Movimiento browniano reflejado

Proceso de Wiener con límites espaciales reflectantes

En teoría de probabilidad , el movimiento browniano reflejado (o movimiento browniano regulado , ^{[1] [2]} ambos con el acrónimo RBM ) es un proceso de Wiener en un espacio con límites reflectantes. ^[3] En la literatura física , este proceso describe la difusión en un espacio confinado y a menudo se lo denomina movimiento browniano confinado. Por ejemplo, puede describir el movimiento de esferas duras en agua confinada entre dos paredes. ^[4]

Se ha demostrado que los RBM describen modelos de colas que experimentan tráfico pesado ^[2] como lo propuso por primera vez Kingman ^[5] y lo demostraron Iglehart y Whitt . ^{[6] [7]}

Definición

Un movimiento browniano reflejado d -dimensional Z es un proceso estocástico definido únicamente por ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$

• un vector de deriva d -dimensional μ
• una matriz de covarianza no singular d × d Σ y
• una matriz de reflexión d × d R . ^[8]

donde X ( t ) es un movimiento browniano sin restricciones con deriva μ y varianza Σ , y ^[9]

${\displaystyle Z(t)=X(t)+RY(t)}$

con Y ( t ) un vector d -dimensional donde

• Y es continua y no decreciente con Y (0) = 0
• Y _j sólo aumenta en los momentos en que Z _j  = 0 para j  = 1,2,..., d
• Z ( t ) ∈  , t ≥ 0. ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$

La matriz de reflexión describe el comportamiento del límite. En el interior del proceso se comporta como un proceso de Wiener ; en el límite, "a grandes rasgos, Z es empujado en la dirección R ^j cada vez que se toca la superficie del límite , donde R ^j es la j -ésima columna de la matriz R ". ^[9] El proceso Y _j es el tiempo local del proceso en la sección correspondiente del límite. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}}$

Condiciones de estabilidad

Se conocen las condiciones de estabilidad para los RBM en 1, 2 y 3 dimensiones. "El problema de la clasificación de recurrencia para los SRBM en cuatro dimensiones y más sigue abierto". ^[9] En el caso especial en el que R es una matriz M, las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad son ^[9]

1. R es una matriz no singular y
2. R ⁻¹ μ  < 0.

Distribución marginal y estacionaria

Una dimensión

La distribución marginal (distribución transitoria) de un movimiento browniano unidimensional que comienza en 0 restringido a valores positivos (una única barrera reflectante en 0) con deriva μ y varianza σ ² es

${\displaystyle \mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)}$

para todo t  ≥ 0, (siendo Φ la función de distribución acumulativa de la distribución normal ) que produce (para μ  < 0) al tomar t → ∞ una distribución exponencial ^[2]

${\displaystyle \mathbb {P} (Z<z)=1-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}.}$

Para t fijo , la distribución de Z(t) coincide con la distribución del máximo en funcionamiento M(t) del movimiento browniano,

${\displaystyle Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).}$

Pero tenga en cuenta que las distribuciones de los procesos en su conjunto son muy diferentes. En particular, M(t) aumenta en t , lo que no sucede con Z(t) .

El núcleo de calor para el movimiento browniano reflejado en : ${\displaystyle p_{b}}$

${\displaystyle f(x,p_{b})={\frac {e^{-((x-u)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}}$

Para el avión de arriba ${\displaystyle x\geq p_{b}}$

Múltiples dimensiones

La distribución estacionaria de un movimiento browniano reflejado en múltiples dimensiones es manejable analíticamente cuando existe una distribución estacionaria en forma de producto , ^[10] lo que ocurre cuando el proceso es estable y ^[11]

${\displaystyle 2\Sigma =RD+DR'}$

donde D  =  diag ( Σ ). En este caso la función de densidad de probabilidad es ^[8]

${\displaystyle p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{k}z_{k}}}$

donde η _k  = 2 μ _k γ _k / Σ _kk y γ  =  R ⁻¹ μ . Las expresiones de forma cerrada para situaciones en las que no se cumple la condición de forma del producto se pueden calcular numéricamente como se describe a continuación en la sección de simulación.

Simulación

Una dimensión

En una dimensión, el proceso simulado es el valor absoluto de un proceso de Wiener . El siguiente programa MATLAB crea una ruta de ejemplo. ^[12]

% rbm.m n = 10 ^ 4 ; h = 10 ^ ( - 3 ); t = h .* ( 0 : n ); mu = - 1 ; X = ceros ( 1 , n + 1 ); M = X ; B = X ; B ( 1 )= 3 ; X ( 1 )= 3 ; para k = 2 : n + 1 Y = sqrt ( h ) * randn ; U = rand ( 1 ); B ( k ) = B ( k - 1 ) + mu * h - Y ; M = ( Y + sqrt ( Y ^ 2 - 2 * h * log ( U ))) / 2 ; X ( k ) = máx ( M - Y , X ( k - 1 ) + h * mu - Y ); fin subparcela ( 2 , 1 , 1 ) trazar ( t , X , 'k-' ); subparcela ( 2 , 1 , 2 ) trazar ( t , X - B , 'k-' );                                                              

Se ha cuantificado el error involucrado en simulaciones discretas. ^[13]

Múltiples dimensiones

QNET permite la simulación de RBM en estado estacionario. ^{[14] [15] [16]}

Otras condiciones de contorno

Feller describió una posible condición límite para el proceso ^{[17] [18] [19]}

• absorción ^[17] o movimiento browniano muerto, ^[20] una condición de contorno de Dirichlet
• reflexión instantánea, ^[17] como se describió anteriormente, una condición de contorno de Neumann
• Reflexión elástica, una condición de contorno de Robin
• Reflexión retardada ^[17] (el tiempo transcurrido en el límite es positivo con probabilidad uno)
• Reflexión parcial ^[17] donde el proceso se refleja inmediatamente o se absorbe.
• movimiento browniano pegajoso. ^[21]

Véase también

• Problema de Skorokhod

Referencias

1. Dieker, AB (2011). "Movimiento browniano reflejado". Enciclopedia Wiley de investigación de operaciones y ciencia de la gestión . doi :10.1002/9780470400531.eorms0711. ISBN 9780470400531.
2. Harrison, J. Michael (1985). Movimiento browniano y sistemas de flujo estocástico (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 978-0471819394.
3. Veestraeten, D. (2004). "La función de densidad de probabilidad condicional para un movimiento browniano reflejado". Economía computacional . 24 (2): 185–207. doi :10.1023/B:CSEM.0000049491.13935.af. S2CID  121673717.
4. Faucheux, Luc P.; Libchaber, Albert J. (1 de junio de 1994). "Movimiento browniano confinado". Physical Review E . 49 (6): 5158–5163. doi :10.1103/PhysRevE.49.5158. ISSN  1063-651X.
5. Kingman, JFC (1962). "Sobre las colas en tráfico pesado". Revista de la Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica) . 24 (2): 383–392. doi :10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x. JSTOR  2984229.
6. Iglehart, Donald L.; Whitt, Ward (1970). "Colas de múltiples canales en tráfico pesado. I". Avances en probabilidad aplicada . 2 (1): 150–177. doi :10.2307/3518347. JSTOR  3518347. S2CID  202104090.
7. Iglehart, Donald L.; Ward, Whitt (1970). "Colas de múltiples canales en tráfico pesado. II: secuencias, redes y lotes" (PDF) . Avances en probabilidad aplicada . 2 (2): 355–369. doi :10.2307/1426324. JSTOR  1426324. S2CID  120281300 . Consultado el 30 de noviembre de 2012 .
8. Harrison, JM ; Williams, RJ (1987). "Modelos brownianos de redes de colas abiertas con poblaciones de clientes homogéneas" (PDF) . Stochastics . 22 (2): 77. doi :10.1080/17442508708833469.
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