Inestabilidad modulacional

Fenómeno por el cual las desviaciones de una forma de onda periódica se ven reforzadas por la no linealidad

En los campos de la óptica no lineal y la dinámica de fluidos , la inestabilidad modulacional o inestabilidad de banda lateral es un fenómeno por el cual las desviaciones de una forma de onda periódica se refuerzan por la no linealidad, lo que lleva a la generación de bandas laterales espectrales y la eventual ruptura de la forma de onda en un tren de pulsos . ^{[1] [2] [3]}

Se cree ampliamente que el fenómeno fue descubierto por primera vez −y modelado− para ondas periódicas de gravedad superficial ( ondas de Stokes ) en aguas profundas por T. Brooke Benjamin y Jim E. Feir, en 1967. ^[4] Por lo tanto, también se conoce como inestabilidad de Benjamin−Feir . Sin embargo, la inestabilidad de modulación espacial de láseres de alta potencia en solventes orgánicos fue observada por los científicos rusos NF Piliptetskii y AR Rustamov en 1965, ^[5] y la derivación matemática de la inestabilidad de modulación fue publicada por VI Bespalov y VI Talanov en 1966. ^[6] La inestabilidad de modulación es un posible mecanismo para la generación de ondas rebeldes . ^{[7] [8]}

Inestabilidad inicial y ganancia

La inestabilidad de la modulación sólo ocurre en determinadas circunstancias. La condición más importante es la dispersión anómala de la velocidad de grupo , por la cual los pulsos con longitudes de onda más cortas viajan con una velocidad de grupo mayor que los pulsos con longitudes de onda más largas. ^[3] (Esta condición supone una no linealidad de Kerr de enfoque , por la cual el índice de refracción aumenta con la intensidad óptica). ^[3]

La inestabilidad depende en gran medida de la frecuencia de la perturbación. En ciertas frecuencias, una perturbación tendrá poco efecto, mientras que en otras frecuencias, una perturbación crecerá exponencialmente . El espectro de ganancia general se puede derivar analíticamente , como se muestra a continuación. Las perturbaciones aleatorias generalmente contendrán una amplia gama de componentes de frecuencia y, por lo tanto, provocarán la generación de bandas laterales espectrales que reflejan el espectro de ganancia subyacente.

La tendencia de una señal perturbadora a crecer hace que la inestabilidad de la modulación sea una forma de amplificación . Al ajustar una señal de entrada a un pico del espectro de ganancia, es posible crear un amplificador óptico .

Derivación matemática del espectro de ganancia

El espectro de ganancia se puede derivar ^[3] comenzando con un modelo de inestabilidad de modulación basado en la ecuación no lineal de Schrödinger ^{[ aclaración necesaria ]}

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=i\gamma |A|^{2}A,}$

que describe la evolución de una envolvente de valor complejo que varía lentamente con el tiempo y la distancia de propagación . La unidad imaginaria satisface El modelo incluye la dispersión de velocidad de grupo descrita por el parámetro y la no linealidad de Kerr con magnitud Se supone una forma de onda periódica de potencia constante . Esto viene dado por la solución ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A={\sqrt {P}}e^{i\gamma Pz},}$

donde el factor de fase oscilatoria explica la diferencia entre el índice de refracción lineal y el índice de refracción modificado , como se plantea por el efecto Kerr. El comienzo de la inestabilidad se puede investigar perturbando esta solución como ${\displaystyle e^{i\gamma Pz}}$

${\displaystyle A=\left({\sqrt {P}}+\varepsilon (t,z)\right)e^{i\gamma Pz},}$

donde es el término de perturbación (que, por conveniencia matemática, se ha multiplicado por el mismo factor de fase que ). Sustituyendo esto nuevamente en la ecuación no lineal de Schrödinger se obtiene una ecuación de perturbación de la forma ${\displaystyle \varepsilon (t,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),}$

donde se ha supuesto que la perturbación es pequeña, de modo que El conjugado complejo de se denota como La inestabilidad ahora se puede descubrir buscando soluciones de la ecuación de perturbación que crezcan exponencialmente. Esto se puede hacer usando una función de prueba de la forma general ${\displaystyle |\varepsilon |^{2}\ll P.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{*}.}$

${\displaystyle \varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}z-i\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},}$

donde y son el número de onda y la frecuencia angular (en valor real) de una perturbación, y y son constantes. La ecuación no lineal de Schrödinger se construye eliminando la onda portadora de la luz que se está modelando, por lo que la frecuencia de la luz que se está perturbando es formalmente cero. Por lo tanto, y no representan frecuencias absolutas y números de onda, sino la diferencia entre estos y los del haz de luz inicial. Se puede demostrar que la función de prueba es válida, siempre y cuando se cumpla la condición ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$

${\displaystyle k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.}$

Esta relación de dispersión depende vitalmente del signo del término dentro de la raíz cuadrada, ya que si es positivo, el número de onda será real , correspondiente a meras oscilaciones alrededor de la solución no perturbada, mientras que si es negativo, el número de onda se volverá imaginario , correspondiente a un crecimiento exponencial y, por lo tanto, a la inestabilidad. Por lo tanto, la inestabilidad se producirá cuando

${\displaystyle \beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,}$  Eso es para  ${\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.}$

Esta condición describe el requisito de dispersión anómala (tal que sea negativa). El espectro de ganancia se puede describir definiendo un parámetro de ganancia como tal que la potencia de una señal perturbadora crece con la distancia como La ganancia, por lo tanto, viene dada por ${\displaystyle \gamma \beta _{2}}$ ${\displaystyle g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,}$ ${\displaystyle P\,e^{gz}.}$

${\displaystyle g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\\[2ex]0,&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}}$

donde como se indicó anteriormente, es la diferencia entre la frecuencia de la perturbación y la frecuencia de la luz inicial. La tasa de crecimiento es máxima para ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.}$

Inestabilidad de modulación en sistemas blandos

Se ha observado inestabilidad de modulación de campos ópticos en sistemas fotoquímicos, es decir, medios fotopolimerizables. ^{[9] [10] [11] [12]} La inestabilidad de modulación ocurre debido a la no linealidad óptica inherente de los sistemas debido a cambios inducidos por la fotorreacción en el índice de refracción. ^[13] La inestabilidad de modulación de la luz espacial y temporalmente incoherente es posible debido a la respuesta no instantánea de los sistemas fotorreactivos, que en consecuencia responde a la intensidad promedio temporal de la luz, en la que las fluctuaciones de femtosegundos se cancelan. ^[14]

Referencias

1. Benjamin, T. Brooke ; Feir, JE (1967). "La desintegración de trenes de olas en aguas profundas. Parte 1. Teoría". Revista de mecánica de fluidos . 27 (3): 417–430. Código Bibliográfico :1967JFM....27..417B. doi :10.1017/S002211206700045X. S2CID  121996479.
2. Benjamin, TB (1967). "Inestabilidad de trenes de ondas periódicas en sistemas dispersivos no lineales". Actas de la Royal Society de Londres . A. Ciencias matemáticas y físicas. 299 (1456): 59–76. Bibcode :1967RSPSA.299...59B. doi :10.1098/rspa.1967.0123. S2CID  121661209.Concluyó con un debate a cargo de Klaus Hasselmann .
3. Agrawal, Govind P. (1995). Fibras ópticas no lineales (2.ª ed.). San Diego (California): Academic Press. ISBN 978-0-12-045142-5.
4. Yuen, HC; Lake, BM (1980). "Inestabilidades de las olas en aguas profundas". Revista anual de mecánica de fluidos . 12 : 303–334. Código Bibliográfico :1980AnRFM..12..303Y. doi :10.1146/annurev.fl.12.010180.001511.
5. Piliptetskii, NF; Rustamov, AR (31 de mayo de 1965). "Observación del autoenfoque de la luz en líquidos". JETP Letters . 2 (2): 55–56.
6. Bespalov, VI; Talanov, VI (15 de junio de 1966). "Estructura filamentosa de haces de luz en líquidos no lineales". ZhETF Pisma Redaktsiiu . 3 (11): 471–476. Código Bibliográfico :1966ZhPmR...3..471B. Archivado desde el original el 31 de julio de 2020 . Consultado el 17 de febrero de 2021 .
7. Janssen, Peter AEM (2003). "Interacciones no lineales de cuatro ondas y olas gigantes". Journal of Physical Oceanography . 33 (4): 863–884. Bibcode :2003JPO....33..863J. doi : 10.1175/1520-0485(2003)33<863:NFIAFW>2.0.CO;2 .
8. Dysthe, Kristian; Krogstad, Harald E.; Müller, Peter (2008). "Olas gigantescas oceánicas". Revista anual de mecánica de fluidos . 40 (1): 287–310. Código Bibliográfico :2008AnRFM..40..287D. doi :10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203.
9. Burgess, Ian B.; Shimmell, Whitney E.; Saravanamuttu, Kalaichelvi (1 de abril de 2007). "Formación espontánea de patrones debido a la inestabilidad de modulación de luz blanca incoherente en un medio fotopolimerizable". Revista de la Sociedad Química Estadounidense . 129 (15): 4738–4746. doi :10.1021/ja068967b. ISSN  0002-7863. PMID  17378567.
10. Basker, Dinesh K.; Brook, Michael A.; Saravanamuttu, Kalaichelvi (2015). "Aparición espontánea de ondas de luz no lineales y microestructura de guía de ondas autoinscrita durante la polimerización catiónica de epóxidos". The Journal of Physical Chemistry C . 119 (35): 20606–20617. doi :10.1021/acs.jpcc.5b07117.
11. Biria, Saeid; Malley, Philip PA; Kahan, Tara F.; Hosein, Ian D. (3 de marzo de 2016). "Formación de patrones ópticos no lineales ajustables y microestructura en sistemas de acrilato de reticulación durante la polimerización por radicales libres". The Journal of Physical Chemistry C . 120 (8): 4517–4528. doi :10.1021/acs.jpcc.5b11377. ISSN  1932-7447.
12. Biria, Saeid; Malley, Phillip PA; Kahan, Tara F.; Hosein, Ian D. (15 de noviembre de 2016). "La autocatálisis óptica establece una nueva dinámica espacial en la separación de fases de mezclas de polímeros durante el fotocurado". ACS Macro Letters . 5 (11): 1237–1241. doi :10.1021/acsmacrolett.6b00659. PMID  35614732.
13. Kewitsch, Anthony S.; Yariv, Amnon (1 de enero de 1996). "Autoenfoque y autoatrapamiento de haces ópticos tras fotopolimerización" (PDF) . Optics Letters . 21 (1): 24–6. Bibcode :1996OptL...21...24K. doi :10.1364/ol.21.000024. ISSN  1539-4794. PMID  19865292.
14. Solitones espaciales | Stefano Trillo | Springer.

Lectura adicional

• Zakharov, VE ; Ostrovsky, LA (2009). "Inestabilidad de modulación: el comienzo" (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 238 (5): 540–548. Bibcode :2009PhyD..238..540Z. doi :10.1016/j.physd.2008.12.002.^{[ enlace muerto permanente ]}