Número de Mach

Relación entre la velocidad de un objeto que se mueve a través de un fluido y la velocidad local del sonido.

Un F/A-18 Hornet creando un cono de vapor a velocidad transónica justo antes de alcanzar la velocidad del sonido.

El número de Mach ( M o Ma ), a menudo solo Mach , ( / m ɑː k / ; alemán: [max] ) es una cantidad adimensional en dinámica de fluidos que representa la relación entre la velocidad del flujo más allá de un límite y la velocidad local del sonido . ^{[1] [2]} Lleva el nombre del físico y filósofo austriaco Ernst Mach .

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}},}$

dónde:

M es el número de Mach local,

u es la velocidad del flujo local con respecto a los límites (ya sea internos, como un objeto sumergido en el flujo, o externos, como un canal), y

c es la velocidad del sonido en el medio, que en el aire varía con la raíz cuadrada de la temperatura termodinámica .

Por definición, a Mach  1, la velocidad del flujo local u es igual a la velocidad del sonido. A Mach  0,65, u es el 65% de la velocidad del sonido (subsónico) y, a Mach  1,35, u es un 35% más rápido que la velocidad del sonido (supersónico). Los pilotos de vehículos aeroespaciales de gran altitud utilizan el número de Mach de vuelo para expresar la verdadera velocidad del aire de un vehículo , pero el campo de flujo alrededor de un vehículo varía en tres dimensiones, con las correspondientes variaciones en el número de Mach local.

La velocidad local del sonido y, por tanto, el número de Mach, depende de la temperatura del gas circundante. El número de Mach se utiliza principalmente para determinar la aproximación con la que un flujo puede ser tratado como un flujo incompresible . El medio puede ser un gas o un líquido. La frontera puede estar viajando en el medio, o puede estar estacionaria mientras el medio fluye a lo largo de ella, o ambas pueden estar en movimiento, con diferentes velocidades : lo que importa es su velocidad relativa entre sí. El límite puede ser el límite de un objeto sumergido en el medio, o de un canal como una boquilla , un difusor o un túnel de viento que canaliza el medio. Como el número de Mach se define como la relación entre dos velocidades, es una cantidad adimensional. Si M  < 0,2–0,3 y el flujo es casi estacionario e isotérmico , los efectos de la compresibilidad serán pequeños y se pueden utilizar ecuaciones de flujo incompresibles simplificadas. ^{[1] [2]}

Etimología

El número de Mach lleva el nombre del físico y filósofo Ernst Mach ^[3] según una propuesta del ingeniero aeronáutico Jakob Ackeret en 1929. ^[4] La palabra Mach siempre se escribe con mayúscula ya que deriva de un nombre propio, y dado que el número de Mach es una cantidad adimensional más que una unidad de medida , el número viene después de la palabra Mach; el segundo número de Mach es Mach  2 en lugar de 2  Mach (o Machs). Esto recuerda un poco a la marca de unidad de sondeo oceánico de principios de la modernidad (sinónimo de braza ), que también era la primera unidad y puede haber influido en el uso del término Mach. En la década anterior a los vuelos humanos más rápidos que el sonido , los ingenieros aeronáuticos se referían a la velocidad del sonido como el número de Mach , nunca Mach 1 . ^[5]

Descripción general

La velocidad del sonido (azul) depende únicamente de la variación de la temperatura en la altitud (rojo) y se puede calcular a partir de ella, ya que los efectos aislados de densidad y presión sobre la velocidad del sonido se cancelan entre sí. La velocidad del sonido aumenta con la altura en dos regiones de la estratosfera y la termosfera, debido a los efectos del calentamiento en estas regiones.

El número de Mach es una medida de las características de compresibilidad del flujo de fluido : el fluido (aire) se comporta bajo la influencia de la compresibilidad de manera similar para un número de Mach dado, independientemente de otras variables. ^[6] Según el modelo de la Atmósfera Estándar Internacional , aire seco al nivel medio del mar , temperatura estándar de 15 °C (59 °F), la velocidad del sonido es 340,3 metros por segundo (1116,5 pies/s; 761,23 mph; 1225,1 km /h; 661,49 nudos). ^[7] La ​​velocidad del sonido no es una constante; en un gas, aumenta proporcionalmente a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta , y dado que la temperatura atmosférica generalmente disminuye al aumentar la altitud entre el nivel del mar y los 11.000 metros (36.089 pies), la velocidad del sonido también disminuye. Por ejemplo, el modelo de atmósfera estándar reduce la temperatura a -56,5 °C (-69,7 °F) a 11.000 metros (36.089 pies) de altitud, con una velocidad del sonido correspondiente (Mach  1) de 295,0 metros por segundo (967,8 pies/s; 659,9 mph; 1.062 km/h; 573,4 nudos), 86,7% del valor del nivel del mar.

Aparición en la ecuación de continuidad.

Como medida de la compresibilidad del flujo, el número de Mach se puede derivar de una escala adecuada de la ecuación de continuidad . ^[8] La ecuación de continuidad total para un flujo de fluido general es:

$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {u}})=0\equiv -{1 \over {\rho }}{D\rho \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$

derivada del materialdensidadvelocidad del flujoisentrópicos ${\displaystyle D/Dt}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle dp=c^{2}d\rho }$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle -{1 \over {\rho c^{2}}}{Dp \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$

adimensionalizar

$${\displaystyle {\bf {x}}^{*}={\bf {x}}/L,\quad t^{*}=Ut/L,\quad {\bf {u}}^{*}={\bf {u}}/U,\quad p^{*}=(p-p_{\infty })/\rho _{0}U^{2},\quad \rho ^{*}=\rho /\rho _{0}}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

$${\displaystyle -{U^{2} \over {c^{2}}}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}\implies -{\text{M}}^{2}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}}$$

un flujo incompresible ${\displaystyle {\text{M}}=U/c}$ ${\displaystyle {\text{M}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {u}}=0}$

Clasificación de los regímenes de Mach.

Mientras que los términos subsónico y supersónico , en el sentido más puro, se refieren a velocidades por debajo y por encima de la velocidad local del sonido respectivamente, los aerodinámicos suelen utilizar los mismos términos para hablar de rangos particulares de valores de Mach. Esto ocurre debido a la presencia de un régimen transónico alrededor del vuelo (corriente libre) M = 1 donde las aproximaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes utilizadas para el diseño subsónico ya no se aplican; la explicación más simple es que el flujo alrededor de una célula localmente comienza a exceder M = 1 incluso aunque el número de Mach de la corriente libre esté por debajo de este valor.

Mientras tanto, el régimen supersónico se utiliza normalmente para hablar del conjunto de números de Mach para los que se puede utilizar la teoría linealizada, donde, por ejemplo, el flujo (de aire ) no reacciona químicamente y donde la transferencia de calor entre el aire y el vehículo puede despreciarse razonablemente. en los cálculos.

En la siguiente tabla se hace referencia a los regímenes o rangos de valores de Mach , y no a los significados puros de las palabras subsónico y supersónico .

Generalmente, la NASA define hipersónico alto como cualquier número de Mach de 10 a 25, y velocidades de reentrada como cualquier valor superior a Mach 25. Las aeronaves que operan en este régimen incluyen el transbordador espacial y varios aviones espaciales en desarrollo.

Flujo de alta velocidad alrededor de objetos.

El vuelo se puede clasificar aproximadamente en seis categorías:

A modo de comparación: la velocidad requerida para la órbita terrestre baja es de aproximadamente 7,5 km/s = Mach 25,4 en el aire a gran altura.

A velocidades transónicas, el campo de flujo alrededor del objeto incluye partes subsónicas y supersónicas. El período transónico comienza cuando aparecen las primeras zonas de flujo M > 1 alrededor del objeto. En el caso de un perfil aerodinámico (como el ala de un avión), esto suele ocurrir por encima del ala. El flujo supersónico puede desacelerarse hasta volverse subsónico sólo en un choque normal; Esto suele ocurrir antes del borde de salida. (Figura 1a)

A medida que aumenta la velocidad, la zona de flujo M > 1 aumenta hacia los bordes de ataque y de salida. Cuando se alcanza y pasa M = 1, el choque normal alcanza el borde de salida y se convierte en un choque oblicuo débil: el flujo se desacelera sobre el choque, pero sigue siendo supersónico. Se crea un choque normal delante del objeto y la única zona subsónica en el campo de flujo es una pequeña área alrededor del borde de ataque del objeto. (Figura 1b)

Fig. 1. Número de Mach en flujo de aire transónico alrededor de un perfil aerodinámico; M < 1 (a) y M > 1 (b).

Cuando un avión supera Mach 1 (es decir, la barrera del sonido ), se crea una gran diferencia de presión justo delante del avión . Esta abrupta diferencia de presión, llamada onda de choque , se propaga hacia atrás y hacia afuera del avión en forma de cono (el llamado cono de Mach ). Es esta onda de choque la que provoca el estallido sónico que se escucha cuando un avión en rápido movimiento pasa por encima. Una persona dentro del avión no oirá esto. Cuanto mayor es la velocidad, más estrecho es el cono; con un poco más de M = 1, apenas es un cono, sino más bien un plano ligeramente cóncavo.

A una velocidad totalmente supersónica, la onda de choque comienza a tomar forma de cono y el flujo es completamente supersónico o (en el caso de un objeto contundente), solo queda un área de flujo subsónico muy pequeña entre la punta del objeto y la onda de choque que crea delante. de sí mismo. (En el caso de un objeto punzante, no hay aire entre la nariz y la onda de choque: la onda de choque comienza en la nariz).

A medida que aumenta el número de Mach, también aumenta la fuerza de la onda de choque y el cono de Mach se vuelve cada vez más estrecho. A medida que el flujo de fluido cruza la onda de choque, su velocidad se reduce y la temperatura, la presión y la densidad aumentan. Cuanto más fuerte sea el shock, mayores serán los cambios. Con números de Mach suficientemente altos, la temperatura aumenta tanto durante el choque que comienza la ionización y disociación de las moléculas de gas detrás de la onda de choque. Estos flujos se denominan hipersónicos.

Está claro que cualquier objeto que viaje a velocidades hipersónicas también estará expuesto a las mismas temperaturas extremas que el gas detrás de la onda de choque de la nariz y, por lo tanto, la elección de materiales resistentes al calor se vuelve importante.

Flujo de alta velocidad en un canal.

Cuando un flujo en un canal se vuelve supersónico, se produce un cambio significativo. La conservación del caudal másico lleva a esperar que la contracción del canal de flujo aumentaría la velocidad del flujo (es decir, hacer el canal más estrecho resulta en un flujo de aire más rápido) y a velocidades subsónicas esto es cierto. Sin embargo, una vez que el flujo se vuelve supersónico, la relación entre el área del flujo y la velocidad se invierte: la expansión del canal en realidad aumenta la velocidad.

El resultado obvio es que para acelerar un flujo a velocidades supersónicas, se necesita una boquilla convergente-divergente, donde la sección convergente acelera el flujo a velocidades sónicas y la sección divergente continúa la aceleración. Estas boquillas se llaman boquillas de Laval y en casos extremos pueden alcanzar velocidades hipersónicas (Mach 13 (15.900 km/h; 9.900 mph) a 20 °C).

Un Machmeter de avión o un sistema electrónico de información de vuelo ( EFIS ) puede mostrar el número de Mach derivado de la presión de estancamiento ( tubo de Pitot ) y la presión estática.

Cálculo

Cuando se conoce la velocidad del sonido, el número de Mach al que vuela un avión se puede calcular mediante

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}}}$

dónde:

M es el número de Mach

u es la velocidad del avión en movimiento y

c es la velocidad del sonido a una altitud dada (más propiamente temperatura)

y la velocidad del sonido varía con la temperatura termodinámica como:

${\displaystyle c={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}},}$

dónde:

${\displaystyle \gamma \,}$es la relación entre el calor específico de un gas a presión constante y el calor a volumen constante (1,4 para el aire)

${\displaystyle R_{*}}$es la constante específica de los gases del aire.

${\displaystyle T,}$es la temperatura del aire estático.

Si no se conoce la velocidad del sonido, el número de Mach se puede determinar midiendo las distintas presiones del aire (estática y dinámica) y utilizando la siguiente fórmula que se deriva de la ecuación de Bernoulli para números de Mach inferiores a 1,0. Suponiendo que el aire es un gas ideal , la fórmula para calcular el número de Mach en un flujo compresible subsónico es: ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,}$

dónde:

q _c es la presión de impacto (presión dinámica) y

p es la presión estática

${\displaystyle \gamma \,}$es la relación entre el calor específico de un gas a presión constante y el calor a volumen constante (1,4 para el aire)

La fórmula para calcular el número de Mach en un flujo supersónico compresible se deriva de la ecuación de Pitot supersónica de Rayleigh :

${\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}}$

Calcular el número de Mach a partir de la presión del tubo de Pitot

El número de Mach es función de la temperatura y la velocidad real del aire. Sin embargo, los instrumentos de vuelo de las aeronaves funcionan utilizando un diferencial de presión para calcular el número de Mach, no la temperatura.

Suponiendo que el aire es un gas ideal , la fórmula para calcular el número de Mach en un flujo compresible subsónico se encuentra a partir de la ecuación de Bernoulli para M < 1 (arriba): ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,}$

La fórmula para calcular el número de Mach en un flujo compresible supersónico se puede encontrar a partir de la ecuación de Pitot supersónica de Rayleigh (arriba) usando parámetros para el aire:

${\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}$

dónde:

q _c es la presión dinámica medida detrás de un choque normal.

Como puede verse, M aparece en ambos lados de la ecuación y, para fines prácticos, se debe utilizar un algoritmo de búsqueda de raíces para una solución numérica (la ecuación es una ecuación séptica en M ² y, aunque algunas de ellas pueden resolverse explícitamente , el teorema de Abel-Ruffini garantiza que no existe una forma general para las raíces de estos polinomios). Primero se determina si M es realmente mayor que 1,0 calculando M a partir de la ecuación subsónica. Si M es mayor que 1,0 en ese punto, entonces el valor de M de la ecuación subsónica se utiliza como condición inicial para la iteración de punto fijo de la ecuación supersónica, que normalmente converge muy rápidamente. ^[9] Alternativamente, también se puede utilizar el método de Newton .

Ver también

• Número de Mach crítico  : número de Mach más bajo al que el flujo de aire sobre algún punto de la aeronave alcanza la velocidad del sonido.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Machmetro  – Instrumento de vuelo
• Ramjet  : motor a reacción atmosférico supersónico
• Scramjet  : motor a reacción donde la combustión se produce en un flujo de aire supersónico
• Velocidad del sonido  : velocidad de la onda sonora a través de un medio elástico.
• Velocidad aerodinámica real  : velocidad de un avión en relación con la masa de aire a través de la cual vuela.
• Órdenes de magnitud (velocidad)

Notas

1. Young, Donald F.; Munson, Bruce R.; Okiishi, Theodore H .; Huebsch, Wade W. (21 de diciembre de 2010). Una breve introducción a la mecánica de fluidos (5ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 95.ISBN _ 978-0-470-59679-1. LCCN  2010038482. OCLC  667210577. OL  24479108M.
2. Graebel, William P. (19 de enero de 2001). Ingeniería de mecánica de fluidos (1ª ed.). Prensa CRC . pag. 16.ISBN _ 978-1-56032-733-2. OCLC  1034989004. OL  9794889M.
3. "Ernst Mach". Enciclopedia Británica . 2016 . Consultado el 6 de enero de 2016 .
4. Jakob Ackeret: Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (octubre de 1929), págs. 179-183. Véase también: N. Rott: Jakob Ackert y la historia del número de Mach. Revisión anual de mecánica de fluidos 17 (1985), págs.
5. Bodie, Warren M., El Lockheed P-38 Lightning , Publicaciones Widewing ISBN 0-9629359-0-5 . 
6. Salón de Nancy (ed.). "Número de Mach". NASA .
7. Clancy, LJ (1975), Aerodinámica, Tabla 1, Pitman Publishing London, ISBN 0-273-01120-0 
8. Kundu, PJ; Cohen, IM; Dowling, DR (2012). Mecánica de fluidos (5ª ed.). Prensa académica. págs. 148-149. ISBN 978-0-12-382100-3.
9. Olson, Wayne M. (2002). "AFFTC-TIH-99-02, Pruebas de vuelo de rendimiento de aeronaves ". (PDF). Centro de pruebas de vuelo de la Fuerza Aérea, Edwards AFB, CA, Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Archivado el 4 de septiembre de 2011 en Wayback Machine .

enlaces externos

• Caja de herramientas de dinámica de gases Calcule el número de Mach y los parámetros de ondas de choque normales para mezclas de gases perfectos e imperfectos.
• Página de la NASA sobre el número de Mach Calculadora interactiva para el número de Mach.
• Calculadora de atmósfera estándar NewByte y convertidor de velocidad