En teoría de la decisión , economía y finanzas , un modelo de decisión de dos momentos es un modelo que describe o prescribe el proceso de toma de decisiones en un contexto en el que el decisor se enfrenta a variables aleatorias cuyas realizaciones no se pueden conocer de antemano, y en el que las elecciones se toman en función del conocimiento de dos momentos de esas variables aleatorias. Los dos momentos son casi siempre la media, es decir, el valor esperado , que es el primer momento alrededor de cero, y la varianza , que es el segundo momento alrededor de la media (o la desviación estándar , que es la raíz cuadrada de la varianza).
El modelo de decisión de dos momentos más conocido es el de la teoría de cartera moderna , que da lugar a la parte de decisión del modelo de fijación de precios de activos de capital ; estos emplean el análisis de media-varianza y se centran en la media y la varianza del valor final de una cartera.
Supongamos que todas las variables aleatorias relevantes pertenecen a la misma familia de escala de ubicación , lo que significa que la distribución de cada variable aleatoria es la misma que la distribución de alguna transformación lineal de cualquier otra variable aleatoria. Entonces, para cualquier función de utilidad de von Neumann-Morgenstern , el uso de un marco de decisión de media-varianza es consistente con la maximización de la utilidad esperada , [1] [2] como se ilustra en el ejemplo 1:
Ejemplo 1: [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Sea un activo riesgoso con un rendimiento aleatorio , y un activo libre de riesgo con un rendimiento conocido , y sea la riqueza inicial de un inversor . Si la cantidad , la variable de elección, se va a invertir en el activo riesgoso y la cantidad se va a invertir en el activo seguro, entonces, dependiendo de , la riqueza final aleatoria del inversor será . Entonces, para cualquier elección de , se distribuye como una transformación de escala de ubicación de . Si definimos variable aleatoria como igual en distribución a entonces es igual en distribución a , donde μ representa un valor esperado y σ representa la desviación estándar de una variable aleatoria (la raíz cuadrada de su segundo momento). Por lo tanto, podemos escribir la utilidad esperada en términos de dos momentos de :
donde es la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern , es la función de densidad de , y es la función de elección derivada de la desviación estándar-media, que depende en forma de la función de densidad f . Se supone que la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern es creciente, lo que implica que se prefiere más riqueza a menos, y se supone que es cóncava, lo que es lo mismo que suponer que el individuo es reacio al riesgo .
Se puede demostrar que la derivada parcial de v con respecto a μ w es positiva, y la derivada parcial de v con respecto a σ w es negativa; por lo tanto, siempre se desea más riqueza esperada, y siempre se desagrada más riesgo (medido por la desviación estándar de la riqueza). Una curva de indiferencia de media-desviación estándar se define como el lugar geométrico de los puntos ( σ w , μ w ) con σ w trazado horizontalmente, de modo que E u ( w ) tiene el mismo valor en todos los puntos del lugar geométrico. Entonces, las derivadas de v implican que cada curva de indiferencia tiene pendiente positiva: es decir, a lo largo de cualquier curva de indiferencia dμ w / d σ w > 0. Además, se puede demostrar [3] que todas esas curvas de indiferencia son convexas: a lo largo de cualquier curva de indiferencia, d 2 μ w / d (σ w ) 2 > 0.
Ejemplo 2: El análisis de cartera del ejemplo 1 se puede generalizar. Si hay n activos riesgosos en lugar de solo uno, y si sus rendimientos se distribuyen elípticamente de manera conjunta , entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza; es decir, dos carteras cualesquiera con una media y varianza idénticas de rendimiento de la cartera tienen distribuciones idénticas de rendimiento de la cartera, y todas las carteras posibles tienen distribuciones de rendimiento que están relacionadas entre sí por la escala de ubicación. [11] [12] Por lo tanto, la optimización de cartera se puede implementar utilizando un modelo de decisión de dos momentos.
Ejemplo 3: Supongamos que una empresa que acepta precios y es reacia al riesgo debe comprometerse a producir una cantidad de producción q antes de observar la realización de mercado p del precio del producto. [13] Su problema de decisión es elegir q de modo de maximizar la utilidad esperada de la ganancia:
donde E es el operador de valor esperado , u es la función de utilidad de la empresa, c es su función de costo variable y g es su costo fijo . Todas las distribuciones posibles de los ingresos aleatorios de la empresa pq , basadas en todas las posibles elecciones de q , están relacionadas con la escala de ubicación; por lo tanto, el problema de decisión se puede enmarcar en términos del valor esperado y la varianza de los ingresos.
Si quien toma las decisiones no es un maximizador de la utilidad esperada , la toma de decisiones aún puede enmarcarse en términos de la media y la varianza de una variable aleatoria si todas las distribuciones alternativas para un resultado impredecible son transformaciones de escala de ubicación entre sí. [14]