Relajación (física)

Retorno de un sistema perturbado al equilibrio

En las ciencias físicas, la relajación suele significar el retorno de un sistema perturbado al equilibrio . Cada proceso de relajación se puede categorizar por un tiempo de relajación τ . La descripción teórica más simple de la relajación en función del tiempo t es una ley exponencial exp(−t / τ ) ( decaimiento exponencial ).

En sistemas lineales simples

Mecánica: Oscilador no forzado amortiguado

Sea la ecuación diferencial homogénea :

${\displaystyle m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\gamma {\frac {dy}{dt}}+ky=0}$

Modelo de oscilaciones no forzadas amortiguadas de un peso sobre un resorte.

El desplazamiento será entonces de la forma . La constante T ( ) se llama tiempo de relajación del sistema y la constante μ es la cuasifrecuencia. ${\displaystyle y(t)=Ae^{-t/T}\cos(\mu t-\delta )}$ ${\displaystyle =2m/\gamma }$

Electrónica: circuito RC

En un circuito RC que contiene un condensador cargado y una resistencia, el voltaje decae exponencialmente:

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\ ,}$

La constante se llama tiempo de relajación o constante de tiempo RC del circuito. Un circuito oscilador no lineal que genera una forma de onda repetida mediante la descarga repetitiva de un condensador a través de una resistencia se llama oscilador de relajación . ${\displaystyle \tau =RC\ }$

En física de la materia condensada

En física de la materia condensada , la relajación suele estudiarse como una respuesta lineal ante una pequeña perturbación externa. Dado que los procesos microscópicos subyacentes están activos incluso en ausencia de perturbaciones externas, también se puede estudiar la "relajación en equilibrio" en lugar de la habitual "relajación en equilibrio" (ver teorema de fluctuación-disipación ).

Relajación del estrés

En mecánica continua , la relajación de tensiones es la desaparición gradual de las tensiones de un medio viscoelástico después de que éste ha sido deformado.

Tiempo de relajación dieléctrica

En materiales dieléctricos , la polarización dieléctrica P depende del campo eléctrico E. Si E cambia, P ( t ) reacciona: la polarización se relaja hacia un nuevo equilibrio, es decir, las cargas superficiales se igualan. Es importante en espectroscopia dieléctrica . Los tiempos de relajación muy prolongados son responsables de la absorción dieléctrica .

El tiempo de relajación dieléctrica está estrechamente relacionado con la conductividad eléctrica . En un semiconductor, es una medida de cuánto tiempo tarda en neutralizarse mediante el proceso de conducción. Este tiempo de relajación es pequeño en metales y puede ser grande en semiconductores y aislantes .

Líquidos y sólidos amorfos.

Un sólido amorfo , como la indometacina amorfa , muestra una dependencia de la temperatura del movimiento molecular, que puede cuantificarse como el tiempo de relajación promedio para que el sólido en un líquido o vidrio metaestable sobreenfriado se acerque al movimiento molecular característico de un cristal . La calorimetría diferencial de barrido se puede utilizar para cuantificar el cambio de entalpía debido a la relajación estructural molecular.

El término "relajación estructural" se introdujo en la literatura científica en 1947/48 sin ninguna explicación, aplicado a la RMN y con el mismo significado que "relajación térmica". ^{[1] [2] [3]}

Relajación de giro en RMN

En la resonancia magnética nuclear (RMN), las propiedades que mide son varias relajaciones.

Métodos de relajación química.

En cinética química , los métodos de relajación se utilizan para medir velocidades de reacción muy rápidas . Un sistema inicialmente en equilibrio se ve perturbado por un cambio rápido en un parámetro como la temperatura (más comúnmente), la presión, el campo eléctrico o el pH del disolvente. A continuación se observa el retorno al equilibrio, normalmente por medios espectroscópicos, y se mide el tiempo de relajación. En combinación con la constante de equilibrio químico del sistema, esto permite la determinación de las constantes de velocidad para las reacciones directa e inversa. ^[4]

Reacción reversible monomolecular de primer orden.

Una reacción monomolecular reversible de primer orden que está cerca del equilibrio se puede visualizar mediante la siguiente estructura simbólica:

$${\displaystyle {\ce {A}}~{\overset {k}{\rightarrow }}~{\ce {B}}~{\overset {k'}{\rightarrow }}~{\ce {A}}}$$

$${\displaystyle {\ce {A <=> B}}}$$

En otras palabras, el reactivo A y el producto B se están formando entre sí según las constantes de velocidad de reacción k y k'.

Para resolver la concentración de A, reconozca que la reacción directa ( ) hace que la concentración de A disminuya con el tiempo, mientras que la reacción inversa ( ) hace que la concentración de A aumente con el tiempo. ${\displaystyle {\ce {A ->[{k}] B}}}$ ${\displaystyle {\ce {B ->[{k'}] A}}}$

Por lo tanto , donde los corchetes alrededor de A y B indican concentraciones. ${\displaystyle {d{\ce {[A]}} \over dt}=-k{\ce {[A]}}+k'{\ce {[B]}}}$

Si decimos que en , y aplicando la ley de conservación de la masa, podemos decir que en cualquier momento, la suma de las concentraciones de A y B debe ser igual a la concentración de , suponiendo el volumen en el que se disuelven A y B. no cambia: ${\displaystyle t=0,{\ce {[A]}}(t)={\ce {[A]}}_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}}$

$${\displaystyle {\ce {[A]}}+{\ce {[B]}}={\ce {[A]}}_{0}\Rightarrow {\ce {[B]}}={\ce {[A]}}_{0}-{\ce {[A]}}}$$

Sustituyendo este valor por [B] en términos de [A] ₀ y [A]( t ) se obtiene

$${\displaystyle {d{\ce {[A]}} \over dt}=-k{\ce {[A]}}+k'{\ce {[B]}}=-k{\ce {[A]}}+k'({\ce {[A]}}_{0}-{\ce {[A]}})=-(k+k'){\ce {[A]}}+k'{\ce {[A]}}_{0},}$$

$${\displaystyle {\frac {d{\ce {[A]}}}{-(k+k'){\ce {[A]}}+k'{\ce {[A]}}_{0}}}=dt}$$

Esta ecuación se puede resolver mediante sustitución para obtener

$${\displaystyle {\ce {[A]}}={k'-ke^{-(k+k')t} \over k+k'}{\ce {[A]}}_{0}}$$

En ciencias atmosféricas

Desaturación de nubes

Considere una porción sobresaturada de una nube. Luego cierre las corrientes ascendentes, el arrastre y cualquier otra fuente/sumidero de vapor y elementos que puedan inducir el crecimiento de las partículas (hielo o agua). Luego espere a que esta sobresaturación se reduzca y se convierta en solo saturación (humedad relativa = 100%), que es el estado de equilibrio. El tiempo que tarda en disiparse la sobresaturación se llama tiempo de relajación. Ocurrirá cuando los cristales de hielo o el contenido de agua líquida crezcan dentro de la nube y, por lo tanto, consumirán la humedad contenida. La dinámica de la relajación es muy importante en la física de las nubes para realizar modelos matemáticos precisos .

En las nubes de agua donde las concentraciones son mayores (cientos por cm ³ ) y las temperaturas son más cálidas (permitiendo así tasas de sobresaturación mucho más bajas en comparación con las nubes de hielo), los tiempos de relajación serán muy bajos (de segundos a minutos). ^[5]

En las nubes de hielo las concentraciones son menores (sólo unas pocas por litro) y las temperaturas son más frías (tasas de sobresaturación muy altas), por lo que los tiempos de relajación pueden llegar a ser de varias horas. El tiempo de relajación se da como

T = (4π DNRK ) ⁻¹ segundos,

dónde:

• D = coeficiente de difusión [m ² /s]
• N = concentración (de cristales de hielo o gotas de agua) [m ⁻³ ]
• R = radio medio de las partículas [m]
• K = capacitancia [sin unidades].

En astronomía

En astronomía , el tiempo de relajación se refiere a grupos de cuerpos que interactúan gravitacionalmente , por ejemplo, las estrellas de una galaxia . El tiempo de relajación es una medida del tiempo que tarda un objeto del sistema (la "estrella de prueba") en ser perturbado significativamente por otros objetos del sistema (las "estrellas de campo"). Se define más comúnmente como el tiempo que tarda la velocidad de la estrella de prueba en cambiar según el orden mismo.

Supongamos que la estrella de prueba tiene una velocidad v . A medida que la estrella se mueve a lo largo de su órbita, su movimiento se verá perturbado aleatoriamente por el campo gravitacional de las estrellas cercanas. Se puede demostrar que el tiempo de relajación es ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{r}&={0.34\sigma ^{3} \over G^{2}m\rho \ln \Lambda }\\&\approx 0.95\times 10^{10}\!\left({\sigma \over 200\,\mathrm {km\,s} ^{-1}}\right)^{\!3}\!\!\left({\rho \over 10^{6}\,M_{\odot }\,\mathrm {pc} ^{-3}}\right)^{\!-1}\!\!\left({m \over M_{\odot }}\right)^{\!-1}\!\!\left({\ln \Lambda \over 15}\right)^{\!-1}\!\mathrm {yr} \end{aligned}}}$

donde ρ es la densidad media, m es la masa de la estrella de prueba, σ es la dispersión de velocidad 1d de las estrellas de campo y ln Λ es el logaritmo de Coulomb .

Varios eventos ocurren en escalas de tiempo relacionadas con el tiempo de relajación, incluido el colapso del núcleo , la equipartición de energía y la formación de una cúspide de Bahcall-Wolf alrededor de un agujero negro supermasivo .

Ver también

• Oscilador de relajación
• Tiempo constante

Referencias

1. Kittel, Charles (1 de enero de 1947). "Investigación de los ultrasonidos y las propiedades de la materia". Informes sobre los avances en física . 11 (1): 205–247. Código Bib : 1947RPPh...11..205K. doi :10.1088/0034-4885/11/1/308.
2. Salón, Phys. Rev. 1948 ^{[ cita completa necesaria ]}
3. Wintner Phys. Rev. 1948. ^{[ cita completa necesaria ]}
4. Química física de Atkins P. y de Paula J. Atkins (8.ª ed., WHFreeman 2006) p.805-7, ISBN 0-7167-8759-8 
5. Rogers, RR; Yau, MK (1989). Un curso breve en física de la nube. Serie Internacional de Filosofía Natural. vol. 113 (3ª ed.). Ciencia Elsevier. ISBN 0750632151.
6. Spitzer, Lyman (1987). Evolución dinámica de los cúmulos globulares. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . pag. 191.ISBN​ 0691083096.