Integración de discos

Método de integración para calcular el volumen

La integración de discos , también conocida en cálculo integral como método de discos , es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución de un material en estado sólido al integrar a lo largo de un eje "paralelo" al eje de revolución . Este método modela la forma tridimensional resultante como una pila de un número infinito de discos de radio variable y espesor infinitesimal. También es posible utilizar los mismos principios con anillos en lugar de discos (el " método de las arandelas ") para obtener sólidos huecos de revoluciones. Esto contrasta con la integración de capas , que integra a lo largo de un eje perpendicular al eje de revolución.

Definición

Función deincógnita

Si la función a girar es una función de x , la siguiente integral representa el volumen del sólido de revolución:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx}$

donde R ( x ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto funciona solo si el eje de rotación es horizontal (ejemplo: y = 3 o alguna otra constante).

Función dey

Si la función a girar es una función de y , la siguiente integral obtendrá el volumen del sólido de revolución:

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

donde R ( y ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto funciona solo si el eje de rotación es vertical (ejemplo: x = 4 o alguna otra constante).

Método de lavado

Para obtener un sólido hueco de revolución (el “método de la arandela”), el procedimiento sería tomar el volumen del sólido de revolución interior y restarlo del volumen del sólido de revolución exterior. Esto se puede calcular en una única integral similar a la siguiente:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx}$

donde R _O ( x ) es la función que está más alejada del eje de rotación y R _I ( x ) es la función que está más cerca del eje de rotación. Por ejemplo, la siguiente figura muestra la rotación a lo largo del eje x de la "hoja" roja encerrada entre las curvas de raíz cuadrada y cuadrática:

Rotación sobre el eje x

El volumen de este sólido es:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Se debe tener cuidado de no evaluar el cuadrado de la diferencia de las dos funciones, sino de evaluar la diferencia de los cuadrados de las dos funciones.

${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}}$

(Esta fórmula sólo funciona para revoluciones alrededor del eje x ).

Para rotar sobre cualquier eje horizontal, simplemente reste el valor de ese eje en cada fórmula. Si h es el valor de un eje horizontal, entonces el volumen es igual a

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Por ejemplo, para rotar la región entre y = −2 x + x ² e y = x a lo largo del eje y = 4 , se integraría de la siguiente manera:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

Los límites de integración son los ceros de la primera ecuación menos los de la segunda. Nótese que al integrar a lo largo de un eje distinto del x , el gráfico de la función que está más alejada del eje de rotación puede no ser tan obvio. En el ejemplo anterior, aunque el gráfico de y = x está, con respecto al eje x, más arriba que el gráfico de y = −2 x + x ² , con respecto al eje de rotación la función y = x es la función interna: su gráfico está más cerca de y = 4 o de la ecuación del eje de rotación en el ejemplo.

La misma idea se puede aplicar tanto al eje y como a cualquier otro eje vertical. Simplemente hay que resolver cada ecuación para x antes de insertarlas en la fórmula de integración.

Véase también

• Sólido de revolución
• Integración de Shell

Referencias

• "Volúmenes de sólidos de revolución". CliffsNotes.com . Consultado el 8 de julio de 2014 .
• Weisstein, Eric W. "Método de los discos". MathWorld .
• Frank Ayres , Elliott Mendelson . Schaum's Outlines : Calculus . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2 . pp. 244–248 ( copia en línea , p. 244, en Google Books . Consultado el 12 de julio de 2013).