En la teoría de colas , una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , una aproximación de tráfico pesado (a veces llamada teorema del límite de tráfico pesado [1] o aproximación de difusión ) implica la correspondencia de un modelo de colas con un proceso de difusión bajo ciertas condiciones limitantes en los parámetros del modelo. El primer resultado de este tipo fue publicado por John Kingman , quien demostró que cuando el parámetro de utilización de una cola M/M/1 está cerca de 1, una versión escalada del proceso de longitud de cola puede aproximarse con precisión mediante un movimiento browniano reflejado . [2]
Condición de tráfico pesado
Las aproximaciones de tráfico pesado se establecen típicamente para el proceso X ( t ) que describe la cantidad de clientes en el sistema en el momento t . Se obtienen considerando el modelo bajo los valores límite de algunos parámetros del modelo y, por lo tanto, para que el resultado sea finito, el modelo debe reescalarse por un factor n , denotado [3] : 490
y el límite de este proceso se considera como n → ∞.
Hay tres clases de regímenes bajo los cuales generalmente se consideran tales aproximaciones.
- El número de servidores es fijo y la intensidad del tráfico (utilización) aumenta a 1 (desde abajo). La aproximación de la longitud de la cola es un movimiento browniano reflejado . [4] [5] [6]
- La intensidad del tráfico es fija y el número de servidores y la tasa de llegada aumentan hasta el infinito. Aquí el límite de longitud de la cola converge a la distribución normal . [7] [8] [9]
- Una cantidad β es fija donde
- donde ρ representa la intensidad del tráfico y s el número de servidores. La intensidad del tráfico y el número de servidores se incrementan hasta el infinito y el proceso de limitación es un híbrido de los resultados anteriores. Este caso, publicado por primera vez por Halfin y Whitt, se conoce a menudo como el régimen Halfin-Whitt [1] [10] [11] o el régimen impulsado por la calidad y la eficiencia (QED). [12]
Resultados para una cola G/G/1
Teorema 1. [13] Considere una secuencia de colas G/G/1 indexadas por .
Para cola, denotemos el tiempo aleatorio entre llegadas, denotemos el tiempo aleatorio de servicio; denotemos la intensidad del tráfico con y ; denotemos el tiempo de espera en la cola para un cliente en estado estable; denotemos y
Supongamos que , , y . entonces
siempre que:
(a)
(b) para algunos , y son ambos menores que alguna constante para todos .
Argumento heurístico
- Tiempo de espera en la cola
Sea la diferencia entre el n-ésimo tiempo de servicio y el n-ésimo tiempo entre llegadas; Sea el tiempo de espera en la cola del n-ésimo cliente;
Entonces por definición:
Después del cálculo recursivo, tenemos:
Sea , con son iid; Defina y ;
Entonces tenemos
lo conseguimos tomando límite sobre .
Por lo tanto, el tiempo de espera en la cola del n-ésimo cliente es el supremo de un paseo aleatorio con una deriva negativa.
- Aproximación del movimiento browniano
El paseo aleatorio se puede aproximar mediante un movimiento browniano cuando los tamaños de los saltos se aproximan a 0 y los tiempos entre los saltos se aproximan a 0.
Tenemos y tiene incrementos independientes y estacionarios . Cuando la intensidad del tráfico se acerca a 1 y tiende a , tenemos después reemplazado con valor continuo según el teorema del límite central funcional . [14] : 110 Por lo tanto, el tiempo de espera en la cola del cliente n se puede aproximar por el supremo de un movimiento browniano con una deriva negativa.
- Movimiento browniano supremo
Teorema 2. [15] : 130 Sea un movimiento browniano con deriva y desviación estándar que comienza en el origen, y sea
si
de lo contrario
Conclusión
- bajo condiciones de tráfico pesado
De esta manera, el teorema del límite de tráfico pesado (teorema 1) se argumenta heurísticamente. Las demostraciones formales suelen seguir un enfoque diferente que involucra funciones características . [4] [16]
Ejemplo
Considere una cola M/G/1 con una tasa de llegada , una media del tiempo de servicio , y una varianza del tiempo de servicio . ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en la cola en estado estable ?
El tiempo de espera promedio exacto en cola en estado estable viene dado por:
La aproximación de tráfico pesado correspondiente:
El error relativo de la aproximación del tráfico pesado:
Así, cuando , tenemos:
Enlaces externos
- La cola G/G/1 de Sergey Foss
Referencias
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