Integración de Shell

Método para calcular el volumen de un sólido de revolución

Un volumen se aproxima mediante una colección de cilindros huecos. A medida que las paredes de los cilindros se hacen más delgadas, la aproximación mejora. El límite de esta aproximación es la integral de capas.

La integración de capas ( método de capas en cálculo integral ) es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución , al integrar a lo largo de un eje perpendicular al eje de revolución. Esto contrasta con la integración de discos , que integra a lo largo de un eje paralelo al eje de revolución.

Definición

El método de las capas se desarrolla de la siguiente manera: se considera un volumen en tres dimensiones obtenido al rotar una sección transversal en el plano xy alrededor del eje y . Supongamos que la sección transversal está definida por la gráfica de la función positiva f ( x ) en el intervalo [ a , b ] . Entonces la fórmula para el volumen será:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

Si la función es de la coordenada y y el eje de rotación es el eje x entonces la fórmula se convierte en:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

Si la función gira alrededor de la línea x = h entonces la fórmula se convierte en: ^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h,\end{cases}}}$

y para rotaciones alrededor de y = k se convierte en

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k.\end{cases}}}$

La fórmula se deriva del cálculo de la integral doble en coordenadas polares .

Derivación de la fórmula

Ejemplo

Considérese el volumen, representado a continuación, cuya sección transversal en el intervalo [1, 2] está definida por:

${\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}}$

Con el método shell simplemente utilizamos la siguiente fórmula:

${\displaystyle V=2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx}$

Al expandir el polinomio, la integración se realiza fácilmente dando ⁠π/10⁠ unidades cúbicas.

Comparación con la integración de discos

Se necesita mucho más trabajo para encontrar el volumen si utilizamos la integración de discos . Primero, tendríamos que resolver x . A continuación, como el volumen es hueco en el medio, necesitaríamos dos funciones: una que definiera un sólido exterior y otra que definiera el hueco interior. Después de integrar cada una de estas dos funciones, las restaríamos para obtener el volumen deseado. ${\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}}$

Véase también

• Sólido de revolución
• Integración de discos

Referencias

1. Heckman, Dave (2014). "Método de volumen y capas" (PDF) . Consultado el 28 de septiembre de 2016 .

• Weisstein, Eric W. "Método de las capas". MathWorld .
• Frank Ayres , Elliott Mendelson . Schaum's Outlines : Calculus . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2 . pp. 244–248 ( copia en línea , p. 244, en Google Books )