En matemáticas , una medida de Carleson es un tipo de medida en subconjuntos del espacio euclidiano n - dimensional R n . En términos generales, una medida de Carleson en un dominio Ω es una medida que no se desvanece en el límite de Ω en comparación con la medida de superficie en el límite de Ω.
Las medidas de Carleson tienen muchas aplicaciones en el análisis armónico y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, en la solución de problemas de Dirichlet con límites "aproximados". La condición de Carleson está estrechamente relacionada con la acotación del operador de Poisson . Las medidas de Carleson reciben su nombre del matemático sueco Lennart Carleson .
Sea n ∈ N y sea Ω ⊂ R n un conjunto abierto (y por lo tanto medible ) con borde no vacío ∂Ω. Sea μ una medida de Borel sobre Ω, y sea σ la medida de superficie sobre ∂Ω. Se dice que la medida μ es una medida de Carleson si existe una constante C > 0 tal que, para cada punto p ∈ ∂Ω y cada radio r > 0,
dónde
denota la bola abierta de radio r alrededor de p .
Sea D el disco unidad en el plano complejo C , dotado de alguna medida de Borel μ . Para 1 ≤ p < +∞, sea H p (∂ D ) el espacio de Hardy en el límite de D y sea L p ( D , μ ) el espacio L p en D con respecto a la medida μ . Defina el operador de Poisson
por
Entonces P es un operador lineal acotado si y solo si la medida μ es Carleson.
El ínfimo del conjunto de constantes C > 0 para el que se cumple la condición de Carleson
se mantiene se conoce como la norma de Carleson de la medida μ .
Si C ( R ) se define como el ínfimo del conjunto de todas las constantes C > 0 para las que se cumple la condición restringida de Carleson
se cumple, entonces se dice que la medida μ satisface la condición de desaparición de Carleson si C ( R ) → 0 cuando R → 0.