Número de Reynolds magnético

Magnitud adimensional en magnetohidrodinámica

En magnetohidrodinámica , el número de Reynolds magnético ( R _m ) es una cantidad adimensional que estima los efectos relativos de la advección o inducción de un campo magnético por el movimiento de un medio conductor a la difusión magnética . Es el análogo magnético del número de Reynolds en mecánica de fluidos y se define típicamente por:

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}~~\sim {\frac {\mathrm {induction} }{\mathrm {diffusion} }}}$

dónde

• ${\displaystyle U}$es una escala de velocidad típica del flujo,
• ${\displaystyle L}$es una escala de longitud típica del flujo,
• ${\displaystyle \eta }$es la difusividad magnética .

El mecanismo por el cual el movimiento de un fluido conductor genera un campo magnético es el tema de la teoría de la dinamo . Sin embargo, cuando el número de Reynolds magnético es muy grande, la difusión y la dinamo son una preocupación menor y, en este caso, el enfoque se centra a menudo en la influencia del campo magnético sobre el flujo.

Derivación

En la teoría de la magnetohidrodinámica , el número de Reynolds magnético se puede derivar de la ecuación de inducción :

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} }$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {B} }$es el campo magnético,
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es la velocidad del fluido,
• ${\displaystyle \eta }$es la difusividad magnética .

El primer término del lado derecho representa los efectos de la inducción magnética en el plasma y el segundo término representa los efectos de la difusión magnética . La importancia relativa de estos dos términos se puede encontrar tomando su relación, el número de Reynolds magnético . Si se supone que ambos términos comparten la longitud de escala tal que y la velocidad de escala tal que , el término de inducción se puede escribir como ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \sim U}$

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\sim {\frac {UB}{L}}}$

y el término de difusión como

${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\frac {\eta B}{L^{2}}}.}$

La relación entre los dos términos es por tanto

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}.}$

Características generales para R grandes y pequeñosmetro

Para , la advección es relativamente poco importante y, por lo tanto, el campo magnético tenderá a relajarse hacia un estado puramente difusivo, determinado por las condiciones de contorno en lugar del flujo. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

Para , la difusión es relativamente poco importante en la escala de longitud L . Las líneas de flujo del campo magnético son entonces transportadas con el flujo del fluido, hasta que los gradientes se concentran en regiones de escala de longitud lo suficientemente corta como para que la difusión pueda equilibrar la convección. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1}$

Rango de valores

El Sol tiene una gran , del orden de 10 ⁶ . ^{[ cita requerida ]} Los efectos disipativos son generalmente pequeños y no hay dificultad en mantener un campo magnético contra la difusión. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

En el caso de la Tierra, se estima que es del orden de 10 ³ . ^[1] La disipación es más significativa, pero el movimiento en el núcleo exterior de hierro líquido sustenta un campo magnético. Hay otros cuerpos en el sistema solar que tienen dinamos en funcionamiento, por ejemplo, Júpiter, Saturno y Mercurio, y otros que no, por ejemplo, Marte, Venus y la Luna. ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

La escala de longitud humana es muy pequeña, por lo que, por lo general , la generación de un campo magnético mediante el movimiento de un fluido conductor se ha logrado en solo un puñado de grandes experimentos con mercurio o sodio líquido. ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

Límites

En situaciones en las que no es posible la magnetización permanente, por ejemplo, por encima de la temperatura de Curie , para mantener un campo magnético debe ser lo suficientemente grande como para que la inducción supere a la difusión. No es la magnitud absoluta de la velocidad lo que es importante para la inducción, sino más bien las diferencias relativas y el cizallamiento en el flujo, que estiran y pliegan las líneas del campo magnético. ^[5] Por lo tanto, una forma más apropiada para el número de Reynolds magnético en este caso es ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}}$

donde S es una medida de deformación. Uno de los resultados más conocidos se debe a Backus ^[6], que afirma que el mínimo para la generación de un campo magnético por flujo en una esfera es tal que ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}}$

donde es el radio de la esfera y es la tasa de deformación máxima. Proctor ha mejorado este límite aproximadamente en un 25 %. ^[7] ${\displaystyle L=a}$ ${\displaystyle S=e_{max}}$

Muchos estudios sobre la generación de un campo magnético por un flujo consideran el cubo periódico, que es muy conveniente desde el punto de vista computacional. En este caso, se ha descubierto que el mínimo es ^[8].

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }=2.48}$

donde es la deformación cuadrática media sobre un dominio escalado con lados de longitud . Si se descarta el corte sobre escalas de longitud pequeñas en el cubo, entonces es el mínimo, donde es el valor cuadrático medio. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73}$ ${\displaystyle U}$

Relación con el número de Reynolds y el número de Péclet

El número de Reynolds magnético tiene una forma similar tanto al número de Péclet como al número de Reynolds . Los tres pueden considerarse como la proporción de los efectos advectivos a difusivos para un campo físico particular y tienen la forma del producto de una velocidad y una longitud dividido por una difusividad. Mientras que el número de Reynolds magnético está relacionado con el campo magnético en un flujo magnetohidrodinámico, el número de Reynolds está relacionado con la velocidad del fluido en sí y el número de Péclet está relacionado con el calor. Los grupos adimensionales surgen en la no dimensionalización de las respectivas ecuaciones gobernantes: la ecuación de inducción, las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación del calor .

Relación con el frenado por corrientes de Foucault

El número de Reynolds magnético adimensional, , también se utiliza en casos en los que no hay ningún fluido físico involucrado. ${\displaystyle R_{m}}$

${\displaystyle R_{m}=\mu \sigma }$× (longitud característica) × (velocidad característica)

dónde

${\displaystyle \mu }$es la permeabilidad magnética

${\displaystyle \sigma }$es la conductividad eléctrica.

Porque el efecto pelicular es despreciable y el par de frenado por corrientes de Foucault sigue la curva teórica de un motor de inducción. ${\displaystyle R_{m}<1}$

Porque el efecto piel predomina y el par de frenado disminuye mucho más lentamente con el aumento de la velocidad de lo que predice el modelo del motor de inducción. ^[9] ${\displaystyle R_{m}>30}$

Véase también

• Número de Lundquist
• Magnetohidrodinámica
• Número de Reynolds
• Número de Péclet

Referencias

1. Davies, C.; et al. (2015). "Restricciones de las propiedades materiales en la dinámica y evolución del núcleo de la Tierra" (PDF) . Nature Geoscience . 8 (9): 678–685. Bibcode :2015NatGe...8..678D. doi :10.1038/ngeo2492.
2. Gailitis, A.; et al. (2001). "Saturación del campo magnético en el experimento de la dinamo de Riga". Physical Review Letters . 86 (14): 3024–3027. arXiv : physics/0010047 . Bibcode :2001PhRvL..86.3024G. doi :10.1103/PhysRevLett.86.3024. PMID  11290098. S2CID  638748.
3. Steiglitz, R.; U. Muller (2001). "Demostración experimental de un dinamo homogéneo de dos escalas". Física de fluidos . 13 (3): 561–564. Bibcode :2001PhFl...13..561S. doi :10.1063/1.1331315.
4. Moncheaux, R.; et al. (2007). "Generación de un campo magnético por acción de dinamo en un flujo turbulento de sodio líquido". Physical Review Letters . 98 (4): 044502. arXiv : physics/0701075 . Bibcode :2007PhRvL..98d4502M. doi :10.1103/PhysRevLett.98.044502. PMID  17358779. S2CID  21114816.
5. Moffatt, K. (2000). "Reflexiones sobre la magnetohidrodinámica" (PDF) : 347–391. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
6. Backus, G. (1958). "Una clase de dinamos esféricos disipativos autosostenibles". Ann. Phys . 4 (4): 372–447. Código Bibliográfico :1958AnPhy...4..372B. doi :10.1016/0003-4916(58)90054-X.
7. Proctor, M. (1977). "Sobre la condición necesaria de Backus para la acción de la dinamo en una esfera conductora". Dinámica de fluidos geofísica y astrofísica . 9 (1): 89–93. Bibcode :1977GApFD...9...89P. doi :10.1080/03091927708242317.
8. Willis, A. (2012). "Optimización del dínamo magnético". Physical Review Letters . 109 (25): 251101. arXiv : 1209.1559 . Código Bibliográfico :2012PhRvL.109y1101W. doi :10.1103/PhysRevLett.109.251101. PMID  23368443. S2CID  23466555.
9. Ripper, MD; Endean, VG (marzo de 1975). "Medidas del par de frenado por corrientes de Foucault en un disco de cobre grueso". Proc IEE . 122 (3): 301–302. doi :10.1049/piee.1975.0080.

Lectura adicional

• Moffatt, H. Keith, 2000, "Reflexiones sobre la magnetohidrodinámica" Archivado el 29 de septiembre de 2007 en Wayback Machine . En: Perspectivas en dinámica de fluidos ( ISBN 0-521-53169-1 ) (Ed. GK Batchelor, HK Moffatt y MG Worster) Cambridge University Press , pág. 347–391. 
• PA Davidson, 2001, Introducción a la magnetohidrodinámica ( ISBN 0-521-79487-0 ), Cambridge University Press .