Número de Reynolds magnético

Cantidad adimensional en magnetohidrodinámica

En magnetohidrodinámica , el número de Reynolds magnético ( R _m ) es una cantidad adimensional que estima los efectos relativos de la advección o inducción de un campo magnético por el movimiento de un medio conductor a la difusión magnética . Es el análogo magnético del número de Reynolds en mecánica de fluidos y normalmente se define por:

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}~~\sim {\frac {\mathrm {induction} }{\mathrm {diffusion} }}}$

dónde

• ${\displaystyle U}$es una escala de velocidad típica del flujo,
• ${\displaystyle L}$es una escala de longitud típica del flujo,
• ${\displaystyle \eta }$es la difusividad magnética .

El mecanismo por el cual el movimiento de un fluido conductor genera un campo magnético es el tema de la teoría de la dinamo . Sin embargo, cuando el número de Reynolds magnético es muy grande, la difusión y la dinamo son menos preocupantes y, en este caso, la atención se centra a menudo en la influencia del campo magnético en el flujo.

Derivación

En la teoría de la magnetohidrodinámica , el número de Reynolds magnético se puede derivar de la ecuación de inducción :

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} }$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {B} }$es el campo magnético,
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es la velocidad del fluido,
• ${\displaystyle \eta }$es la difusividad magnética .

El primer término del lado derecho representa los efectos de la inducción magnética en el plasma y el segundo término representa los efectos de la difusión magnética . La importancia relativa de estos dos términos se puede encontrar tomando su relación, el número de Reynolds magnético . Si se supone que ambos términos comparten la longitud de escala tal que y la velocidad de escala tal que , el término de inducción se puede escribir como ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \sim U}$

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\sim {\frac {UB}{L}}}$

y el término de difusión como

${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\frac {\eta B}{L^{2}}}.}$

La razón de los dos términos es por lo tanto

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}.}$

Características generales para R m grandes y pequeños.

Para , la advección es relativamente poco importante, por lo que el campo magnético tenderá a relajarse hacia un estado puramente difusivo, determinado por las condiciones de contorno más que por el flujo. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

Porque , la difusión es relativamente poco importante en la escala de longitud L. Las líneas de flujo del campo magnético luego son advectadas con el flujo de fluido, hasta que los gradientes se concentran en regiones de escala de longitud lo suficientemente corta como para que la difusión pueda equilibrar la advección. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1}$

Rango de valores

El Sol tiene una estrella grande , de orden 10 ⁶ . ^{[ cita necesaria ]} Los efectos disipativos son generalmente pequeños y no hay dificultad para mantener un campo magnético contra la difusión. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

Para la Tierra, se estima que es del orden 10 ³ . ^[1] La disipación es más significativa, pero un campo magnético es sostenido por el movimiento en el núcleo externo de hierro líquido. Hay otros cuerpos en el sistema solar que tienen dinamos en funcionamiento, por ejemplo, Júpiter, Saturno y Mercurio, y otros que no, por ejemplo, Marte, Venus y la Luna. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

La escala de longitud humana es muy pequeña, por lo que normalmente . La generación de un campo magnético mediante el movimiento de un fluido conductor se ha logrado en sólo un puñado de grandes experimentos utilizando mercurio o sodio líquido. ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

Límites

En situaciones donde la magnetización permanente no es posible, por ejemplo por encima de la temperatura de Curie , para mantener un campo magnético debe ser lo suficientemente grande como para que la inducción supere la difusión. No es la magnitud absoluta de la velocidad lo que es importante para la inducción, sino más bien las diferencias relativas y el corte en el flujo, que estiran y pliegan las líneas del campo magnético. ^[5] Por lo tanto, una forma más apropiada para el número de Reynolds magnético en este caso es ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}}$

donde S es una medida de deformación. Uno de los resultados más conocidos se debe a Backus ^[6] quien afirma que el mínimo para la generación de un campo magnético por flujo en una esfera es tal que ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}}$

donde es el radio de la esfera y es la tasa de deformación máxima. Desde entonces, Proctor ha mejorado este límite en aproximadamente un 25 %. ^[7] ${\displaystyle L=a}$ ${\displaystyle S=e_{max}}$

Muchos estudios sobre la generación de un campo magnético por un flujo consideran el cubo periódico computacionalmente conveniente. En este caso se encuentra que el mínimo es ^[8]

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }=2.48}$

¿Dónde está la deformación cuadrática media sobre un dominio escalado con lados de longitud ? Si se descarta el corte en escalas de longitud pequeñas en el cubo, entonces es el mínimo, donde es el valor cuadrático medio. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73}$ ${\displaystyle U}$

Relación con el número de Reynolds y el número de Péclet

El número de Reynolds magnético tiene una forma similar tanto al número de Péclet como al número de Reynolds . Se puede considerar que los tres dan la relación entre los efectos advectivos y difusos para un campo físico particular y tienen la forma del producto de una velocidad y una longitud dividido por una difusividad. Mientras que el número de Reynolds magnético está relacionado con el campo magnético en un flujo magnetohidrodinámico, el número de Reynolds está relacionado con la velocidad del fluido en sí y el número de Péclet está relacionado con el calor. Los grupos adimensionales surgen en la adimensionalización de las respectivas ecuaciones gobernantes: la ecuación de inducción, las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación del calor .

Relación con el frenado por corrientes parásitas

El número de Reynolds magnético adimensional, también se utiliza en los casos en que no hay ningún fluido físico involucrado. ${\displaystyle R_{m}}$

${\displaystyle R_{m}=\mu \sigma }$× (longitud característica) × (velocidad característica)

dónde

${\displaystyle \mu }$es la permeabilidad magnética

${\displaystyle \sigma }$es la conductividad eléctrica.

Porque el efecto piel es insignificante y el par de frenado por corrientes parásitas sigue la curva teórica de un motor de inducción. ${\displaystyle R_{m}<1}$

Porque el efecto piel domina y el par de frenado disminuye mucho más lentamente al aumentar la velocidad de lo previsto por el modelo del motor de inducción. ^[9] ${\displaystyle R_{m}>30}$

Ver también

• número de lundquist
• Magnetohidrodinámica
• número de reynolds
• número de peclet

Referencias

1. Davies, C.; et al. (2015). "Restricciones de las propiedades materiales sobre la dinámica y evolución del núcleo de la Tierra" (PDF) . Geociencia de la naturaleza . 8 (9): 678–685. Código Bib : 2015NatGe...8..678D. doi : 10.1038/ngeo2492.
2. Gailitis, A.; et al. (2001). "Saturación del campo magnético en el experimento de la dinamo de Riga". Cartas de revisión física . 86 (14): 3024–3027. arXiv : física/0010047 . Código Bib : 2001PhRvL..86.3024G. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3024. PMID  11290098. S2CID  638748.
3. Steiglitz, R.; U. Müller (2001). "Demostración experimental de una dinamo homogénea de dos escalas". Física de Fluidos . 13 (3): 561–564. Código bibliográfico : 2001PhFl...13..561S. doi :10.1063/1.1331315.
4. Moncheaux, R.; et al. (2007). "Generación de un campo magnético por acción de dinamo en un flujo turbulento de sodio líquido". Cartas de revisión física . 98 (4): 044502. arXiv : física/0701075 . Código bibliográfico : 2007PhRvL..98d4502M. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.044502. PMID  17358779. S2CID  21114816.
5. Moffatt, K. (2000). "Reflexiones sobre la magnetohidrodinámica" (PDF) : 347–391. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
6. Backus, G. (1958). "Una clase de dínamos esféricos disipativos autosostenibles". Ana. Física . 4 (4): 372–447. Código bibliográfico : 1958AnPhy...4..372B. doi :10.1016/0003-4916(58)90054-X.
7. Supervisor, M. (1977). "Sobre la condición necesaria de Backus para la acción dinamo en una esfera conductora". Dinámica de fluidos geofísicos y astrofísicos . 9 (1): 89–93. Código bibliográfico : 1977GApFD...9...89P. doi : 10.1080/03091927708242317.
8. Willis, A. (2012). "Optimización del Dinamo Magnético". Cartas de revisión física . 109 (25): 251101. arXiv : 1209.1559 . Código bibliográfico : 2012PhRvL.109y1101W. doi : 10.1103/PhysRevLett.109.251101. PMID  23368443. S2CID  23466555.
9. Destripador, médico; Endean, VG (marzo de 1975). "Medidas del par de frenado por corrientes parásitas en un disco de cobre grueso". Proceso IEE . 122 (3): 301–302. doi :10.1049/piee.1975.0080.

Otras lecturas

• Moffatt, H. Keith, 2000, "Reflexiones sobre la magnetohidrodinámica" Archivado el 29 de septiembre de 2007 en Wayback Machine . En: Perspectivas en dinámica de fluidos ( ISBN 0-521-53169-1 ) (Ed. GK Batchelor, HK Moffatt y MG Worster) Cambridge University Press , págs. 347–391. 
• PA Davidson, 2001, Introducción a la magnetohidrodinámica ( ISBN 0-521-79487-0 ), Cambridge University Press .