica de Lah-Laguerre, este enfoque acelera enormemente los problemas de optimización.

Véase también

Referencias

  1. ^ Lah, Ivo (1954). "Un nuevo tipo de números y su aplicación en la matemática actuarial". Boletim do Instituto dos Actuarios Portugueses . 9 : 7–15.
  2. ^ John Riordan, Introducción al análisis combinatorio, Princeton University Press (1958, reedición 1980) ISBN 978-0-691-02365-6 (reimpreso nuevamente en 2002 por Dover Publications). 
  3. ^ Petkovsek, Marko; Pisanski, Tomaz (otoño de 2007). "Interpretación combinatoria de números de Stirling y Lah sin signo". Pi Mu Epsilon Journal . 12 (7): 417–424. JSTOR  24340704.
  4. ^ Comtet, Louis (1974). Combinatoria avanzada. Dordrecht, Holanda: Reidel. p. 156. ISBN 9789027703804.
  5. ^ Shattuck, Mark (2014). "Números r-Lah generalizados". arXiv : 1412.8721 [math.CO].
  6. ^ Nyul, Gábor; Rácz, Gabriella (6 de octubre de 2015). "Los números r-Lah". Matemáticas discretas . Séptimo Simposio internacional checo-eslovaco sobre teoría de grafos, combinatoria, algoritmos y aplicaciones, Košice 2013. 338 (10): 1660–1666. doi :10.1016/j.disc.2014.03.029. hdl : 2437/213886 . ISSN  0012-365X.
  7. ^ Daboul, Siad; Mangaldan, Jan; Spivey, Michael Z.; Taylor, Peter J. (2013). "Los números Lah y la derivada n-ésima de ". Revista de matemáticas . 86 (1): 39–47. doi :10.4169/math.mag.86.1.039. JSTOR  10.4169/math.mag.86.1.039. S2CID  123113404.
  8. ^ Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D; Odlyzko, A (1973-06-01). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria. VIII. Cálculo de operadores finitos". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684–760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . ISSN  0022-247X.
  9. ^ Ghosal, Sudipta Kr; Mukhopadhyay, Souradeep; Hossain, Sabbir; Sarkar, Ram (2020). "Aplicación de la transformada de Lah para la seguridad y privacidad de los datos mediante la ocultación de información en las telecomunicaciones". Transactions on Emerging Telecommunications Technologies . 32 (2). doi :10.1002/ett.3984. S2CID  225866797.
  10. ^ "Esteganografía de imágenes mediante la transformada de Lah". MathWorks . 5 de junio de 2020.
  11. ^ Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (24 de octubre de 2022). "Formalismo óptico analítico de Lah-Laguerre para dispersión cromática perturbativa". Optics Express . 30 (22): 40779–40808. Bibcode :2022OExpr..3040779P. doi : 10.1364/OE.457139 . PMID  36299007.
  12. ^ Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (30 de agosto de 2020). "Teoría de la dispersión cromática, revisada". arXiv : 2011.00066 [física.óptica].

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