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Teorema de Miller

El teorema de Miller se refiere al proceso de creación de circuitos equivalentes . Afirma que un elemento de impedancia flotante, suministrado por dos fuentes de tensión conectadas en serie, puede dividirse en dos elementos conectados a tierra con impedancias correspondientes. También existe un teorema de Miller dual con respecto a la impedancia suministrada por dos fuentes de corriente conectadas en paralelo. Las dos versiones se basan en las dos leyes de circuitos de Kirchhoff .

Los teoremas de Miller no son sólo expresiones matemáticas puras. Estas disposiciones explican fenómenos importantes de los circuitos sobre la modificación de la impedancia ( efecto Miller , tierra virtual , arranque , impedancia negativa , etc.) y ayudan a diseñar y comprender varios circuitos comunes (amplificadores con realimentación, convertidores resistivos y dependientes del tiempo, convertidores de impedancia negativa, etc.). Los teoremas son útiles en el "análisis de circuitos", especialmente para analizar circuitos con realimentación [1] y ciertos amplificadores de transistores a altas frecuencias. [2]

Existe una estrecha relación entre el teorema de Miller y el efecto Miller: el teorema puede considerarse como una generalización del efecto y el efecto puede pensarse como un caso especial del teorema.

Teorema de Miller (para voltajes)

Definición

El teorema de Miller establece que en un circuito lineal, si existe una rama con impedancia , que conecta dos nodos con tensiones nodales y , podemos sustituir esta rama por dos ramas que conecten a tierra los nodos correspondientes mediante impedancias respectivamente y , donde . El teorema de Miller puede demostrarse utilizando la técnica de red equivalente de dos puertos para sustituir el puerto de dos puertos por su equivalente y aplicando el teorema de absorción de fuente. [3] Esta versión del teorema de Miller se basa en la ley de tensiones de Kirchhoff ; por ello, se denomina también teorema de Miller para tensiones .

Explicación

Un esquema sobre el teorema de Miller

El teorema de Miller implica que un elemento de impedancia es alimentado por dos fuentes de tensión arbitrarias (no necesariamente dependientes) que están conectadas en serie a través de la tierra común. En la práctica, una de ellas actúa como fuente de tensión principal (independiente) con tensión y la otra, como fuente de tensión adicional (linealmente dependiente) con tensión . La idea del teorema de Miller (modificar las impedancias del circuito vistas desde los lados de las fuentes de entrada y salida) se revela a continuación comparando las dos situaciones: sin y con conexión de una fuente de tensión adicional .

Si fuera cero (no hubiera una segunda fuente de voltaje o el extremo derecho del elemento con impedancia estuviera simplemente conectado a tierra), la corriente de entrada que fluye a través del elemento estaría determinada, de acuerdo con la ley de Ohm, solo por

y la impedancia de entrada del circuito sería

Como se incluye una segunda fuente de voltaje, la corriente de entrada depende de ambos voltajes. Según su polaridad, se resta o se suma a ; por lo tanto, la corriente de entrada disminuye/aumenta

y la impedancia de entrada del circuito visto desde el lado de la fuente de entrada aumenta/disminuye en consecuencia

Así, el teorema de Miller expresa el hecho de que al conectar una segunda fuente de tensión con tensión proporcional en serie con la fuente de tensión de entrada, cambia la tensión efectiva, la corriente y, respectivamente, la impedancia del circuito visto desde el lado de la fuente de entrada . Dependiendo de la polaridad, actúa como una fuente de tensión suplementaria ayudando u oponiéndose a la fuente de tensión principal para pasar la corriente a través de la impedancia.

Además de presentar la combinación de las dos fuentes de tensión como una nueva fuente de tensión compuesta, el teorema puede explicarse combinando el elemento real y la segunda fuente de tensión en un nuevo elemento virtual con una impedancia modificada dinámicamente . Desde este punto de vista, es una tensión adicional que aumenta/disminuye artificialmente la caída de tensión a través de la impedancia, disminuyendo/aumentando así la corriente. La proporción entre las tensiones determina el valor de la impedancia obtenida (ver las tablas siguientes) y da en total seis grupos de aplicaciones típicas.

La impedancia del circuito, vista desde el lado de la fuente de salida, se puede definir de manera similar, si se intercambian los voltajes y y el coeficiente se reemplaza por

Implementación

Una implementación típica del teorema de Miller basada en un amplificador de voltaje de un solo extremo

Con mayor frecuencia, el teorema de Miller se puede observar e implementar en un arreglo que consiste en un elemento con impedancia conectado entre los dos terminales de una red lineal general conectada a tierra. [2] Por lo general, un amplificador de voltaje con ganancia de sirve como tal red lineal, pero también otros dispositivos pueden desempeñar este papel: una persona y un potenciómetro en un medidor de equilibrio nulo potenciométrico , un integrador electromecánico (servomecanismos que usan sensores de retroalimentación potenciométrica), etc.

En la implementación del amplificador, el voltaje de entrada sirve como y el voltaje de salida como . En muchos casos, la fuente de voltaje de entrada tiene alguna impedancia interna o se conecta una impedancia de entrada adicional que, en combinación con , introduce una retroalimentación. Dependiendo del tipo de amplificador (no inversor, inversor o diferencial), la retroalimentación puede ser positiva, negativa o mixta.

La disposición del amplificador Miller tiene dos aspectos:

Aplicaciones

La introducción de una impedancia que conecta los puertos de entrada y salida del amplificador añade una gran complejidad al proceso de análisis. El teorema de Miller ayuda a reducir la complejidad en algunos circuitos, particularmente con realimentación [2] al convertirlos en circuitos equivalentes más simples. Pero el teorema de Miller no solo es una herramienta eficaz para crear circuitos equivalentes; también es una herramienta poderosa para diseñar y comprender circuitos basados ​​en la modificación de la impedancia mediante voltaje adicional . Dependiendo de la polaridad del voltaje de salida frente al voltaje de entrada y la proporción entre sus magnitudes, existen seis grupos de situaciones típicas. En algunos de ellos, el fenómeno de Miller aparece como efectos no intencionados deseados ( bootstrapping ) o no deseados ( efecto Miller ); en otros casos se introduce intencionadamente.

Aplicaciones basadas en la resta de V2desde V1

En estas aplicaciones, el voltaje de salida se inserta con una polaridad opuesta con respecto al voltaje de entrada que viaja a lo largo del bucle (pero con respecto a tierra, las polaridades son las mismas). Como resultado, el voltaje efectivo a través de la impedancia y la corriente a través de ella disminuyen y la impedancia de entrada aumenta.

La impedancia aumentada se logra mediante un amplificador no inversor con ganancia de . El voltaje de salida (magnitud de) es menor que el voltaje de entrada y lo neutraliza parcialmente. Ejemplos de ello son los seguidores de voltaje imperfectos ( emisor , fuente , seguidor de cátodo , etc.) y los amplificadores con retroalimentación negativa en serie ( degeneración del emisor ), cuya impedancia de entrada se aumenta moderadamente.

El amplificador no inversor del amplificador operacional es un circuito típico con retroalimentación negativa en serie basado en el teorema de Miller, donde la impedancia de entrada diferencial del amplificador operacional aparentemente aumenta hasta el infinito.

La impedancia infinita utiliza un amplificador no inversor con . El voltaje de salida es igual al voltaje de entrada y lo neutraliza por completo. Algunos ejemplos son los medidores de balance nulo potenciométricos y los seguidores de amplificadores operacionales y amplificadores con retroalimentación negativa en serie ( seguidor de amplificador operacional y amplificador no inversor ) donde la impedancia de entrada del circuito aumenta enormemente. Esta técnica se conoce como bootstrap y se utiliza intencionalmente en circuitos de polarización, circuitos de protección de entrada, [4] etc.

La impedancia negativa obtenida por inversión de corriente se implementa mediante un amplificador no inversor con . La corriente cambia su dirección, ya que el voltaje de salida es mayor que el voltaje de entrada. Si la fuente de voltaje de entrada tiene alguna impedancia interna o si está conectada a través de otro elemento de impedancia, aparece una retroalimentación positiva. Una aplicación típica es el convertidor de impedancia negativa con inversión de corriente (INIC) que utiliza tanto retroalimentación negativa como positiva (la retroalimentación negativa se usa para realizar un amplificador no inversor y la retroalimentación positiva, para modificar la impedancia).

Aplicaciones basadas en la suma de V2A V1

En estas aplicaciones, la tensión de salida se inserta con la misma polaridad con respecto a la tensión de entrada que viaja a lo largo del bucle (pero con respecto a tierra, las polaridades son opuestas). Como resultado, la tensión efectiva y la corriente a través de la impedancia aumentan; la impedancia de entrada disminuye.

La disminución de la impedancia se logra mediante un amplificador inversor que tiene una ganancia moderada, por lo general . Puede observarse como un efecto Miller no deseado en etapas de amplificación de emisor común , fuente común y cátodo común donde se aumenta la capacitancia de entrada efectiva. La compensación de frecuencia para amplificadores operacionales de propósito general y el integrador Miller de transistores son ejemplos de uso útil del efecto Miller.

El amplificador inversor operacional es un circuito típico, con retroalimentación negativa paralela, basado en el teorema de Miller, donde la impedancia de entrada diferencial del amplificador operacional aparentemente se reduce a cero.

La impedancia cero utiliza un amplificador inversor (normalmente un amplificador operacional) con una ganancia enormemente alta . El voltaje de salida es casi igual a la caída de voltaje a través de la impedancia y la neutraliza por completo. El circuito se comporta como un cortocircuito y aparece una tierra virtual en la entrada; por lo tanto, no debe ser controlado por una fuente de voltaje constante. Para este propósito, algunos circuitos son controlados por una fuente de corriente constante o por una fuente de voltaje real con impedancia interna: convertidor de corriente a voltaje (amplificador de transimpedancia), integrador capacitivo (también llamado integrador de corriente o amplificador de carga ), convertidor de resistencia a voltaje (un sensor resistivo conectado en el lugar de la impedancia ).

El resto de ellos tienen impedancia adicional conectada en serie a la entrada: convertidor de tensión a corriente (amplificador de transconductancia), amplificador inversor , amplificador sumador , integrador inductivo, diferenciador capacitivo, integrador resistivo-capacitivo , diferenciador capacitivo-resistivo , diferenciador inductivo-resistivo, etc. Los integradores inversores de esta lista son ejemplos de aplicaciones útiles y deseadas del efecto Miller en su manifestación extrema.

En todos estos circuitos inversores de amplificadores operacionales con realimentación negativa en paralelo , la corriente de entrada aumenta hasta su valor máximo. Está determinada únicamente por la tensión de entrada y la impedancia de entrada según la ley de Ohm ; no depende de la impedancia .

La impedancia negativa con inversión de voltaje se implementa aplicando retroalimentación negativa y positiva a un amplificador operacional con una entrada diferencial. La fuente de voltaje de entrada debe tener impedancia interna o debe estar conectada a través de otro elemento de impedancia a la entrada. En estas condiciones, el voltaje de entrada del circuito cambia su polaridad a medida que el voltaje de salida excede la caída de voltaje a través de la impedancia ( ).

Una aplicación típica es un convertidor de impedancia negativa con inversión de voltaje (VNIC). [5] Es interesante que el voltaje de entrada del circuito tenga la misma polaridad que el voltaje de salida, aunque se aplica a la entrada del amplificador operacional inversor; la fuente de entrada tiene una polaridad opuesta tanto al voltaje de entrada como al de salida del circuito.

Generalización del arreglo de Miller

El efecto Miller original se implementa mediante una impedancia capacitiva conectada entre dos nodos. El teorema de Miller generaliza el efecto Miller, ya que implica una impedancia arbitraria conectada entre los nodos. Se supone también que es un coeficiente constante ; en ese caso, las expresiones anteriores son válidas. Pero existen propiedades modificadoras del teorema de Miller incluso cuando se violan estos requisitos y esta disposición se puede generalizar aún más dinamizando la impedancia y el coeficiente.

Elemento no lineal. Además de la impedancia, la disposición de Miller puede modificar la característica IV de un elemento arbitrario. El circuito de un convertidor logarítmico de diodos es un ejemplo de una resistencia no lineal prácticamente puesta a cero, en la que la curva IV directa logarítmica de un diodo se transforma en una línea recta vertical que se superpone al eje.

Coeficiente no constante. Si el coeficiente varía, se pueden obtener algunos elementos virtuales exóticos. Un circuito giratorio es un ejemplo de un elemento virtual de este tipo en el que la resistencia se modifica para imitar la inductancia, la capacitancia o la resistencia inversa.

Teorema dual de Miller (para corrientes)

Definición

También existe una versión dual del teorema de Miller que se basa en la ley de corrientes de Kirchhoff ( teorema de Miller para corrientes ): si hay una rama en un circuito con impedancia que conecta un nodo, donde convergen a tierra dos corrientes y , podemos reemplazar esta rama por dos que conduzcan las corrientes referidas, con impedancias respectivamente iguales a y , donde . El teorema dual puede demostrarse reemplazando la red de dos puertos por su equivalente y aplicando el teorema de absorción de fuente. [3]

Explicación

El teorema dual de Miller en realidad expresa el hecho de que al conectar una segunda fuente de corriente que produce una corriente proporcional en paralelo con la fuente de entrada principal y el elemento de impedancia, cambia la corriente que fluye a través de ella, el voltaje y, en consecuencia, la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada. Dependiendo de la dirección, actúa como una fuente de corriente complementaria que ayuda o se opone a la fuente de corriente principal para crear voltaje a través de la impedancia. La combinación del elemento real y la segunda fuente de corriente puede considerarse como un nuevo elemento virtual con impedancia modificada dinámicamente.

Implementación

El teorema dual de Miller se suele implementar mediante un arreglo que consta de dos fuentes de tensión que alimentan la impedancia conectada a tierra a través de impedancias flotantes (véase la figura 3). Las combinaciones de las fuentes de tensión y las impedancias correspondientes forman las dos fuentes de corriente: la principal y la auxiliar. Como en el caso del teorema principal de Miller, la segunda tensión suele producirse mediante un amplificador de tensión. Según el tipo de amplificador (inversor, no inversor o diferencial) y la ganancia, la impedancia de entrada del circuito puede ser virtualmente aumentada, infinita, reducida, cero o negativa.

Aplicaciones

Como el principal teorema de Miller, además de ayudar al proceso de análisis de circuitos, la versión dual es una herramienta poderosa para diseñar y comprender circuitos basados ​​en la modificación de la impedancia mediante corriente adicional. Las aplicaciones típicas son algunos circuitos exóticos con impedancia negativa como canceladores de carga, [6] neutralizadores de capacitancia, [7] fuente de corriente Howland y su integrador Deboo derivado. [8] En el último ejemplo (ver Fig. 1 allí), la fuente de corriente Howland consta de una fuente de voltaje de entrada , una resistencia positiva , una carga (el capacitor actuando como impedancia ) y un convertidor de impedancia negativa INIC ( y el amplificador operacional). La fuente de voltaje de entrada y la resistencia constituyen una fuente de corriente imperfecta que pasa corriente a través de la carga (ver Fig. 3 en la fuente). El INIC actúa como una segunda fuente de corriente que pasa corriente de "ayuda" a través de la carga. Como resultado, la corriente total que fluye a través de la carga es constante y la impedancia del circuito vista por la fuente de entrada aumenta. A modo de comparación, en un cancelador de carga [ enlace muerto permanente ] , el INIC pasa toda la corriente requerida a través de la carga; la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada (la impedancia de carga) es casi infinita.

Lista de aplicaciones específicas basadas en los teoremas de Miller

A continuación se muestra una lista de soluciones de circuitos, fenómenos y técnicas basadas en los dos teoremas de Miller.

Soluciones de circuitos
  • Medidor de equilibrio nulo potenciométrico
  • Registradores de datos electromecánicos con sistema servo potenciométrico
  • Emisor (fuente, cátodo) seguidor
  • Amplificador de transistores con degeneración del emisor (fuente, cátodo)
  • Circuitos de polarización con arranque de transistores
  • Integrador de transistores
  • Etapas amplificadoras de emisor común (fuente común, cátodo común) con capacitancias parásitas
  • Seguidor de amplificador operacional
  • Amplificador no inversor de amplificador operacional
  • Seguidor de CA con arranque de amplificador operacional con alta impedancia de entrada
  • Fuente de corriente bilateral
  • Convertidor de impedancia negativa con inversión de corriente (INIC)
  • Cancelador de carga de impedancia negativa
  • Cancelador de capacitancia de entrada de impedancia negativa
  • Fuente de corriente de Howland
  • Integrador de Deboo
  • Amperímetro inversor de amplificador operacional
  • Convertidor de voltaje a corriente de amplificador operacional (amplificador de transconductancia)
  • Convertidor de corriente a voltaje de amplificador operacional (amplificador de transimpedancia)
  • Convertidor de resistencia a corriente de amplificador operacional
  • Convertidor de resistencia a voltaje de amplificador operacional
  • Amplificador inversor de amplificador operacional
  • Sumador inversor de amplificador operacional
  • Integrador capacitivo inversor de amplificador operacional (integrador de corriente, amplificador de carga)
  • Integrador resistivo-capacitivo inversor de amplificador operacional
  • Diferenciador capacitivo inversor de amplificador operacional
  • Diferenciador capacitivo-resistivo inversor de amplificador operacional
  • Integrador inductivo inversor de amplificador operacional
  • Diferenciador inductivo-resistivo inversor de amplificador operacional, etc.
  • Convertidor de registro de diodo de amplificador operacional
  • Convertidor antilogaritmo de diodo de amplificador operacional
  • Diodo limitador inversor de amplificador operacional (diodo de precisión)
  • Convertidor de impedancia negativa con inversión de tensión (VNIC), etc.
Fenómenos y técnicas de circuitos
  • Arranque
  • Protección de entrada de circuitos de amplificadores operacionales de alta impedancia
  • Neutralización de capacitancia de entrada
  • Terreno virtual
  • Efecto Miller
  • Compensación de frecuencia del amplificador operacional
  • Impedancia negativa
  • Cancelación de carga

Véase también

Referencias

  1. ^ "Teoremas de redes varios". Netlecturer.com. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2012. Consultado el 3 de febrero de 2013 .
  2. ^ abc «EEE 194RF: Teorema de Miller» (PDF) . Consultado el 3 de febrero de 2013 .
  3. ^ ab "Teorema de Miller". Paginas.fe.up.pt . Consultado el 2013-02-03 .
  4. ^ Trabajar con amplificadores operacionales de alta impedancia Archivado el 23 de septiembre de 2010 en Wayback Machine AN-241
  5. ^ "Análisis de circuitos no lineales: una introducción" (PDF) . Consultado el 3 de febrero de 2013 .
  6. ^ El cancelador de carga de resistencia negativa ayuda a impulsar cargas pesadas
  7. ^ DH Sheingold (1964-01-01), "Transformaciones de impedancia y admitancia utilizando amplificadores operacionales", The Lightning Empiricist , 12 (1) , consultado el 22 de junio de 2014
  8. ^ "Considere el integrador de fuente única "Deboo"". Maxim-ic.com. 2002-08-29 . Consultado el 2013-02-03 .

Lectura adicional

Enlaces externos