Ecuación de Majorana

Descripción ondulatoria relativista de los fermiones

En física , la ecuación de Majorana es una ecuación de onda relativista . Recibe su nombre del físico italiano Ettore Majorana , quien la propuso en 1937 como un medio para describir los fermiones que son su propia antipartícula . ^[1] Las partículas correspondientes a esta ecuación se denominan partículas de Majorana , aunque ese término ahora tiene un significado más expansivo, refiriéndose a cualquier partícula fermiónica (posiblemente no relativista) que sea su propia antipartícula (y, por lo tanto, sea eléctricamente neutra).

Se ha propuesto que los neutrinos masivos se describan mediante partículas de Majorana; existen varias extensiones del Modelo Estándar que lo permiten. El artículo sobre partículas de Majorana presenta el estado de las búsquedas experimentales, incluidos los detalles sobre los neutrinos. Este artículo se centra principalmente en el desarrollo matemático de la teoría, con atención a sus simetrías discretas y continuas . Las simetrías discretas son la conjugación de carga , la transformación de paridad y la inversión temporal ; la simetría continua es la invariancia de Lorentz .

La conjugación de cargas desempeña un papel descomunal, ya que es la simetría clave que permite que las partículas de Majorana se describan como eléctricamente neutrales. Un aspecto particularmente notable es que la neutralidad eléctrica permite elegir libremente varias fases globales, una para cada campo quirales izquierdo y derecho . Esto implica que, sin restricciones explícitas en estas fases, los campos de Majorana violan naturalmente CP . Otro aspecto de la neutralidad eléctrica es que a los campos quirales izquierdo y derecho se les pueden dar masas distintas. Es decir, la carga eléctrica es un invariante de Lorentz y también una constante de movimiento ; mientras que la quiralidad es un invariante de Lorentz, pero no es una constante de movimiento para campos masivos. Los campos eléctricamente neutros están, por tanto, menos restringidos que los campos cargados. Bajo la conjugación de cargas, las dos fases globales libres aparecen en los términos de masa (ya que son invariantes de Lorentz), y así la masa de Majorana se describe mediante una matriz compleja, en lugar de un solo número. En resumen, las simetrías discretas de la ecuación de Majorana son considerablemente más complicadas que las de la ecuación de Dirac , donde la simetría de carga eléctrica restringe y elimina estas libertades. ${\displaystyle U(1)}$

Definición

La ecuación de Majorana se puede escribir en varias formas distintas:

• Como la ecuación de Dirac está escrita de modo que el operador de Dirac es puramente hermítico, dando así soluciones puramente reales.
• Como operador que relaciona un espinor de cuatro componentes con su conjugado de carga .
• Como una ecuación diferencial 2×2 que actúa sobre un espinor complejo de dos componentes, similar a la ecuación de Weyl con un término de masa covariante de Lorentz adecuado . ^{[2] [3] [4] [5]}

Estas tres formas son equivalentes y pueden derivarse una de la otra. Cada una ofrece una perspectiva ligeramente diferente sobre la naturaleza de la ecuación. La primera forma enfatiza que se pueden encontrar soluciones puramente reales. La segunda forma aclara el papel de la conjugación de cargas . La tercera forma proporciona el contacto más directo con la teoría de representación del grupo de Lorentz .

Forma puramente real de cuatro componentes

El punto de partida convencional es afirmar que "la ecuación de Dirac puede escribirse en forma hermítica ", cuando las matrices gamma se toman en la representación de Majorana . La ecuación de Dirac se escribe entonces como ^[6]

${\displaystyle \left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0}$

siendo matrices simétricas 4×4 puramente reales y siendo antisimétricas puramente imaginarias; como se requiere para asegurar que el operador (la parte dentro de los paréntesis) sea hermítico. En este caso, se pueden encontrar soluciones de 4 espinores puramente reales para la ecuación; estos son los espinores de Majorana . ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Forma de cuatro componentes conjugada con carga

La ecuación de Majorana es

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~}$

con el operador de derivada escrito en notación de barra de Feynman para incluir las matrices gamma así como una suma sobre los componentes del espinor. El espinor es el conjugado de carga de Por construcción, los conjugados de carga están dados necesariamente por ${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$ ${\textstyle \,\psi _{c}\,}$ ${\textstyle \,\psi \,.}$

${\displaystyle \psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~}$

donde denota la transpuesta , es un factor de fase arbitrario que se toma convencionalmente como y es una matriz 4×4, la matriz de conjugación de carga . La representación matricial de depende de la elección de la representación de las matrices gamma . Por convención, el espinor conjugado se escribe como ${\displaystyle \,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}\,}$ ${\displaystyle \,|\eta _{c}|=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}=1\,,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.}$

De la matriz de conjugación de carga se desprenden varias identidades algebraicas ^[a] Se afirma que en cualquier representación de las matrices gamma , incluidas las representaciones de Dirac, Weyl y Majorana, y por lo tanto se puede escribir ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,}$

${\displaystyle \psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~}$

¿Dónde está el conjugado complejo de La matriz de conjugación de carga también tiene la propiedad de que ${\displaystyle \,\psi ^{*}\,}$ ${\displaystyle \,\psi \,.}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C}$

en todas las representaciones (Dirac, quiral, Majorana). A partir de esto y de un poco de álgebra, se puede obtener la ecuación equivalente:

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Prueba

Esta forma no es del todo obvia, por lo que merece una demostración. Empezando con

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,\psi _{c}=0}$

Expandir : ${\displaystyle \,\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

Multiplicar por uso : ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C^{2}=-1\,}$

${\displaystyle -i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C\,\psi -m\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

La conjugación de carga transpone las matrices gamma:

${\displaystyle +i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf {T}}\,C\,\psi -m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\mathsf {T}}\,\psi ^{*}=0}$

Tome el conjugado complejo:

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }\,\psi =0}$

La matriz es hermítica, en las tres representaciones (Dirac, quiral, Majorana): ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

También es una involución , tomando el conjugado hermítico : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{0}=\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }}$

${\displaystyle -i\,\gamma ^{0}\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

Multiplica por , ten en cuenta que y haz uso de : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I\,}$ ${\displaystyle \,C^{*}=C\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}-m\,\psi =0}$

Lo anterior es solo la definición del conjugado, por lo que concluimos que

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

En el artículo sobre conjugación de carga se puede encontrar una discusión detallada de la interpretación física de la matriz como conjugación de carga . En resumen, está involucrada en la asignación de partículas a sus antipartículas , lo que incluye, entre otras cosas, la inversión de la carga eléctrica . Aunque se define como "el conjugado de carga" del operador de conjugación de carga, no tiene uno sino dos valores propios. Esto permite definir un segundo espinor, el espinor ELKO. Esto se analiza con mayor detalle a continuación. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi ^{c}}$ ${\displaystyle \psi ,}$

Forma compleja de dos componentes

El operador Majorana , se define como ${\displaystyle \,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K}$

dónde

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}}$

es un vector cuyos componentes son la matriz identidad 2×2 para y (menos) las matrices de Pauli para El es un factor de fase arbitrario, que normalmente se toma como uno: El es una matriz 2×2 que se puede interpretar como la forma simpléctica para el grupo simpléctico que es un recubrimiento doble del grupo de Lorentz . Es ${\displaystyle \,I_{2}\,}$ ${\displaystyle \,\mu =0\,}$ ${\displaystyle \,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.}$ ${\displaystyle \,\eta \,}$ ${\displaystyle \,|\eta |=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta =1\,.}$ ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,}$

${\displaystyle \omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,}$

que resulta ser isomorfa a la unidad imaginaria " i " (es decir, y para ) siendo la matriz transpuesta el análogo de la conjugación compleja . ${\displaystyle \omega ^{2}=-I\,}$ ${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,}$ ${\displaystyle \,a,b\in \mathbb {R} }$

Por último, se incluye un breve recordatorio para tomar el conjugado complejo. La ecuación de Majorana para un espinor de dos componentes con valor complejo zurdo es entonces ${\displaystyle \,K\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}\,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0}$

con el conjugado complejo de El subíndice L se utiliza en toda esta sección para denotar un espinor quiral zurdo ; bajo una transformación de paridad , esto se puede llevar a un espinor dextrógiro, y por lo tanto también se tiene una forma dextrógira de la ecuación. Esto se aplica también a la ecuación de cuatro componentes; se presentan más detalles a continuación. ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}(x)\,.}$

Ideas clave

Aquí se resumen algunas de las propiedades de la ecuación de Majorana, su solución y su formulación lagrangiana.

• La ecuación de Majorana es similar a la ecuación de Dirac , en el sentido de que involucra espinores de cuatro componentes, matrices gamma y términos de masa, pero incluye el conjugado de carga  de un espinor . En cambio, la ecuación de Weyl es para espinores de dos componentes sin masa. ${\textstyle \psi _{c}}$  ${\textstyle \psi }$
• Las soluciones de la ecuación de Majorana pueden interpretarse como partículas eléctricamente neutras que son su propia antipartícula. Por convención, el operador de conjugación de carga lleva las partículas a sus antipartículas, y por lo tanto el espinor de Majorana se define convencionalmente como la solución donde Es decir, el espinor de Majorana es "su propia antipartícula". En la medida en que la conjugación de carga lleva una partícula eléctricamente cargada a su antipartícula con carga opuesta, se debe concluir que el espinor de Majorana es eléctricamente neutro. ${\displaystyle \psi =\psi _{c}.}$
• La ecuación de Majorana es covariante de Lorentz y se pueden construir diversos escalares de Lorentz a partir de sus espinores. Esto permite construir varios lagrangianos distintos para los campos de Majorana.
• Cuando el lagrangiano se expresa en términos de espinores quirales de dos componentes, izquierdo y derecho , puede contener tres términos de masa distintos: términos de masa de Majorana izquierdo y derecho, y un término de masa de Dirac. Estos se manifiestan físicamente como dos masas distintas; esta es la idea clave del mecanismo de sube y baja para describir neutrinos de baja masa con un acoplamiento levógiro al modelo estándar, donde el componente dextrógiro corresponde a un neutrino estéril con masas de escala GUT .
• Las simetrías discretas de la conjugación de C , P y T están íntimamente controladas por un factor de fase elegido libremente en el operador de conjugación de carga . Esto se manifiesta como fases complejas distintas en los términos de masa. Esto permite escribir lagrangianos CP-simétricos y CP-violadores .
• Los campos de Majorana son invariantes respecto de la CPT , pero la invariancia es, en cierto sentido, "más libre" que para las partículas cargadas. Esto se debe a que la carga es necesariamente una propiedad invariante respecto de Lorentz y, por lo tanto, está limitada para los campos cargados. Los campos neutros de Majorana no están limitados de esta manera y pueden mezclarse.

Ecuación de Majorana de dos componentes

La ecuación de Majorana puede escribirse tanto en términos de un espinor real de cuatro componentes como de un espinor complejo de dos componentes. Ambos pueden construirse a partir de la ecuación de Weyl , con la adición de un término de masa covariante de Lorentz. ^[7] Esta sección proporciona una construcción y articulación explícitas.

Ecuación de Weyl

La ecuación de Weyl describe la evolución temporal de un espinor de dos componentes de valor complejo y sin masa . Se escribe convencionalmente como ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Escrito explícitamente, es

${\displaystyle I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

El cuatro vectores de Pauli es

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

es decir, un vector cuyos componentes son la matriz identidad 2 × 2 para μ = 0 y las matrices de Pauli para μ = 1, 2, 3. Bajo la transformación de paridad se obtiene una ecuación dual ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}}$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

donde . Estas son dos formas distintas de la ecuación de Weyl; sus soluciones también son distintas. Se puede demostrar que las soluciones tienen helicidad levógira y dextrógira y, por lo tanto, quiralidad . Es convencional etiquetar estas dos formas distintas explícitamente, de la siguiente manera: ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Invariancia de Lorentz

La ecuación de Weyl describe una partícula sin masa; la ecuación de Majorana añade un término de masa. La masa debe introducirse de forma invariante de Lorentz . Esto se logra observando que el grupo lineal especial es isomorfo al grupo simpléctico . Ambos grupos son recubrimientos dobles del grupo de Lorentz. La invariancia de Lorentz del término derivado (de la ecuación de Weyl) se expresa convencionalmente en términos de la acción del grupo sobre los espinores, mientras que la invariancia de Lorentz del término de masa requiere la invocación de la relación definitoria para el grupo simpléctico. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

La doble cobertura del grupo de Lorentz está dada por

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

donde y y es la transpuesta hermítica . Esto se utiliza para relacionar las propiedades de transformación de las diferenciales bajo una transformación de Lorentz con las propiedades de transformación de los espinores. ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

El grupo simpléctico se define como el conjunto de todas las matrices complejas 2×2 que satisfacen ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}}$

dónde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

es una matriz antisimétrica . Se utiliza para definir una forma bilineal simpléctica en Escribiendo un par de dos vectores arbitrarios como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

El producto simpléctico es

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

donde es la transpuesta de Esta forma es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, en que ${\displaystyle u^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle u~.}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle }$

La matriz sesgada lleva las matrices de Pauli a menos su transpuesta:

${\displaystyle \omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}}$

La matriz oblicua puede interpretarse como el producto de una transformación de paridad y una transposición que actúa sobre dos espinores. Sin embargo, como se enfatizará en una sección posterior, también puede interpretarse como uno de los componentes del operador de conjugación de carga , siendo el otro componente la conjugación compleja . Al aplicarlo a la transformación de Lorentz se obtiene ${\displaystyle k=1,2,3.}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Estas dos variantes describen las propiedades de covarianza de los diferenciales que actúan sobre los espinores izquierdo y derecho, respectivamente.

Diferenciales

Bajo la transformación de Lorentz el término diferencial se transforma como ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

siempre que el campo derecho se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

De manera similar, la diferencial zurda se transforma como

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

siempre que el espinor zurdo se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)}$

Prueba

Estas propiedades de transformación no son particularmente "obvias", y por lo tanto merecen una deducción cuidadosa. Comience con la forma

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

para determinar alguna incógnita . La transformada de Lorentz, en coordenadas, es ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Esto conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Para poder utilizar el mapa de Weyl

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Se deben aumentar y disminuir algunos índices. Esto es más fácil de decir que de hacer, ya que invoca la identidad

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}}$

donde es la métrica de Minkowski del espacio plano . La identidad anterior se utiliza a menudo para definir los elementos. Se toma la transpuesta: ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

De esta manera se recupera la forma original, es decir, Realizando las mismas manipulaciones para la ecuación para zurdos, se concluye que ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

con ^[b] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Término masivo

El conjugado complejo del campo de espinor dextrógiro se transforma como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

La relación definitoria para se puede reescribir como A partir de esto, se concluye que el campo complejo-esqueletico se transforma como ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.}$

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Esto es totalmente compatible con la propiedad de covarianza del diferencial. Tomando como factor de fase complejo arbitrario, la combinación lineal ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

se transforma de manera covariante. Si se establece en cero, se obtiene la ecuación compleja de Majorana de dos componentes para el campo de la mano derecha. De manera similar, la ecuación de Majorana quiral izquierda (que incluye un factor de fase arbitrario ) es ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Las versiones quirales izquierda y derecha están relacionadas por una transformación de paridad . Como se muestra a continuación, estas cuadran con el operador de Klein-Gordon solo si El conjugado complejo oblicuo puede reconocerse como la forma conjugada de carga de esto se articula con mayor detalle a continuación. Por lo tanto, la ecuación de Majorana puede leerse como una ecuación que conecta un espinor con su forma conjugada de carga. ${\displaystyle \eta =\zeta .}$ ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~;}$

Operadores de Majorana de izquierda y derecha

Defina un par de operadores, los operadores de Majorana,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}}$

donde es un recordatorio abreviado para tomar el conjugado complejo. Bajo las transformaciones de Lorentz, estas se transforman como ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}}$

mientras que los espinores de Weyl se transforman como

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}}$

Tal como se indicó anteriormente. Por lo tanto, las combinaciones coincidentes de estos son covariantes de Lorentz y se puede tomar

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}}$

como un par de ecuaciones complejas de Majorana de 2 espinores.

Los productos y son ambos covariantes de Lorentz. El producto es explícitamente ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Para verificar esto es necesario tener en cuenta que y que El RHS se reduce al operador de Klein-Gordon siempre que , es decir, Estos dos operadores de Majorana son, por tanto, "raíces cuadradas" del operador de Klein-Gordon. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Ecuación de Majorana de cuatro componentes

La versión real de cuatro componentes de la ecuación de Majorana se puede construir a partir de la ecuación compleja de dos componentes de la siguiente manera. Dado el campo complejo que satisface lo anterior, defina ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle \chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}}$

Utilizando la maquinaria algebraica dada anteriormente, no es difícil demostrar que

${\displaystyle \left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\right)\chi _{\rm {R}}=0}$

Definición de un operador conjugado

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

La ecuación de Majorana de cuatro componentes es entonces

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\left(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0}$

Al escribir esto en detalle, uno tiene

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}}$

Multiplicando por la izquierda por

${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}}$

convierte lo anterior en una matriz en la que se pueden reconocer las matrices gamma en la representación quiral. Esto es

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Eso es,

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Aplicando esto al 4-espinor

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

y recordando que se encuentra que el espinor es un estado propio del término de masa, ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

y así, para este espinor particular, la ecuación de Majorana de cuatro componentes se reduce a la ecuación de Dirac

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right){\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0}$

La matriz oblicua se puede identificar con el operador de conjugación de carga (en la base de Weyl ). Explícitamente, esto es

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Dado un espinor arbitrario de cuatro componentes, su carga conjugada es ${\displaystyle \psi ~,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

con una matriz ordinaria de 4×4, que tiene una forma explícitamente dada en el artículo sobre matrices gamma . En conclusión, la ecuación de Majorana de 4 componentes se puede escribir como ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned}}}$

Conjugación de carga y paridad

El operador de conjugación de carga aparece directamente en la versión de 4 componentes de la ecuación de Majorana. Cuando el campo de espinores es un conjugado de cargas de sí mismo, es decir, cuando la ecuación de Majorana se reduce a la ecuación de Dirac, y cualquier solución puede interpretarse como la descripción de un campo eléctricamente neutro. Sin embargo, el operador de conjugación de carga no tiene uno, sino dos estados propios distintos, uno de los cuales es el espinor ELKO; no resuelve la ecuación de Majorana, sino una versión de signo invertido de la misma. ${\displaystyle \psi ^{c}=\psi ,}$

El operador de conjugación de carga para un espinor de cuatro componentes se define como ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$

En el artículo sobre conjugación de carga se ofrece una discusión general de la interpretación física de este operador en términos de carga eléctrica . Bjorken y Drell ^[11] o Itzykson y Zuber ofrecen discusiones adicionales . ^[c] En términos más abstractos, es el equivalente espinorial de la conjugación compleja del acoplamiento del campo electromagnético. Esto se puede ver de la siguiente manera. Si uno tiene un solo campo escalar real , no puede acoplarse al electromagnetismo; sin embargo, un par de campos escalares reales, dispuestos como un número complejo , sí pueden. Para los campos escalares, la conjugación de carga es lo mismo que la conjugación compleja . Las simetrías discretas de la teoría de gauge se desprenden de la observación "trivial" de que ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle *:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i\phi }}$

es un automorfismo de Para los campos espinoriales, la situación es más confusa. Sin embargo, en términos generales, se puede decir que el campo de Majorana es eléctricamente neutro y que tomar una combinación apropiada de dos campos de Majorana puede interpretarse como un único campo de Dirac cargado eléctricamente. El operador de conjugación de carga dado anteriormente corresponde al automorfismo de ${\displaystyle U(1).}$ ${\displaystyle U(1).}$

En lo anterior, es una matriz 4×4, dada en el artículo sobre las matrices gamma . Su forma explícita depende de la representación. El operador no se puede escribir como una matriz 4×4, ya que está tomando el conjugado complejo de , y la conjugación compleja no se puede lograr con una matriz compleja 4×4. Se puede escribir como una matriz real 8×8, suponiendo que uno también escribe como un espinor de 8 componentes puramente real. Dejando que n represente la conjugación compleja, de modo que uno puede escribir, para espinores de cuatro componentes, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(x+iy)=x-iy,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK}$

No es difícil demostrar que y que de la primera identidad se sigue que tiene dos valores propios, que pueden escribirse como ${\displaystyle {\mathsf {C}}^{2}=1}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}}$

Los vectores propios se encuentran fácilmente en la base de Weyl. De lo anterior se desprende que en esta base se encuentra explícitamente ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Ambos vectores propios son claramente soluciones de la ecuación de Majorana. Sin embargo, sólo el vector propio positivo es una solución de la ecuación de Dirac:

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ^{(+)}}$

El vector propio negativo "no funciona", tiene el signo incorrecto en el término de masa de Dirac. Sin embargo, resuelve la ecuación de Klein-Gordon. El vector propio negativo se denomina espinor ELKO.

Prueba

Que ambos estados propios resuelven la ecuación de Klein-Gordon se desprende de las identidades anteriores para las versiones de dos componentes. Definiendo, como antes,

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\qquad \mathrm {D} _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

Como se mostró anteriormente

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

El espinor de cuatro componentes requiere la introducción de

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\qquad \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

que también obedecen

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}\delta _{\rm {L}}=\delta _{\rm {L}}\delta _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Por lo tanto

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

La representación quiral requiere un factor adicional de : ${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}}$

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\qquad \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

y entonces se concluye que

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}\right)\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Es decir, ambos vectores propios del operador de conjugación de carga resuelven la ecuación de Klein-Gordon. La última identidad también se puede verificar directamente, observando que y que ${\displaystyle {\mathsf {C}}i=-i{\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}~.}$

Paridad

En condiciones de paridad, los espinores levógiros se transforman en espinores dextrógiros. Los dos vectores propios del operador de conjugación de carga, nuevamente en la base de Weyl, son

${\displaystyle \psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Como antes, ambos resuelven la ecuación de Majorana de cuatro componentes, pero solo uno resuelve también la ecuación de Dirac. Esto se puede demostrar construyendo la ecuación de cuatro componentes con paridad dual. Esta toma la forma

${\displaystyle \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

dónde

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

Dado el espinor de dos componentes, defina su conjugado como No es difícil demostrar que y que, por lo tanto, si entonces también y por lo tanto que ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle \delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)}$

o equivalentemente

${\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Esto funciona porque y por lo tanto esto se reduce a la ecuación de Dirac para ${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})}$

${\displaystyle \psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Para concluir y reiterar, la ecuación de Majorana es

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}}$

Tiene cuatro soluciones no equivalentes y linealmente independientes. De éstas, sólo dos son también soluciones de la ecuación de Dirac: a saber, y ${\displaystyle \psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{(-)}~.}$

Soluciones

Estados propios del espín

Un punto de partida conveniente para escribir las soluciones es trabajar en el marco de reposo de los espinores. Escribir el hamiltoniano cuántico con la convención de signos convencional conduce a que la ecuación de Majorana adopte la forma ${\displaystyle H=i\partial _{t}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

En la base quiral (Weyl), se tiene que

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

con el vector de Pauli . La convención de signos aquí es consistente con el artículo sobre matrices gamma . Al introducir el estado propio de conjugación de carga positiva dado anteriormente, se obtiene una ecuación para el espinor de dos componentes. ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(+)}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})}$

y de igual manera

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}}$

Estas dos son, de hecho, la misma ecuación, lo que se puede verificar observando que produce el conjugado complejo de las matrices de Pauli: ${\displaystyle \sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

Las soluciones de onda plana se pueden desarrollar para la energía-momento y se expresan más fácilmente en el marco de reposo. La solución de marco de reposo de espín ascendente es ${\displaystyle \left(k_{0},{\vec {k}}\right)}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

Mientras que la solución de spin-down es

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

Se puede comprobar que se interpretan correctamente si se vuelven a expresar en la base de Dirac, como espinores de Dirac . En este caso, toman la forma

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

Estos son los espinores en el marco de reposo. Pueden verse como una combinación lineal de las soluciones de energía positiva y negativa de la ecuación de Dirac. Estas son las únicas dos soluciones; la ecuación de Majorana tiene solo dos soluciones linealmente independientes, a diferencia de la ecuación de Dirac, que tiene cuatro. La duplicación de los grados de libertad de la ecuación de Dirac puede atribuirse a los espinores de Dirac que transportan carga.

Estados propios del momento

En un marco de momento general, el espinor de Majorana se puede escribir como

Carga eléctrica

La aparición de ambos en la ecuación de Majorana significa que el campo  no puede acoplarse a un campo electromagnético cargado sin violar la conservación de carga , ya que las partículas tienen la carga opuesta a sus propias antipartículas. Para satisfacer esta restricción, deben considerarse eléctricamente neutros. Esto se puede articular con mayor detalle. ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi _{c}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi }$

La ecuación de Dirac se puede escribir en forma puramente real, cuando las matrices gamma se toman en la representación de Majorana. La ecuación de Dirac se puede escribir entonces como ^[d]

${\displaystyle \left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0}$

con ser matrices simétricas puramente reales y ser antisimétricas puramente imaginarias. En este caso, se pueden encontrar soluciones puramente reales a la ecuación; estos son los espinores de Majorana. Bajo la acción de las transformaciones de Lorentz , estos se transforman bajo el grupo de espín (puramente real) Esto contrasta con los espinores de Dirac , que solo son covariantes bajo la acción del grupo de espín complejizado La interpretación es que el grupo de espín complejizado codifica el potencial electromagnético, el grupo de espín real no. ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).}$

Esto también se puede expresar de otra manera: la ecuación de Dirac y los espinores de Dirac contienen una cantidad suficiente de libertad de calibración para codificar naturalmente las interacciones electromagnéticas. Esto se puede ver al notar que el potencial electromagnético se puede agregar de manera muy simple a la ecuación de Dirac sin requerir modificaciones o extensiones adicionales ni a la ecuación ni al espinor. La ubicación de este grado adicional de libertad está señalada por el operador de conjugación de carga, y la imposición de la restricción de Majorana elimina este grado adicional de libertad. Una vez eliminado, no puede haber ningún acoplamiento con el potencial electromagnético, ergo, el espinor de Majorana es necesariamente eléctricamente neutro. Un acoplamiento electromagnético solo se puede obtener agregando nuevamente un factor de fase con valor de número complejo y acoplando este factor de fase al potencial electromagnético. ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$

Lo anterior se puede agudizar aún más examinando la situación en dimensiones espaciales. En este caso, el grupo de espín complejizado tiene una doble cobertura por con el círculo. La implicación es que codifica las transformaciones de Lorentz generalizadas (por supuesto), mientras que el círculo se puede identificar con la acción del grupo de calibración sobre cargas eléctricas. Es decir, la acción del grupo de calibración del grupo de espín complejizado sobre un espinor de Dirac se puede dividir en una parte lorentziana puramente real y una parte electromagnética. Esto se puede elaborar más en variedades de espín no planas (no planas de Minkowski) . En este caso, el operador de Dirac actúa sobre el fibrado de espinores . Descompuesto en términos distintos, incluye la derivada covariante habitual. Se puede ver que el campo surge directamente de la curvatura de la parte complejizada del fibrado de espín, en que las transformaciones de calibración se acoplan a la parte complejizada, y no a la parte del espinor real. Que el campo corresponde al potencial electromagnético se puede ver notando que (por ejemplo) el cuadrado del operador de Dirac es el Laplaciano más la curvatura escalar (de la variedad subyacente en la que se encuentra el campo de espinor) más la intensidad del campo (electromagnético). Para el caso de Majorana, uno solo tiene las transformaciones de Lorentz actuando sobre el espinor de Majorana; la complejización no juega ningún papel. Un tratamiento detallado de estos temas se puede encontrar en Jost ^[12] mientras que el caso está articulado en Bleeker ^[13] . Desafortunadamente, ninguno de los textos articula explícitamente el espinor de Majorana en forma directa. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle d+A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F=dA.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

Cuantos de campo

Los cuantos de la ecuación de Majorana permiten dos clases de partículas, una partícula neutra y su antipartícula neutra . La condición suplementaria que se aplica con frecuencia corresponde al espinor de Majorana. ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$

Partícula de Majorana

Las partículas correspondientes a los espinores de Majorana se conocen como partículas de Majorana , debido a la restricción de autoconjugación mencionada anteriormente. Todos los fermiones incluidos en el Modelo Estándar han sido excluidos como fermiones de Majorana (ya que tienen carga eléctrica distinta de cero, no pueden ser antipartículas de sí mismos) con la excepción del neutrino (que es neutro).

En teoría, el neutrino es una posible excepción a este patrón. De ser así, sería posible la desintegración doble beta sin neutrinos , así como una serie de desintegraciones de mesones y leptones cargados que violan el número de leptones . Actualmente se están realizando varios experimentos para investigar si el neutrino es una partícula de Majorana. ^[14]

Notas

1. Precaución: No todos los autores utilizan las mismas convenciones para la conjugación de cargas, por lo que hay mucho margen para errores sutiles de signo. Este artículo, y el artículo sobre conjugación de cargas , utilizan las convenciones de Itzykson y Zuber ( Teoría cuántica de campos , véase el Capítulo 2 y el Apéndice A). Estas difieren muy ligeramente de la Mecánica cuántica relativista de Bjorken y Drell , por lo que se deben hacer concesiones al comparar las dos.
2. Los resultados presentados aquí son idénticos a los de Aste, op. cit. , ecuaciones 52 y 57, aunque la derivación realizada aquí es completamente diferente. El doble recubrimiento utilizado aquí también es idéntico a las ecuaciones de Aste 48 y a la versión actual (diciembre de 2020) del artículo sobre el grupo de Lorentz .
3. Itzykson y Zuber, op. cit. (Capítulo 2-4)
4. Itzykson y Zuber, (Véase el capítulo 2-1-2, página 49)

Referencias

1. Ettore Majorana, "Teoria Simmetrica Dell' Elettrone E Del Positrone", Nuovo Cimento 14 (1937) págs. 171-184. PDF Versión original italiana
2. Aste, Andreas (2010). "Un camino directo a los campos de Majorana". Symmetry . 2010 (2): 1776–1809. arXiv : 0806.1690 . Código Bibliográfico :2010Symm....2.1776A. doi : 10.3390/sym2041776 .
3. Pal, Palash B. (2011). "Fermiones de Dirac, Majorana y Weyl". Revista estadounidense de física . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Código Bibliográfico :2011AmJPh..79..485P. doi :10.1119/1.3549729. S2CID  118685467.
4. Marsch, Eckart (2012). "Sobre la ecuación de Majorana: relaciones entre sus funciones propias complejas de dos componentes y sus funciones propias reales de cuatro componentes". ISRN Mathematical Physics . 2012 : 1–17. arXiv : 1207.4685 . doi : 10.5402/2012/760239 . Artículo 760239.
5. Marsch, Eckart (2013). "Una nueva ruta a la ecuación de Majorana". Symmetry . 5 (4): 271–286. Bibcode :2013Symm....5..271M. doi : 10.3390/sym5040271 .
6. Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . MacGraw-Hill. §2‑1‑2, página 49.
7. Andreas Aste, (2010) "Un camino directo a los campos de Majorana", Symmetry 2010 (2) 1776-1809; doi:10.3390/sym2041776 ISSN 2073-8994.
8. Mecánica cuántica, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
9. El manual de Cambridge de fórmulas de física, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
10. Introducción a la teoría cuántica de campos, ME Peskin, DV Schroeder, Addison-Wesley, 1995, ISBN 0-201-50397-2 
11. James D. Bjorken, Sidney D. Drell, (1964) "Relativistic Quantum Mechanics", McGraw-Hill (véase el capítulo 5.2, páginas 66-70)
12. Jurgen Jost (2002) "Geometría de Riemann y análisis geométrico (3.ª edición) Springer Universitext. (Véase el capítulo 1.8 para las estructuras de espín y el capítulo 3.4 para el operador de Dirac.)
13. David Bleeker, (1981) "Teoría de calibre y principios variacionales" Addison-Wesley (véase el Capítulo 6 para el campo libre de Dirac y el Capítulo 7 para el campo interactuante).
14. A. Franklin, ¿Existen realmente neutrinos?: Una historia basada en evidencias (Westview Press, 2004), pág. 186

Lectura adicional

• "El legado de Majorana en la física contemporánea", Revista electrónica de física teórica (EJTP), volumen 3, número 10 (abril de 2006), número especial con motivo del centenario de Ettore Majorana (1906-1938?) . ISSN 1729-5254
• Frank Wilczek, (2009) "Majorana regresa", Nature Physics Vol. 5 páginas 614–618.