Medida de Carleson

En matemáticas , una medida de Carleson es un tipo de medida en subconjuntos del espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ . En términos generales, una medida de Carleson en un dominio Ω es una medida que no se desvanece en el límite de Ω en comparación con la medida de superficie en el límite de Ω.

Las medidas de Carleson tienen muchas aplicaciones en el análisis armónico y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, en la solución de problemas de Dirichlet con límites "aproximados". La condición de Carleson está estrechamente relacionada con la acotación del operador de Poisson . Las medidas de Carleson reciben su nombre del matemático sueco Lennart Carleson .

Definición

Sea n  ∈  N y sea Ω ⊂  R ⁿ un conjunto abierto (y por lo tanto medible ) con borde no vacío ∂Ω. Sea μ una medida de Borel sobre Ω, y sea σ la medida de superficie sobre ∂Ω. Se dice que la medida μ es una medida de Carleson si existe una constante C  > 0 tal que, para cada punto p  ∈ ∂Ω y cada radio r  > 0,

${\displaystyle \mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right),}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {B} _{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\left|\|x-p\|_{\mathbb {R} ^{n}}<r\right.\right\}}$

denota la bola abierta de radio r alrededor de p .

Teorema de Carleson sobre el operador de Poisson

Sea D el disco unidad en el plano complejo C , dotado de alguna medida de Borel μ . Para 1 ≤  p  < +∞, sea H ^p (∂ D ) el espacio de Hardy en el límite de D y sea L ^p ( D ,  μ ) el espacio L p en D con respecto a la medida μ . Defina el operador de Poisson

${\displaystyle P:H^{p}(\partial D)\to L^{p}(D,\mu )}$

por

${\displaystyle P(f)(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} {\frac {e^{it}+z}{e^{it}-z}}f(e^{it})\,\mathrm {d} \mu (t).}$

Entonces P es un operador lineal acotado si y solo si la medida μ es Carleson.

Otros conceptos relacionados

El ínfimo del conjunto de constantes C  > 0 para el que se cumple la condición de Carleson

${\displaystyle \forall r>0,\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)}$

se mantiene se conoce como la norma de Carleson de la medida μ .

Si C ( R ) se define como el ínfimo del conjunto de todas las constantes C  > 0 para las que se cumple la condición restringida de Carleson

${\displaystyle \forall r\in (0,R),\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)}$

se cumple, entonces se dice que la medida μ satisface la condición de desaparición de Carleson si C ( R ) → 0 cuando R  → 0.

Referencias

• Carleson, Lennart (1962). "Interpolaciones mediante funciones analíticas acotadas y el problema de la corona". Ann. of Math. 76 (3): 547–559. doi :10.2307/1970375. MR  0141789.

Enlaces externos

• Mortini, R. (2001) [1994], "Medida de Carleson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press