Número de decano

Grupo adimensional en mecánica de fluidos

El número de Dean ( De ) es un grupo adimensional en mecánica de fluidos , que se da en el estudio del flujo en tuberías y canales curvos . Recibe su nombre del científico británico W. R. Dean , quien fue el primero en proporcionar una solución teórica del movimiento del fluido a través de tuberías curvas para el flujo laminar mediante el uso de un procedimiento de perturbación de un flujo de Poiseuille en una tubería recta a un flujo en una tubería con una curvatura muy pequeña. ^{[1] [2]}

Contexto físico

Esquema de un par de vórtices de Dean que se forman en tuberías curvas.

Si un fluido se mueve a lo largo de una tubería recta que después de cierto punto se vuelve curva, entonces el flujo que entra en una porción curva desarrolla una fuerza centrífuga en una geometría asimétrica. ^[3] Tal asimetría afecta el perfil de velocidad parabólico y causa un cambio en la ubicación de la velocidad máxima en comparación con una tubería recta. Por lo tanto, la velocidad máxima se desplaza desde la línea central hacia la pared exterior cóncava y forma un perfil de velocidad asimétrico. Habrá un gradiente de presión adverso generado a partir de la curvatura con un aumento de la presión, por lo tanto, una disminución de la velocidad cerca de la pared convexa, y lo contrario ocurre hacia la pared exterior cóncava de la tubería. Esto da lugar a un movimiento secundario superpuesto al flujo primario, con el fluido en el centro de la tubería siendo arrastrado hacia el lado exterior de la curva y el fluido cerca de la pared de la tubería regresará hacia el interior de la curva. Se espera que este movimiento secundario aparezca como un par de celdas contrarrotativas, que se denominan vórtices de Dean .

Definición

El número de Dean se suele denotar con De (o Dn ). Para un flujo en una tubería o tubo se define como:

${\displaystyle {\mathit {De}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,({\text{inertial forces}})({\text{centrifugal forces}})}}{\text{viscous forces}}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{D}})(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{R_{c}}})}}{\mu {\frac {v}{D}}D\,R_{c}}}={\frac {\rho \,D\,v}{\mu }}{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}={\textit {Re}}\,{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}}$

dónde

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad dinámica
• ${\displaystyle v}$es la escala de velocidad axial
• ${\displaystyle D}$es el diámetro (para geometría no circular, se utiliza un diámetro equivalente; ver número de Reynolds )
• ${\displaystyle R_{c}}$es el radio de curvatura de la trayectoria del canal.
• ${\displaystyle {\textit {Re}}}$es el número de Reynolds .

Por tanto, el número de Dean es el producto del número de Reynolds (basado en el flujo axial a través de una tubería de diámetro ) y la raíz cuadrada de la relación de curvatura. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$

Transición de turbulencia

El flujo es completamente unidireccional para números de Dean bajos (De < 40~60). A medida que el número de Dean aumenta entre 40~60 a 64~75, se pueden observar algunas perturbaciones onduladas en la sección transversal, lo que evidencia algún flujo secundario. A números de Dean más altos que ese (De > 64~75) el par de vórtices de Dean se vuelve estable, lo que indica una inestabilidad dinámica primaria. Una inestabilidad secundaria aparece para De > 75~200, donde los vórtices presentan ondulaciones, torsión y eventualmente fusión y división de pares. Se forma un flujo completamente turbulento para De > 400. ^[4] La transición de flujo laminar a turbulento también se ha examinado en varios estudios, aunque no existe una solución universal ya que el parámetro depende en gran medida de la relación de curvatura. ^[5] De manera un tanto inesperada, el flujo laminar se puede mantener para números de Reynolds mayores (incluso por un factor de dos para las relaciones de curvatura más altas estudiadas) que para tuberías rectas, aunque se sabe que la curvatura causa inestabilidad. ^[6]

Las ecuaciones de Dean

El número de Dean aparece en las llamadas ecuaciones de Dean . ^[7] Estas son una aproximación a las ecuaciones completas de Navier-Stokes para el flujo axialmente uniforme y constante de un fluido newtoniano en una tubería toroidal , obtenidas al conservar solo los efectos de curvatura de orden principal (es decir, las ecuaciones de orden principal para ). ${\displaystyle a/r\ll 1}$

Utilizamos coordenadas ortogonales con vectores unitarios correspondientes alineados con la línea central de la tubería en cada punto. La dirección axial es , siendo la normal en el plano de la línea central y la binormal . Para un flujo axial impulsado por un gradiente de presión , la velocidad axial se escala con . Las velocidades transversales se escalan con , y las presiones transversales con . Las longitudes se escalan con el radio del tubo . ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle ({\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}})}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {z}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle u_{z}}$ ${\displaystyle U=Ga^{2}/\mu }$ ${\displaystyle u_{x},u_{y}}$ ${\displaystyle (a/R)^{1/2}U}$ ${\displaystyle \rho aU^{2}/L}$ ${\displaystyle a}$

En términos de estas variables y coordenadas adimensionales, las ecuaciones de Dean son entonces

${\displaystyle De\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}-u_{z}^{2}\right)=-De{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}}$

${\displaystyle De{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-De{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}}$

${\displaystyle De{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0}$

dónde

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}}$

es la derivada convectiva .

El número de Dean De es el único parámetro que queda en el sistema y encapsula los efectos de curvatura de orden principal . Las aproximaciones de orden superior implicarán parámetros adicionales.

Para efectos de curvatura débiles ( De pequeño ), las ecuaciones de Dean se pueden resolver como una expansión en serie en De . La primera corrección al flujo de Poiseuille axial de orden principal es un par de vórtices en la sección transversal que transportan el flujo desde el interior hacia el exterior de la curva a través del centro y de regreso alrededor de los bordes. Esta solución es estable hasta un número de Dean crítico . ^[8] Para De mayor , hay múltiples soluciones, muchas de las cuales son inestables. ${\displaystyle De_{c}\approx 956}$

Referencias

1. Dean, WR (1927). "Nota sobre el movimiento del fluido en una tubería curva". Phil. Mag . 4 (20): 208–223. doi :10.1080/14786440708564324.
2. Dean, WR (1928). "El movimiento aerodinámico del fluido en una tubería curva". Phil. Mag . Series 7. 5 (30): 673–695. doi :10.1080/14786440408564513.
3. https://www.mdpi.com/2072-666X/14/12/2202 ^{[ URL desnuda ]}
4. Ligrani, Phillip M. "Un estudio del desarrollo y la estructura del vórtice de Dean en un canal rectangular curvo con una relación de aspecto de 40 con números de Dean de hasta 430", Laboratorio de Investigación del Ejército de EE. UU. (informe del contratista ARL-CR-144) y Centro de Investigación Lewis (informe del contratista de la NASA 4607), julio de 1994. Recuperado el 11 de julio de 2017.
5. Kalpakli, Athanasia (2012). Estudio experimental de flujos turbulentos a través de curvas de tuberías (Tesis). Estocolmo, Suecia: Royal Institute of Technology KTH Mechanics. págs. 461–512.
6. Taylor, GI (1929). "El criterio para la turbulencia en tuberías curvas". Actas de la Royal Society of London A: Ciencias matemáticas, físicas e ingenieriles . 124 (794): 243–249. Bibcode :1929RSPSA.124..243T. doi : 10.1098/rspa.1929.0111 .
7. Mestel, J. Flujo en tuberías curvas: las ecuaciones de Dean, folleto de clase para el curso M4A33 , Imperial College.
8. Dennis, CR; Ng, M. (1982). "Soluciones duales para flujo laminar constante a través de un tubo curvo". QJ Mech. Appl. Math . 35 (3): 305. doi :10.1093/qjmam/35.3.305.

Lectura adicional

• Berger, SA; Talbot, L.; Yao, LS (1983). "Flujo en tuberías curvas". Annu. Rev. Fluid Mech . 15 : 461–512. Código Bibliográfico :1983AnRFM..15..461B. doi :10.1146/annurev.fl.15.010183.002333.