producto moyal

Un ejemplo de producto estrella del espacio de fases en matemáticas.

En matemáticas , el producto de Moyal (en honor a José Enrique Moyal ; también llamado producto estrella o producto Weyl-Groenewold , en honor a Hermann Weyl y Hilbrand J. Groenewold ) es un ejemplo de producto estrella del espacio de fases . Es un producto asociativo, no conmutativo, ★ , de las funciones de , equipado con su corchete de Poisson (con una generalización a variedades simplécticas , que se describe a continuación). Es un caso especial del ★ -producto del "álgebra de símbolos" de un álgebra envolvente universal . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Comentarios históricos

El producto Moyal lleva el nombre de José Enrique Moyal , pero a veces también se le llama producto Weyl -Groenewold, tal como lo presentó HJ Groenewold en su tesis doctoral de 1946, en una mordaz apreciación ^[1] de la correspondencia de Weyl . En realidad, Moyal parece no conocer el producto en su célebre artículo ^[2] y lo omitió de manera crucial en su legendaria correspondencia con Dirac, como se ilustra en su biografía. ^[3] El nombre popular de Moyal parece haber surgido sólo en la década de 1970, en homenaje a su imagen de cuantificación del espacio de fase plano . ^[4]

Definición

El producto para funciones suaves f y g on toma la forma ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

$${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),}$$

C _noperador bidiferencialn

• ${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar ),}$Deformación del producto puntual, implícita en la fórmula anterior.
• ${\displaystyle f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\}\},}$Deformación del bracket de Poisson, llamado bracket de Moyal .
• ${\displaystyle f\star 1=1\star f=f,}$El 1 del álgebra no deformada es también la identidad en la nueva álgebra.
• ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}},}$El conjugado complejo es un antiautomorfismo antilineal.

Tenga en cuenta que, si uno desea tomar funciones valoradas en números reales , entonces una versión alternativa elimina la i en la segunda condición y elimina la cuarta condición.

Si uno se restringe a funciones polinómicas, el álgebra anterior es isomorfa al álgebra de Weyl _An , y las dos ofrecen realizaciones alternativas del mapa de Weyl del espacio de polinomios en n variables (o el álgebra simétrica de un espacio vectorial de dimensión 2 n ).

Para proporcionar una fórmula explícita, considere un bivector de Poisson constante Π en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

$${\displaystyle \Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},}$$

Π ^iji , jfgoperador pseudodiferencial

$${\displaystyle f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,}$$

ħconstante de Planck reducida

Este es un caso especial de lo que se conoce como fórmula de Berezin ^[5] en el álgebra de símbolos y se le puede dar una forma cerrada ^[6] (que se deriva de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff ). La forma cerrada se puede obtener usando la exponencial :

$${\displaystyle f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),}$$

mm ( a ⊗ b ) = ab

$${\displaystyle e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}.}$$

Es decir, la fórmula para C _n es

$${\displaystyle C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.}$$

Como se indicó, a menudo se eliminan todas las apariciones de i anteriores y las fórmulas luego se restringen naturalmente a números reales.

Tenga en cuenta que si las funciones f y g son polinomios, las sumas infinitas anteriores se vuelven finitas (reduciéndose al caso ordinario de álgebra de Weyl).

La relación del producto de Moyal con el producto ★ generalizado utilizado en la definición del "álgebra de símbolos" de un álgebra envolvente universal se deriva del hecho de que el álgebra de Weyl es el álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg (módulo que el centro es igual a la unidad).

En colectores

En cualquier variedad simpléctica, se pueden, al menos localmente, elegir coordenadas para que la estructura simpléctica sea constante , según el teorema de Darboux ; y, utilizando el bivector de Poisson asociado, se puede considerar la fórmula anterior. Para que funcione globalmente, como una función en toda la variedad (y no solo como una fórmula local), se debe equipar la variedad simpléctica con una conexión simpléctica libre de torsión . Esto la convierte en una variedad de Fedosov .

La fórmula de cuantificación de Kontsevich proporciona resultados más generales para variedades arbitrarias de Poisson (donde no se aplica el teorema de Darboux) .

Ejemplos

En el artículo sobre la transformada de Wigner-Weyl se ofrece un ejemplo explícito simple de la construcción y utilidad del producto ★ (para el caso más simple de un espacio de fase euclidiano bidimensional ) : dos gaussianos componen con este producto ★ de acuerdo con una ley tangente hiperbólica: ^[7]

$${\displaystyle \exp \left[-a\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}\left(x^{2}+p^{2}\right)\right].}$$

(Tenga en cuenta el límite clásico, ħ → 0 .)

Sin embargo, cada prescripción de correspondencia entre el espacio de fases y el espacio de Hilbert induce su propio producto ★ . ^{[8] [9]}

Se observan resultados similares en el espacio de Segal-Bargmann y en la representación theta del grupo de Heisenberg , donde se entiende que los operadores de creación y aniquilación a ^∗ = z y a = ∂ / ∂z actúan en el plano complejo (respectivamente, el plano superior semiplano para el grupo de Heisenberg), de modo que los operadores de posición y momento vienen dados por x = ( a + a ^∗ )/2 y p = ( a - a ^∗ )/(2 i ) . Esta situación es claramente diferente del caso en el que se considera que las posiciones tienen valores reales, pero ofrece información sobre la estructura algebraica general del álgebra de Heisenberg y su envolvente, el álgebra de Weyl.

Integrales de espacio de fase interior

Dentro de una integral de espacio de fase, solo se puede eliminar un producto estelar del tipo Moyal, ^[10] lo que da como resultado una multiplicación simple, como se evidencia por la integración por partes,

$${\displaystyle \int dx\,dp\;f\star g=\int dx\,dp~f~g,}$$

Referencias

1. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental" (PDF) . Física . 12 : 405–460.
2. Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). "La mecánica cuántica como teoría estadística". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 : 99. Código bibliográfico : 1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487.
3. Moyal, Ann (2006). Matemático inconformista: la vida y la ciencia de JE Moyal. ANU E-presione.
4. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 1 : 37. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069.
5. Berezin, Félix A. (1967). "Algunas observaciones sobre la envolvente asociada de un álgebra de Lie". Análisis Funcional y sus Aplicaciones . 1 : 91.
6. Bekaert, Xavier (junio de 2005). "Álgebras envolventes universales y algunas aplicaciones en física" (PDF) (Apuntes de la conferencia). Universidad Libre de Bruselas, Instituto de Altos Estudios Científicos.
7. Zachos, Cosme ; Fairlie, David ; Curtright, Thomas , eds. (2005). Mecánica cuántica en el espacio de fases: una descripción general con artículos seleccionados . Serie científica mundial sobre física del siglo XX. vol. 34. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-238-384-6.
8. Cohen, L (1995). Análisis Tiempo-Frecuencia . Nueva York: Prentice-Hall. ISBN 978-0135945322.
9. Lee, HW (1995). "Teoría y aplicación de las funciones de distribución del espacio de fases cuánticas". Informes de Física . 259 (3): 147. Código bibliográfico : 1995PhR...259..147L. doi :10.1016/0370-1573(95)00007-4.
10. Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Un tratado conciso sobre la mecánica cuántica en el espacio de fases . Científico Mundial . ISBN 9789814520430.