Mādhava de Sangamagrāma ( Mādhavan ) [5] ( c. 1340 – c. 1425 ) fue un matemático y astrónomo indio considerado el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala en la Baja Edad Media . Madhava realizó contribuciones pioneras al estudio de las series infinitas , el cálculo , la trigonometría , la geometría y el álgebra . Fue el primero en utilizar aproximaciones de series infinitas para una gama de funciones trigonométricas, lo que se ha denominado el "paso decisivo hacia adelante desde los procedimientos finitos de las matemáticas antiguas para tratar su paso límite al infinito ". [1]
Se sabe poco con certeza sobre la vida de Mādhava. Sin embargo, a partir de referencias dispersas a Mādhava encontradas en diversos manuscritos, los historiadores de la escuela de Kerala han reunido información sobre el matemático. En un manuscrito preservado en el Instituto Oriental, Baroda, se hace referencia a Madhava como Mādhavan vēṇvārōhādīnām karttā ... Mādhavan Ilaññippaḷḷi Emprān . [5] Se ha observado que el epíteto 'Emprān' se refiere a la comunidad Emprāntiri , a la que Madhava podría haber pertenecido. [6]
El término "Ilaññippaḷḷi" ha sido identificado como una referencia a la residencia de Mādhava. Esto es corroborado por el propio Mādhava. En su breve obra sobre las posiciones de la luna titulada Veṇvāroha , Mādhava dice que nació en una casa llamada bakuḷādhiṣṭhita... vihāra . [7] Esto es claramente sánscrito para Ilaññippaḷḷi . Ilaññi es el nombre malayalam del árbol de hoja perenne Mimusops elengi y el nombre sánscrito para el mismo es Bakuḷa . Palli es un término para aldea. El nombre de la casa en sánscrito bakuḷādhiṣṭhita... El vihāra también se ha interpretado como una referencia al nombre de la casa malayalam Iraññi ninna ppaḷḷi y algunos historiadores han tratado de identificarlo con una de las dos casas actualmente existentes con los nombres Iriññanavaḷḷi e Iriññārapaḷḷi , ambas ubicadas cerca de la ciudad de Irinjalakuda en el centro de Kerala. [7] Esta identificación es inverosímil porque ambos nombres no tienen similitud fonética ni equivalencia semántica con la palabra "Ilaññippaḷḷi". [6]
La mayoría de los escritores de obras astronómicas y matemáticas que vivieron después del período de Madhava se han referido a Madhava como "Sangamagrama Madhava" y, como tal, es importante que se aclare el verdadero significado de la palabra "Sangamagrama". La opinión general entre muchos eruditos es que Sangamagrama es la ciudad de Irinjalakuda, a unos 70 kilómetros al sur del río Nila y a unos 70 kilómetros al sur de Cochin . [6] Parece que no hay mucho fundamento concreto para esta creencia, excepto quizás el hecho de que la deidad que preside un templo medieval temprano en la ciudad, el Templo Koodalmanikyam , es adorado como Sangameswara, que significa el Señor de Samgama, por lo que Samgamagrama puede interpretarse como el pueblo de Samgameswara. Pero hay varios lugares en Karnataka con samgama o su equivalente kūḍala en sus nombres y con un templo dedicado a Samgamḗsvara, el señor de la confluencia. ( Kudalasangama en el distrito de Bagalkot es uno de esos lugares con un templo célebre dedicado al Señor de Samgama). [6]
Hay un pequeño pueblo en las orillas del sur del río Nila, a unos 10 kilómetros río arriba de Tirunavaya , llamado Kūḍallūr. La traducción literal exacta al sánscrito de este nombre de lugar es Samgamagram: kūṭal en malabar significa una confluencia (que en sánscrito es samgama ) y ūr significa un pueblo (que en sánscrito es grama ). Además, el lugar está en la confluencia del río Nila y su afluente más importante, es decir, el río Kunti. (No hay confluencia de ríos cerca de Irinjalakuada). Por cierto, todavía existe una familia Nambudiri (brahmán malayo) llamada Kūtallūr Mana a unos pocos kilómetros de la aldea de Kudallur. La familia tiene sus orígenes en la propia aldea de Kudallur. Durante muchas generaciones, esta familia albergó un gran Gurukulam especializado en Vedanga . [6] El hecho de que el único manuscrito disponible de Sphuṭacandrāpti , un libro escrito por Madhava, se haya obtenido de la colección de manuscritos de Kūtallūr Mana podría reforzar la conjetura de que Madhava podría haber tenido alguna asociación con Kūtallūr Mana . [8] Por lo tanto, la posibilidad más plausible es que los antepasados de Madhava emigraran de la tierra de Tulu o sus alrededores para establecerse en la aldea de Kudallur, que está situada en las orillas del sur del río Nila, no lejos de Tirunnavaya, una o dos generaciones antes de su nacimiento y vivieran en una casa conocida como Ilaññippaḷḷi, cuya identidad actual se desconoce. [6]
Tampoco existen evidencias definitivas para señalar el período durante el cual Madhava floreció. En su Venvaroha, Madhava da una fecha en 1400 d.C. Se sabe que el alumno de Madhava, Parameshvara Nambudiri , el único alumno directo conocido de Madhava, completó su obra seminal Drigganita en 1430 y la fecha de Paramesvara se ha determinado como c. 1360 - 1455. A partir de tales evidencias circunstanciales, los historiadores han asignado la fecha c. 1340 - c. 1425 a Madhava.
Aunque hay alguna evidencia de trabajo matemático en Kerala anterior a Madhava ( por ejemplo , Sadratnamala [ ¿cuál? ] c. 1300, un conjunto de resultados fragmentarios [9] ), está claro a partir de las citas que Madhava proporcionó el impulso creativo para el desarrollo de una rica tradición matemática en Kerala medieval. Sin embargo, a excepción de un par, la mayoría de los trabajos originales de Madhava se han perdido. Se hace referencia a él en el trabajo de matemáticos posteriores de Kerala, particularmente en Tantrasangraha de Nilakantha Somayaji (c. 1500), como la fuente de varias expansiones de series infinitas, incluyendo sin θ y arctan θ . El texto del siglo XVI Mahajyānayana prakāra (Método de cálculo de grandes senos) cita a Madhava como la fuente de varias derivaciones de series para π . En Yuktibhāṣā (c. 1530) de Jyeṣṭhadeva , [10] escrita en malabar , estas series se presentan con pruebas en términos de las expansiones de la serie de Taylor para polinomios como 1/(1+ x 2 ), con x = tan θ , etc.
Por lo tanto, lo que es explícitamente obra de Madhava es una fuente de cierto debate. El Yukti-dipika (también llamado Tantrasangraha-vyakhya ), posiblemente compuesto por Sankara Variar , un estudiante de Jyeṣṭhadeva, presenta varias versiones de las expansiones de series para sen θ , cos θ y arctan θ , así como algunos productos con radio y longitud de arco, la mayoría de las versiones de las cuales aparecen en Yuktibhāṣā. Para aquellos que no lo hacen, Rajagopal y Rangachari han argumentado, citando extensamente del sánscrito original, [1] que dado que Nilakantha ha atribuido algunas de estas a Madhava, algunas de las otras formas también podrían ser obra de Madhava.
Otros han especulado que el texto temprano Karanapaddhati (c. 1375-1475), o el Mahajyānayana prakāra, fue escrito por Madhava, pero esto es poco probable. [3]
Karanapaddhati , junto con el texto matemático keralita aún más temprano Sadratnamala , así como el Tantrasangraha y Yuktibhāṣā , fueron considerados en un artículo de 1834 de CM Whish , que fue el primero en llamar la atención sobre su prioridad sobre Newton en el descubrimiento de la Fluxión (el nombre de Newton para los diferenciales). [9] A mediados del siglo XX, el erudito ruso Jushkevich revisó el legado de Madhava, [11] y Sarma proporcionó una mirada integral a la escuela de Kerala en 1972. [12]
Hay varios astrónomos conocidos que precedieron a Madhava, incluyendo Kǖṭalur Kizhār (siglo II), [13] Vararuci (siglo IV) y Śaṅkaranārāyaṇa (866 d. C.). Es posible que otras figuras desconocidas lo precedieran. Sin embargo, tenemos un registro más claro de la tradición después de Madhava. Parameshvara fue un discípulo directo. Según un manuscrito en hoja de palma de un comentario malayo sobre el Surya Siddhanta , el hijo de Parameswara, Damodara (c. 1400-1500) tuvo a Nilakantha Somayaji como uno de sus discípulos. Jyeshtadeva fue discípulo de Nilakantha. Achyutha Pisharadi de Trikkantiyur es mencionado como discípulo de Jyeṣṭhadeva, y el gramático Melpathur Narayana Bhattathiri como su discípulo. [10]
Si consideramos las matemáticas como una progresión desde los procesos finitos del álgebra hasta las consideraciones de lo infinito, entonces los primeros pasos hacia esta transición suelen venir con expansiones de series infinitas. Es esta transición a las series infinitas la que se atribuye a Madhava. En Europa, la primera de estas series fue desarrollada por James Gregory en 1667. El trabajo de Madhava es notable por las series, pero lo que es verdaderamente notable es su estimación de un término de error (o término de corrección). [14] Esto implica que comprendía muy bien la naturaleza límite de las series infinitas. Por lo tanto, Madhava puede haber inventado las ideas subyacentes a las expansiones de funciones en series infinitas , series de potencias , series trigonométricas y aproximaciones racionales de series infinitas. [15]
Sin embargo, como se ha dicho antes, es difícil determinar cuáles son precisamente los resultados de Madhava y cuáles los de sus sucesores. A continuación se presenta un resumen de los resultados que han sido atribuidos a Madhava por varios eruditos.
Entre sus muchas contribuciones, descubrió series infinitas para las funciones trigonométricas seno , coseno , arcotangente y muchos métodos para calcular la circunferencia de un círculo . Una de las series de Madhava se conoce por el texto Yuktibhāṣā , que contiene la derivación y prueba de la serie de potencias para la tangente inversa , descubierta por Madhava. [16] En el texto, Jyeṣṭhadeva describe la serie de la siguiente manera:
El primer término es el producto del seno y el radio del arco deseados dividido por el coseno del arco. Los términos siguientes se obtienen mediante un proceso de iteración en el que el primer término se multiplica repetidamente por el cuadrado del seno y se divide por el cuadrado del coseno. A continuación, todos los términos se dividen por los números impares 1, 3, 5, ... El arco se obtiene sumando y restando respectivamente los términos de rango impar y los de rango par. Se establece que el seno del arco o el de su complemento, el que sea menor, debe tomarse aquí como el seno dado. De lo contrario, los términos obtenidos mediante esta iteración anterior no tenderán a la magnitud que se desvanece. [17]
Esto produce:
o equivalentemente:
Esta serie es la serie de Gregorio (nombrada en honor a James Gregory , quien la redescubrió tres siglos después de Madhava). Incluso si consideramos esta serie en particular como obra de Jyeṣṭhadeva , sería anterior a Gregorio por un siglo, y ciertamente otras series infinitas de naturaleza similar habían sido elaboradas por Madhava. Hoy en día, se la conoce como la serie Madhava-Gregory-Leibniz . [17] [18]
Madhava compuso una tabla precisa de senos. Los valores de Madhava son precisos hasta el séptimo decimal. Marcando un cuarto de círculo a veinticuatro intervalos iguales, dio las longitudes de las semicuerdas (senos) correspondientes a cada uno de ellos. Se cree que pudo haber calculado estos valores basándose en las expansiones en serie: [4]
El trabajo de Madhava sobre el valor de la constante matemática Pi se cita en el Mahajyānayana prakāra ("Métodos para los grandes senos"). [ cita requerida ] Si bien algunos eruditos como Sarma [10] creen que este libro puede haber sido compuesto por el propio Madhava, es más probable que sea el trabajo de un sucesor del siglo XVI. [4] Este texto atribuye la mayoría de las expansiones a Madhava y da la siguiente expansión de serie infinita de π , ahora conocida como la serie Madhava-Leibniz : [19] [20]
que obtuvo a partir de la expansión en serie de potencias de la función arcotangente. Sin embargo, lo más impresionante es que también proporcionó un término de corrección R n para el error después de calcular la suma hasta n términos, [4] a saber:
donde la tercera corrección conduce a cálculos altamente precisos de π .
Se ha especulado durante mucho tiempo sobre cómo Madhava encontró estos términos de corrección. [21] Son los tres primeros convergentes de una fracción continua finita, que, cuando se combinan con la serie original de Madhava evaluada hasta n términos, produce alrededor de 3 n /2 dígitos correctos:
El valor absoluto del término de corrección en el orden inmediatamente superior es
También dio una serie que converge más rápidamente al transformar la serie infinita original de π , obteniendo la serie infinita
Al utilizar los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π , obtiene un valor correcto hasta 11 decimales (3,14159265359). [22] El valor de 3,1415926535898, correcto hasta 13 decimales, a veces se atribuye a Madhava, [23] pero puede deberse a uno de sus seguidores. Estas fueron las aproximaciones más precisas de π dadas desde el siglo V (ver Historia de las aproximaciones numéricas de π ).
El texto Sadratnamala parece dar el valor asombrosamente preciso de π = 3,14159265358979324 (correcto hasta 17 decimales). Basándose en esto, R. Gupta ha sugerido que este texto también fue compuesto por Madhava. [3] [22]
Madhava también llevó a cabo investigaciones sobre otras series de longitudes de arco y las aproximaciones asociadas a fracciones racionales de π . [3]
Madhava desarrolló la expansión de series de potencias para algunas funciones trigonométricas que fueron desarrolladas posteriormente por sus sucesores en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . [24] (Ciertas ideas de cálculo eran conocidas por los matemáticos anteriores ). Madhava también amplió algunos resultados encontrados en trabajos anteriores, incluidos los de Bhāskara II . [24] Sin embargo, no combinaron muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, no mostraron la conexión entre las dos ni convirtieron el cálculo en la poderosa herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy. [25]
K. V. Sarma ha identificado a Madhava como el autor de las siguientes obras: [26] [27]
La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fue fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala, sur de la India, e incluía entre sus miembros a Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar. Floreció entre los siglos XIV y XVI. Dieron tres resultados importantes, la expansión en serie de tres funciones trigonométricas de seno, coseno y arctante y la prueba de sus resultados se dio más tarde en el texto Yuktibhasa . [9] [24] [25]
El grupo también realizó muchos otros trabajos en astronomía; de hecho, se desarrollaron muchas más páginas para cálculos astronómicos que para discutir resultados relacionados con el análisis. [10]
La escuela de Kerala también contribuyó mucho a la lingüística (la relación entre el lenguaje y las matemáticas es una antigua tradición india, véase Kātyāyana ). Las tradiciones ayurvédicas y poéticas de Kerala también se remontan a esta escuela. El famoso poema Narayaniyam fue compuesto por Narayana Bhattathiri .
Madhava ha sido llamado "el mayor matemático-astrónomo de la India medieval", [3] algunos de sus descubrimientos en este campo muestran que poseía una intuición extraordinaria". [29] O'Connor y Robertson afirman que una evaluación justa de Madhava es que dio el paso decisivo hacia el análisis clásico moderno. [4]
La escuela de Kerala era muy conocida en los siglos XV y XVI, en el período del primer contacto con los navegantes europeos en la costa de Malabar . En ese momento, el puerto de Muziris , cerca de Sangamagrama , era un importante centro de comercio marítimo, y varios misioneros y comerciantes jesuitas estaban activos en esta región. Dada la fama de la escuela de Kerala y el interés mostrado por algunos de los grupos jesuitas durante este período en la erudición local, algunos eruditos, incluido G. Joseph de la Universidad de Manchester, han sugerido [30] que los escritos de la escuela de Kerala también pueden haber sido transmitidos a Europa en esta época, que todavía era aproximadamente un siglo antes de Newton. [31] Sin embargo, no hay evidencia directa a través de manuscritos relevantes de que tal transmisión realmente tuvo lugar. [31] Según David Bressoud , "no hay evidencia de que el trabajo indio de series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX". [32]
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