Teoría de colas

Estudio matemático de las colas o líneas de espera

Las redes de colas son sistemas en los que colas individuales están conectadas por una red de enrutamiento. En esta imagen, los servidores están representados por círculos, las colas por una serie de rectángulos y la red de enrutamiento por flechas. En el estudio de las redes de colas, normalmente se intenta obtener la distribución de equilibrio de la red, aunque en muchas aplicaciones el estudio del estado transitorio es fundamental.

La teoría de colas es el estudio matemático de las líneas de espera o colas. ^[1] Un modelo de colas se construye de modo que se puedan predecir las longitudes de las colas y el tiempo de espera. ^[1] La teoría de colas generalmente se considera una rama de la investigación de operaciones porque los resultados se utilizan a menudo al tomar decisiones comerciales sobre los recursos necesarios para brindar un servicio.

La teoría de colas tiene su origen en la investigación de Agner Krarup Erlang , quien creó modelos para describir el sistema de llamadas entrantes en la Copenhagen Telephone Exchange Company. ^[1] Estas ideas fueron fundamentales para el campo de la ingeniería de teletráfico y desde entonces han tenido aplicaciones en telecomunicaciones , ingeniería de tráfico , informática , ^[2] gestión de proyectos y, particularmente, ingeniería industrial , donde se aplican en el diseño de fábricas, tiendas, oficinas y hospitales. ^{[3] [4]}

Ortografía

En el campo de la investigación académica, es habitual encontrar la ortografía "queueing" en lugar de "queuing". De hecho, una de las revistas más importantes del campo es Queueing Systems .

Descripción

La teoría de colas es una de las principales áreas de estudio en la disciplina de la ciencia de la administración . A través de la ciencia de la administración, las empresas pueden resolver una variedad de problemas utilizando diferentes enfoques científicos y matemáticos. El análisis de colas es el análisis probabilístico de las líneas de espera y, por lo tanto, los resultados, también conocidos como características operativas, son probabilísticos en lugar de deterministas. ^[5] La probabilidad de que n clientes estén en el sistema de colas, el número promedio de clientes en el sistema de colas, el número promedio de clientes en la línea de espera, el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema de colas total, el tiempo promedio que pasa un cliente en la línea de espera y, finalmente, la probabilidad de que el servidor esté ocupado o inactivo son todas las diferentes características operativas que estos modelos de colas calculan. ^[5] El objetivo general del análisis de colas es calcular estas características para el sistema actual y luego probar varias alternativas que podrían conducir a una mejora. Calcular las características operativas para el sistema actual y comparar los valores con las características de los sistemas alternativos permite a los gerentes ver los pros y los contras de cada opción potencial. Estos sistemas ayudan en el proceso de toma de decisiones final mostrando formas de aumentar los ahorros, reducir el tiempo de espera, mejorar la eficiencia, etc. Los principales modelos de colas que se pueden utilizar son el sistema de cola de espera de un solo servidor y el sistema de cola de espera de múltiples servidores, que se analizan más adelante. Estos modelos se pueden diferenciar aún más dependiendo de si los tiempos de servicio son constantes o indefinidos, la longitud de la cola es finita, la población de llamadas es finita, etc. ^[5]

Nodos de cola única

Una cola o un nodo de cola se puede considerar casi como una caja negra . Los trabajos (también llamados clientes o solicitudes , según el campo) llegan a la cola, posiblemente esperan un tiempo, tardan un tiempo en procesarse y luego salen de la cola.

Una caja negra. Los trabajos llegan y salen de la cola.

Sin embargo, el nodo de cola no es una caja negra pura, ya que se necesita cierta información sobre el interior del nodo de cola. La cola tiene uno o más servidores que pueden emparejarse con un trabajo que llega. Cuando el trabajo se completa y sale, ese servidor vuelve a estar libre para emparejarse con otro trabajo que llega.

Un nodo de cola con 3 servidores. El servidor a está inactivo y, por lo tanto, se le asigna una llegada para que la procese. El servidor b está ocupado actualmente y tardará un tiempo en completar el servicio de su trabajo. El servidor c acaba de completar el servicio de un trabajo y, por lo tanto, será el siguiente en recibir un trabajo que llegue.

Una analogía que se utiliza a menudo es la del cajero de un supermercado. (Existen otros modelos, pero este es el que se encuentra comúnmente en la literatura). Los clientes llegan, son procesados ​​por el cajero y se van. Cada cajero procesa un cliente a la vez y, por lo tanto, se trata de un nodo de cola con un solo servidor. Una configuración en la que un cliente se marchará inmediatamente si el cajero está ocupado cuando llega el cliente se denomina cola sin búfer (o sin zona de espera ). Una configuración con una zona de espera para hasta n clientes se denomina cola con un búfer de tamaño n .

Proceso de nacimiento y muerte

El comportamiento de una cola individual (también llamada nodo de cola ) se puede describir mediante un proceso de nacimiento-muerte , que describe las llegadas y salidas de la cola, junto con la cantidad de trabajos que hay actualmente en el sistema. Si k denota la cantidad de trabajos en el sistema (ya sea que estén siendo atendidos o en espera si la cola tiene un búfer de trabajos en espera), entonces una llegada aumenta k en 1 y una salida disminuye k en 1.

El sistema cambia entre valores de k mediante "nacimientos" y "muertes", que se producen a las tasas de llegada y de salida de cada trabajo . En el caso de una cola, se considera que estas tasas no varían con el número de trabajos en la cola, por lo que se supone una única tasa media de llegadas/salidas por unidad de tiempo. Según este supuesto, este proceso tiene una tasa de llegada de y una tasa de salida de . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda ={\text{avg}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle \mu ={\text{avg}}(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}$

Un proceso de nacimiento y muerte. Los valores en los círculos representan el estado del sistema, que evoluciona en función de las tasas de llegada λ _i y de salida μ _i .

Una cola con 1 servidor, tasa de llegada λ y tasa de salida μ

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de estado estacionario para el proceso de nacimiento y muerte, conocidas como ecuaciones de equilibrio , son las siguientes. Aquí denota la probabilidad de estado estacionario de estar en el estado n . ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \mu _{1}P_{1}=\lambda _{0}P_{0}}$

${\displaystyle \lambda _{0}P_{0}+\mu _{2}P_{2}=(\lambda _{1}+\mu _{1})P_{1}}$

${\displaystyle \lambda _{n-1}P_{n-1}+\mu _{n+1}P_{n+1}=(\lambda _{n}+\mu _{n})P_{n}}$

Las dos primeras ecuaciones implican

${\displaystyle P_{1}={\frac {\lambda _{0}}{\mu _{1}}}P_{0}}$

y

${\displaystyle P_{2}={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}+{\frac {1}{\mu _{2}}}(\mu _{1}P_{1}-\lambda _{0}P_{0})={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}={\frac {\lambda _{1}\lambda _{0}}{\mu _{2}\mu _{1}}}P_{0}}$.

Por inducción matemática,

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda _{n-1}\lambda _{n-2}\cdots \lambda _{0}}{\mu _{n}\mu _{n-1}\cdots \mu _{1}}}P_{0}=P_{0}\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}$.

La condición conduce a ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=P_{0}+P_{0}\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}=1}$

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{1+\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}}}$

que, junto con la ecuación para , describe completamente las probabilidades de estado estable requeridas. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (n\geq 1)}$

Notación de Kendall

Los nodos de cola única se describen generalmente utilizando la notación de Kendall en la forma A/S/ c donde A describe la distribución de duraciones entre cada llegada a la cola, S la distribución de los tiempos de servicio para los trabajos y c el número de servidores en el nodo. ^{[6] [7]} Para un ejemplo de la notación, la cola M/M/1 es un modelo simple donde un solo servidor sirve trabajos que llegan de acuerdo con un proceso de Poisson (donde las duraciones entre llegadas se distribuyen exponencialmente ) y tienen tiempos de servicio distribuidos exponencialmente (la M denota un proceso de Markov ). En una cola M/G/1 , la G significa "general" e indica una distribución de probabilidad arbitraria para los tiempos de servicio.

Ejemplo de análisis de una cola M/M/1

Consideremos una cola con un servidor y las siguientes características:

• ${\displaystyle \lambda }$: la tasa de llegada (el recíproco del tiempo esperado entre la llegada de cada cliente, por ejemplo, 10 clientes por segundo)
• ${\displaystyle \mu }$: el recíproco del tiempo medio de servicio (el número esperado de finalizaciones consecutivas de servicio por la misma unidad de tiempo, por ejemplo, cada 30 segundos)
• n : el parámetro que caracteriza el número de clientes en el sistema
• ${\displaystyle P_{n}}$:la probabilidad de que haya n clientes en el sistema en estado estable

Además, represente el número de veces que el sistema entra en el estado n y represente el número de veces que el sistema sale del estado n . Entonces , para todo n , es decir, el número de veces que el sistema sale de un estado difiere como máximo en 1 del número de veces que entra en ese estado, ya que regresará a ese estado en algún momento en el futuro ( ) o no ( ). ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert \in \{0,1\}}$ ${\displaystyle E_{n}=L_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert =1}$

Cuando el sistema llega a un estado estable, la tasa de llegada debe ser igual a la tasa de salida.

Así las ecuaciones de equilibrio

${\displaystyle \mu P_{1}=\lambda P_{0}}$

${\displaystyle \lambda P_{0}+\mu P_{2}=(\lambda +\mu )P_{1}}$

${\displaystyle \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_{n}}$

implicar

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda }{\mu }}P_{n-1},\ n=1,2,\ldots }$

El hecho que conduce a la fórmula de distribución geométrica ${\displaystyle P_{0}+P_{1}+\cdots =1}$

${\displaystyle P_{n}=(1-\rho )\rho ^{n}}$

dónde . ${\displaystyle \rho ={\frac {\lambda }{\mu }}<1}$

Cola simple de dos ecuaciones

Un sistema de colas básico común se atribuye a Erlang y es una modificación de la Ley de Little . Dada una tasa de llegada λ , una tasa de abandono σ y una tasa de salida μ , la longitud de la cola L se define como:

${\displaystyle L={\frac {\lambda -\sigma }{\mu }}}$.

Suponiendo una distribución exponencial de las tasas, el tiempo de espera W puede definirse como la proporción de llegadas atendidas. Esto es igual a la tasa de supervivencia exponencial de quienes no abandonan el curso durante el período de espera, lo que da:

${\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}=e^{-W{\mu }}}$

La segunda ecuación comúnmente se reescribe como:

${\displaystyle W={\frac {1}{\mu }}\mathrm {ln} {\frac {\lambda }{\mu }}}$

El modelo de una caja de dos etapas es común en epidemiología . ^[8]

Historia

En 1909, Agner Krarup Erlang , un ingeniero danés que trabajaba para la Central Telefónica de Copenhague, publicó el primer artículo sobre lo que ahora se llamaría teoría de colas. ^{[9] [10] [11]} Modeló el número de llamadas telefónicas que llegaban a una central mediante un proceso de Poisson y resolvió la cola M/D/1 en 1917 y el modelo de cola M/D/ k en 1920. ^[12] En la notación de Kendall:

• M significa "Markov" o "sin memoria", y significa que las llegadas ocurren según un proceso de Poisson.
• D significa "determinista" y significa que los trabajos que llegan a la cola requieren una cantidad fija de servicio.
• k describe el número de servidores en el nodo de cola ( k = 1, 2, 3, ...)

Si el nodo tiene más trabajos que servidores, los trabajos se pondrán en cola y esperarán el servicio.

La cola M/G/1 fue resuelta por Felix Pollaczek en 1930, ^[13] una solución posteriormente reformulada en términos probabilísticos por Aleksandr Khinchin y ahora conocida como la fórmula de Pollaczek-Khinchine . ^{[12] [14]}

Después de la década de 1940, la teoría de colas se convirtió en un área de interés de investigación para los matemáticos. ^[14] En 1953, David George Kendall resolvió la cola GI/M/ k ^[15] e introdujo la notación moderna para colas, ahora conocida como notación de Kendall . En 1957, Pollaczek estudió la GI/G/1 utilizando una ecuación integral . ^[16] John Kingman dio una fórmula para el tiempo de espera medio en una cola G/G/1 , ahora conocida como fórmula de Kingman . ^[17]

Leonard Kleinrock trabajó en la aplicación de la teoría de colas a la conmutación de mensajes a principios de la década de 1960 y a la conmutación de paquetes a principios de la década de 1970. Su contribución inicial a este campo fue su tesis doctoral en el Instituto Tecnológico de Massachusetts en 1962, publicada en forma de libro en 1964. Su trabajo teórico publicado a principios de la década de 1970 respaldó el uso de la conmutación de paquetes en ARPANET , un precursor de Internet.

El método geométrico matricial y los métodos analíticos matriciales han permitido considerar colas con distribuciones de tiempo de servicio y entre llegadas distribuidas por tipo de fase . ^[18]

Los sistemas con órbitas acopladas son una parte importante de la teoría de colas en la aplicación a redes inalámbricas y procesamiento de señales. ^[19]

La aplicación moderna de la teoría de colas se refiere, entre otras cosas, al desarrollo de productos en los que los productos (materiales) tienen una existencia espaciotemporal, en el sentido de que los productos tienen un cierto volumen y una cierta duración. ^[20]

Problemas como las métricas de rendimiento para la cola M/G/ k siguen siendo un problema abierto. ^{[12] [14]}

Disciplinas de servicio

Se pueden utilizar varias políticas de programación en los nodos de cola:

Primero en entrar, primero en salir

Ejemplo de cola de entrada y salida (FIFO)

También llamado "primero en llegar, primero en ser atendido " (FCFS, por sus siglas en inglés), ^[21] este principio establece que los clientes son atendidos uno a uno y que el cliente que ha estado esperando más tiempo es atendido primero. ^[22]

Último en entrar, primero en salir

Este principio también atiende a los clientes de uno en uno, pero el cliente con el menor tiempo de espera será atendido primero. ^[22] También conocido como pila .

Uso compartido del procesador

La capacidad de servicio se comparte equitativamente entre los clientes. ^[22]

Prioridad

Los clientes con alta prioridad son atendidos primero. ^[22] Las colas de prioridad pueden ser de dos tipos: no preemptivas (donde un trabajo en servicio no puede ser interrumpido) y preemptivas (donde un trabajo en servicio puede ser interrumpido por un trabajo de mayor prioridad). No se pierde ningún trabajo en ninguno de los modelos. ^[23]

El trabajo más corto primero

El siguiente trabajo a realizar es el de menor tamaño. ^[24]

Trabajo preventivo más corto primero

El siguiente trabajo a realizar es el que tiene el tamaño original más pequeño. ^[25]

Tiempo de procesamiento restante más corto

El siguiente trabajo a realizar es el que tiene el menor requerimiento de procesamiento restante. ^[26]

Instalación de servicio

• Servidor único: los clientes hacen fila y solo hay un servidor
• Varios servidores paralelos (cola única): los clientes hacen cola y hay varios servidores
• Varios servidores paralelos (varias colas): hay muchos contadores y los clientes pueden decidir en cuál hacer cola

Servidor no confiable

Las fallas del servidor ocurren según un proceso aleatorio (normalmente de Poisson) y van seguidas de períodos de configuración durante los cuales el servidor no está disponible. El cliente interrumpido permanece en el área de servicio hasta que se repara el servidor. ^[27]

Comportamiento de espera del cliente

• Balking: los clientes deciden no unirse a la cola si es demasiado larga
• Maniobras: los clientes cambian de cola si creen que serán atendidos más rápido al hacerlo.
• Incumplimiento: los clientes abandonan la cola si han esperado demasiado tiempo para recibir el servicio.

Los clientes que llegan y no son atendidos (ya sea porque la cola no tiene espacio de espera o porque el cliente se niega o no cumple con el pedido) también se conocen como abandonos . La tasa promedio de abandonos es un parámetro importante que describe una cola.

Redes de colas

Las redes de colas son sistemas en los que varias colas están conectadas mediante el enrutamiento de clientes . Cuando un cliente recibe servicio en un nodo, puede unirse a otro nodo y ponerse en cola para recibir el servicio, o abandonar la red.

Para redes de m nodos, el estado del sistema se puede describir mediante un vector m -dimensional ( x ₁ , x ₂ , ..., x _m ) donde x _i representa el número de clientes en cada nodo.

Las redes de colas no triviales más simples se denominan colas en tándem . ^[28] Los primeros resultados significativos en esta área fueron las redes de Jackson , ^{[29] [30]} para las que existe una distribución estacionaria en forma de producto eficiente y se puede calcular el análisis del valor medio ^[31] (que permite métricas promedio como el rendimiento y los tiempos de estancia). ^[32] Si el número total de clientes en la red permanece constante, la red se denomina red cerrada y se ha demostrado que también tiene una distribución estacionaria en forma de producto mediante el teorema de Gordon-Newell . ^[33] Este resultado se extendió a la red BCMP , ^[34] donde se demuestra que una red con un tiempo de servicio, regímenes y enrutamiento de clientes muy generales también exhibe una distribución estacionaria en forma de producto. La constante de normalización se puede calcular con el algoritmo de Buzen , propuesto en 1973. ^[35]

También se han investigado redes de clientes, como las redes Kelly , donde los clientes de diferentes clases experimentan diferentes niveles de prioridad en diferentes nodos de servicio. ^[36] Otro tipo de red son las redes G , propuestas por primera vez por Erol Gelenbe en 1993: ^[37] estas redes no asumen distribuciones de tiempo exponenciales como la clásica red Jackson.

Algoritmos de enrutamiento

En redes de tiempo discreto donde hay una restricción sobre qué nodos de servicio pueden estar activos en cualquier momento, el algoritmo de programación de peso máximo elige una política de servicio para dar un rendimiento óptimo en el caso de que cada trabajo visite solo un nodo de servicio de una sola persona. ^[21] En el caso más general donde los trabajos pueden visitar más de un nodo, el enrutamiento de contrapresión da un rendimiento óptimo. Un programador de red debe elegir un algoritmo de cola , que afecta las características de la red más grande. ^[38]

Límites del campo medio

Los modelos de campo medio consideran el comportamiento límite de la medida empírica (proporción de colas en diferentes estados) a medida que el número de colas m se acerca al infinito. El impacto de otras colas en cualquier cola dada en la red se aproxima mediante una ecuación diferencial. El modelo determinista converge a la misma distribución estacionaria que el modelo original. ^[39]

Aproximaciones de tráfico pesado/difusión

En un sistema con altas tasas de ocupación (utilización cercana a 1), se puede utilizar una aproximación de tráfico pesado para aproximar el proceso de longitud de cola mediante un movimiento browniano reflejado , ^[40] un proceso de Ornstein-Uhlenbeck o un proceso de difusión más general . ^[41] El número de dimensiones del proceso browniano es igual al número de nodos de cola, con la difusión restringida al ortante no negativo .

Límites de fluidos

Los modelos de fluidos son análogos deterministas continuos de las redes de colas que se obtienen tomando el límite cuando el proceso se escala en el tiempo y el espacio, lo que permite objetos heterogéneos. Esta trayectoria escalada converge a una ecuación determinista que permite demostrar la estabilidad del sistema. Se sabe que una red de colas puede ser estable pero tener un límite de fluido inestable. ^[42]

Aplicaciones de puesta en cola

La teoría de colas se aplica ampliamente en la informática y la tecnología de la información. En las redes, por ejemplo, las colas son parte integral de los enrutadores y conmutadores, donde los paquetes se ponen en cola para su transmisión. Al aplicar los principios de la teoría de colas, los diseñadores pueden optimizar estos sistemas, asegurando un rendimiento ágil y una utilización eficiente de los recursos. Más allá del ámbito tecnológico, la teoría de colas es relevante para las experiencias cotidianas. Ya sea que espere en la cola de un supermercado o del transporte público, comprender los principios de la teoría de colas proporciona información valiosa para optimizar estos sistemas para mejorar la satisfacción del usuario. En algún momento, todos participarán en algún aspecto de las colas. Lo que algunos pueden considerar un inconveniente podría ser posiblemente el método más eficaz. La teoría de colas, una disciplina con raíces en las matemáticas aplicadas y la informática, es un campo dedicado al estudio y análisis de las colas, o líneas de espera, y sus implicaciones en una amplia gama de aplicaciones. Este marco teórico ha demostrado ser fundamental para comprender y optimizar la eficiencia de los sistemas caracterizados por la presencia de colas. El estudio de las colas es esencial en contextos como los sistemas de tráfico, las redes informáticas, las telecomunicaciones y las operaciones de servicio. La teoría de colas profundiza en varios conceptos fundamentales, siendo el proceso de llegada y el proceso de servicio los más importantes. El proceso de llegada describe la forma en que las entidades se incorporan a la cola a lo largo del tiempo, a menudo modelado mediante procesos estocásticos como los procesos de Poisson. La eficiencia de los sistemas de colas se mide a través de métricas de rendimiento clave. Estas incluyen la longitud media de la cola, el tiempo medio de espera y el rendimiento del sistema. Estas métricas proporcionan información sobre la funcionalidad del sistema, orientando las decisiones destinadas a mejorar el rendimiento y reducir los tiempos de espera. Referencias: Gross, D., y Harris, CM (1998). Fundamentos de la teoría de colas. John Wiley & Sons. Kleinrock, L. (1976). Sistemas de colas: Volumen I - Teoría. Wiley. Cooper, BF, y Mitrani, I. (1985). Redes de colas: un enfoque fundamental. John Wiley & Sons

Véase también

• Modelo de Ehrenfest
• Unidad Erlang
• Gestión de línea
• Simulación de red
• Gestión de la producción de proyectos
• Zona de cola
• Retraso en la cola
• Sistema de gestión de colas
• Regla de oro para hacer colas
• Detección temprana aleatoria
• Teoría de la renovación
• Rendimiento
• Programación (informática)
• Atasco de tráfico
• Modelo de generación de tráfico
• Red de flujo

Referencias

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Lectura adicional

• Gross, Donald; Carl M. Harris (1998). Fundamentos de la teoría de colas . Wiley. ISBN 978-0-471-32812-4.En línea
• Zukerman, Moshe (2013). Introducción a la teoría de colas y modelos estocásticos de teletráfico (PDF) . arXiv : 1307.2968 .
• Deitel, Harvey M. (1984) [1982]. Introducción a los sistemas operativos (revisión de la primera edición). Addison-Wesley. pág. 673. ISBN 978-0-201-14502-1.cap.15, págs. 380–412
• Gelenbe, Erol; Isi Mitrani (2010). Análisis y síntesis de sistemas informáticos. World Scientific 2.ª edición. ISBN 978-1-908978-42-4.
• Newell, Gordron F. (1 de junio de 1971). Aplicaciones de la teoría de colas . Chapman y Hall.
• Leonard Kleinrock, Flujo de información en grandes redes de comunicación, (MIT, Cambridge, 31 de mayo de 1961) Propuesta de tesis doctoral
• Leonard Kleinrock. Flujo de información en grandes redes de comunicación (Informe trimestral de progreso de la RLE, julio de 1961)
• Leonard Kleinrock. Redes de comunicación: flujo de mensajes estocásticos y demora (McGraw-Hill, Nueva York, 1964)
• Kleinrock, Leonard (2 de enero de 1975). Sistemas de colas: Volumen I – Teoría . Nueva York: Wiley Interscience. pp. 417. ISBN 978-0-471-49110-1.
• Kleinrock, Leonard (22 de abril de 1976). Sistemas de colas: Volumen II – Aplicaciones informáticas. Nueva York: Wiley Interscience. pp. 576. ISBN 978-0-471-49111-8.
• Lazowska, Edward D.; John Zahorjan; G. Scott Graham; Kenneth C. Sevcik (1984). Rendimiento cuantitativo del sistema: análisis de sistemas informáticos mediante modelos de redes de colas. Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-746975-8.
• Jon Kleinberg; Éva Tardos (30 de junio de 2013). Diseño de algoritmos. Pearson. ISBN 978-1-292-02394-6.

Enlaces externos

• Tutorial y calculadoras de teoría de colas de Teknomo
• Curso de teoría de colas de Virtamo
• Página de teoría de colas de Myron Hlynka
• LINE: un motor de propósito general para resolver modelos de colas