Ecuación de inducción

En magnetohidrodinámica , la ecuación de inducción es una ecuación diferencial parcial que relaciona el campo magnético y la velocidad de un fluido eléctricamente conductor como un plasma . Puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell y de la ley de Ohm , y desempeña un papel importante en la física del plasma y la astrofísica , especialmente en la teoría de la dinamo .

declaración matemática

Las ecuaciones de Maxwell que describen las leyes de Faraday y Ampere dicen: y donde: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} \over \partial t},}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} ,}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$es el campo eléctrico.
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$es el campo magnético.
• ${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad al vacío .
• ${\displaystyle \mathbf {J} }$es la densidad de corriente eléctrica.

La corriente de desplazamiento puede despreciarse en un plasma, ya que es insignificante en comparación con la corriente transportada por las cargas libres. La única excepción a esto son los fenómenos de frecuencia excepcionalmente alta: por ejemplo, para un plasma con una conductividad eléctrica típica de 10 ⁷  mho /m, la corriente de desplazamiento es menor que la corriente libre en un factor de 10 ³ para frecuencias inferiores a 2 × 10¹⁴  Hz.

El campo eléctrico se puede relacionar con la densidad de corriente utilizando la ley de Ohm : donde $${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\mathbf {J} /\sigma }$$

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es el campo de velocidades .
• ${\displaystyle \sigma }$es la conductividad eléctrica del fluido.

Combinando estas tres ecuaciones, eliminando y , se obtiene la ecuación de inducción para un fluido eléctricamente resistivo : ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ $${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

Aquí está la difusividad magnética (en la literatura, la resistividad eléctrica , definida como , a menudo se identifica con la difusividad magnética). ^[1] ${\displaystyle \eta =1/\mu _{0}\sigma }$ ${\displaystyle 1/\sigma }$

Si el fluido se mueve con una velocidad típica y una escala de longitud típica , entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\eta B \over L^{2}},\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\sim {VB \over L}.}$$

La relación entre estas cantidades, que es un parámetro adimensional, se denomina número de Reynolds magnético : $${\displaystyle R_{m}={LV \over \eta }.}$$

Límite perfectamente conductor

Para un fluido con conductividad eléctrica infinita , el primer término de la ecuación de inducción desaparece. Esto equivale a un número de Reynolds magnético muy grande . Por ejemplo, puede ser del orden 10 ⁹ en una estrella típica. En este caso, el fluido puede denominarse fluido perfecto o ideal. Entonces, la ecuación de inducción para un fluido conductor ideal como la mayoría de los plasmas astrofísicos es ${\displaystyle \eta \to 0}$ $${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

Esto se considera una buena aproximación en la teoría de la dinamo , utilizada para explicar la evolución del campo magnético en entornos astrofísicos como estrellas , galaxias y discos de acreción .

Límite convectivo

De manera más general, la ecuación para el límite de conducción perfecta se aplica en regiones de gran escala espacial en lugar de conductividad eléctrica infinita , (es decir, ), ya que esto también hace que el número de Reynolds magnético sea muy grande, de modo que el término de difusión puede despreciarse. Este límite se llama "MHD ideal" y su teorema más importante es el teorema de Alfvén (también llamado teorema del flujo congelado). ${\displaystyle \eta \to 0}$

Límite difusivo

Para números de Reynolds magnéticos muy pequeños , el término difusivo supera al término convectivo. Por ejemplo, en un fluido eléctricamente resistivo con valores grandes de , el campo magnético se difunde muy rápidamente y no se puede aplicar el teorema de Alfvén . Esto significa que la energía magnética se disipa en calor y otros tipos de energía. La ecuación de inducción entonces lee ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} .}$$

Es común definir una escala de tiempo de disipación que es la escala de tiempo para la disipación de energía magnética en una escala de longitud . ${\displaystyle \tau _{d}=L^{2}/\eta }$ ${\displaystyle L}$

Ver también

• Teorema de Alfvén
• Magnetohidrodinámica
• ecuaciones de maxwell

Referencias

1. Drake, R. Paul (2019). Física de alta densidad de energía (2ª ed.). Cham: Springer. pag. 468.ISBN​ 978-3-319-67711-8.