Gráfico de McKay

Construcción en teoría de grafos

En matemáticas , el gráfico de McKay de una representación de dimensión finita V de un grupo finito G es un carcaj ponderado que codifica la estructura de la teoría de representación de G. Cada nodo representa una representación irreducible de G. Si χ _i , χ _j son representaciones irreducibles de G , entonces hay una flecha de χ _i a χ _j si y solo si χ _j es un constituyente del producto tensorial. Entonces, el peso n _ij de la flecha es el número de veces que aparece este constituyente en Para subgrupos finitos H de ⁠ ⁠ el gráfico de McKay de H es el gráfico de McKay de la representación bidimensional definitoria de H. ${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$ ${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} ),}$

Si G tiene n caracteres irreducibles, entonces la matriz de Cartan c _V de la representación V de dimensión d se define por donde δ es el delta de Kronecker . Un resultado de Robert Steinberg establece que si g es un representante de una clase de conjugación de G , entonces los vectores son los vectores propios de c _V a los valores propios donde χ _V es el carácter de la representación V. [ ^1] ${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$ ${\displaystyle ((\chi _{i}(g))_{i}}$ ${\displaystyle d-\chi _{V}(g),}$

La correspondencia de McKay, llamada así en honor a John McKay , establece que existe una correspondencia biunívoca entre los gráficos de McKay de los subgrupos finitos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ y los diagramas de Dynkin extendidos , que aparecen en la clasificación ADE de las álgebras de Lie simples . ^[2]

Definición

Sea G un grupo finito, V una representación de G y χ su carácter. Sean las representaciones irreducibles de G . Si ${\displaystyle \{\chi _{1},\ldots ,\chi _{d}\}}$

${\displaystyle V\otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\chi _{j},}$

Luego defina el gráfico de McKay Γ _G de G , relativo a V , de la siguiente manera:

• Cada representación irreducible de G corresponde a un nodo en Γ _G .
• Si n _ij > 0 , hay una flecha de χ _i a χ _j de peso n _ij , escrita como o a veces como n _ij flechas sin etiquetar. ${\displaystyle \chi _{i}\xrightarrow {n_{ij}} \chi _{j},}$
• Si denotamos las dos flechas opuestas entre χ _i , χ _j como una arista no dirigida de peso n _ij . Además, si omitimos la etiqueta de peso. ${\displaystyle n_{ij}=n_{ji},}$ ${\displaystyle n_{ij}=1,}$

Podemos calcular el valor de n _ij usando el producto interno de los caracteres : ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle n_{ij}=\langle V\otimes \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}V(g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}.}$

El gráfico de McKay de un subgrupo finito de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} )}$ se define como el gráfico de McKay de su representación canónica.

Para subgrupos finitos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ la representación canónica en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ es autodual, por lo que para todo i, j . Por lo tanto, el gráfico de McKay de subgrupos finitos de ⁠ ⁠ no está dirigido. ${\displaystyle n_{ij}=n_{ji}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

De hecho, por la correspondencia de McKay, existe una correspondencia biunívoca entre los subgrupos finitos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ y los diagramas de Coxeter-Dynkin extendidos de tipo ADE.

Definimos la matriz de Cartan c _V de V de la siguiente manera:

${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$

donde δ _ij es el delta de Kronecker .

Algunos resultados

• Si la representación V es fiel, entonces toda representación irreducible está contenida en alguna potencia tensorial y el gráfico de McKay de V es conexo. ${\displaystyle V^{\otimes k},}$
• El gráfico de McKay de un subgrupo finito de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ no tiene bucles propios, es decir, para todo i . ${\displaystyle n_{ii}=0}$
• Las flechas del gráfico de McKay de un subgrupo finito de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ son todas de peso uno.

Ejemplos

• Supóngase G = A × B , y existen representaciones irreducibles canónicas c _A , c _B de A, B respectivamente. Si χ _i , i = 1, …, k , son las representaciones irreducibles de A y ψ _j , j = 1, …, ℓ , son las representaciones irreducibles de B , entonces

${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}\quad 1\leq i\leq k,\,\,1\leq j\leq \ell }$

son las representaciones irreducibles de A × B , donde En este caso, tenemos ${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}(a,b)=\chi _{i}(a)\psi _{j}(b),(a,b)\in A\times B.}$

${\displaystyle \langle (c_{A}\times c_{B})\otimes (\chi _{i}\times \psi _{\ell }),\chi _{n}\times \psi _{p}\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell },\psi _{p}\rangle .}$

Por lo tanto, hay una flecha en el gráfico de McKay de G entre y si y solo si hay una flecha en el gráfico de McKay de A entre χ _i , χ _k y hay una flecha en el gráfico de McKay de B entre ψ _j , ψ _ℓ . En este caso, el peso de la flecha en el gráfico de McKay de G es el producto de los pesos de las dos flechas correspondientes en los gráficos de McKay de A y B . ${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}}$ ${\displaystyle \chi _{k}\times \psi _{\ell }}$

• Felix Klein demostró que los subgrupos finitos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ son los grupos poliédricos binarios; todos son conjugados a subgrupos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} ).}$ La correspondencia de McKay establece que existe una correspondencia biunívoca entre los gráficos de McKay de estos grupos poliédricos binarios y los diagramas de Dynkin extendidos. Por ejemplo, el grupo tetraédrico binario se genera mediante las matrices ⁠ ⁠ : ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ \ V=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ \ U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),}$

donde ε es una raíz octava primitiva de la unidad. De hecho, tenemos

${\displaystyle {\overline {T}}=\{U^{k},SU^{k},VU^{k},SVU^{k}\mid k=0,\ldots ,5\}.}$

Las clases de conjugación de son: ${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle C_{1}=\{U^{0}=I\},}$

${\displaystyle C_{2}=\{U^{3}=-I\},}$

${\displaystyle C_{3}=\{\pm S,\pm V,\pm SV\},}$

${\displaystyle C_{4}=\{U^{2},SU^{2},VU^{2},SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{5}=\{-U,SU,VU,SVU\},}$

${\displaystyle C_{6}=\{-U^{2},-SU^{2},-VU^{2},-SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{7}=\{U,-SU,-VU,-SVU\}.}$

La tabla de caracteres de es ${\displaystyle {\overline {T}}}$

Aquí la representación canónica V se denota por  c . Utilizando el producto interno, encontramos que el gráfico de McKay de es el diagrama de Coxeter-Dynkin extendido de tipo ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/3}.}$ ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}.}$

Véase también

• Clasificación ADE
• Grupo tetraédrico binario

Referencias

1. Steinberg, Robert (1985), "Subgrupos de diagramas de Dynkin y elementos afines de Coxeter", Pacific Journal of Mathematics , 18 : 587–598, doi :10.2140/pjm.1985.118.587 ${\displaystyle SU_{2}}$
2. McKay, John (1982), "Representaciones y gráficos de Coxeter", "La vena geométrica", Coxeter Festschrift , Berlín: Springer-Verlag

Lectura adicional

• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001), Representaciones y caracteres de grupos (2.ª ed.) , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00392-X
• Klein, Felix (1884), "Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade", Teubner , Leibniz
• McKay, John (1980), "Gráficos, singularidades y grupos finitos", Proc. Symp. Pure Math. , Actas de simposios sobre matemáticas puras, 37 , Amer. Math. Soc.: 183–186, doi : 10.1090/pspum/037/604577 , ISBN 9780821814406
• Riemenschneider, Oswald (2005), Correspondencia de McKay para singularidades de superficie cociente , Singularidades en geometría y topología, Actas de la Escuela de verano y taller sobre singularidades de Trieste, págs. 483–519