Sistema de numeración logarítmico

Un sistema de numeración logarítmico ( LNS ) es un sistema aritmético utilizado para representar números reales en computadoras y hardware digital , especialmente para el procesamiento de señales digitales .

Descripción general

Un número, , se representa en un LNS mediante dos componentes: el logaritmo ( ) de su valor absoluto (como una palabra binaria generalmente en complemento a dos ), y su bit de signo ( ): ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle X\rightarrow {\begin{cases}x=\log _{b}{\big |}X{\big |}\,,\\s={\begin{cases}0{\text{ if }}X>0\,,\\1{\text{ if }}X<0\,.\end{cases}}\end{cases}}}$

Un LNS puede considerarse como un número de punto flotante con la mantisa siempre igual a 1 y un exponente no entero . Esta formulación simplifica las operaciones de multiplicación, división, potencias y raíces, ya que se reducen a suma, resta, multiplicación y división, respectivamente.

Por otro lado, las operaciones de suma y resta son más complicadas y se calculan mediante las fórmulas:

${\displaystyle \log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)\,,}$

${\displaystyle \log _{b}{\bigg |}|X|-|Y|{\bigg |}=x+d_{b}(y-x)\,,}$

donde la función "suma" está definida por , y la función "diferencia" por . Estas funciones y también se conocen como logaritmos gaussianos . ${\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})}$ ${\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}{\big |}1-b^{z}{\big |}}$ ${\displaystyle s_{b}(z)}$ ${\displaystyle d_{b}(z)}$

La simplificación de la multiplicación, división, raíces y potencias se ve compensada por el costo de evaluar estas funciones para la suma y la resta. Este costo adicional de evaluación puede no ser crítico cuando se utiliza un LNS principalmente para aumentar la precisión de las operaciones matemáticas de punto flotante.

Historia

Los sistemas numéricos logarítmicos se han inventado y publicado de forma independiente al menos tres veces como alternativa a los sistemas numéricos de punto fijo y punto flotante . ^[1]

Nicholas Kingsbury y Peter Rayner introdujeron la "aritmética logarítmica" para el procesamiento de señales digitales (DSP) en 1971. ^[2]

En 1975, Earl Swartzlander y Aristides Alexopoulos describieron un LNS similar, denominado "sistema de numeración logarítmica con signo" (SLNS) ; en lugar de utilizar la notación de complemento a dos para los logaritmos, los desplazan (escalan los números representados) para evitar logaritmos negativos. ^[3]

Samuel Lee y Albert Edgar describieron un sistema similar, al que llamaron sistema numérico "Focus", en 1977. ^{[4] [1] [5] [6]}

Los fundamentos matemáticos para la suma y la resta en un LNS se remontan a Zecchini Leonelli y Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX. ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

Aplicaciones

A finales del siglo XIX, el ingeniero español Leonardo Torres Quevedo concibió una serie de máquinas mecánicas calculadoras analógicas ^{[12] [13]} y desarrolló una que podía resolver ecuaciones algebraicas con ocho términos, hallando las raíces, incluidas las complejas. Una parte de esta máquina llamada "huso sin fin" permitía la expresión mecánica de la relación , ^[14] con el objetivo de extraer el logaritmo de una suma como suma de logaritmos. ${\displaystyle y=\log(1+10^{x})}$

Se ha utilizado un LNS en la supercomputadora de propósito especial Gravity Pipe ( GRAPE-5 ) ^[15] que ganó el Premio Gordon Bell en 1999.

En el contexto del Microprocesador Logarítmico Europeo (ELM), se describe un esfuerzo sustancial para explorar la aplicabilidad de los LNS como una alternativa viable al punto flotante para el procesamiento de propósito general de números reales de precisión simple. ^{[16] [17]} Un prototipo fabricado del procesador, que tiene una unidad lógica aritmética (ALU) LNS basada en cotransformación de 32 bits, demostró que los LNS son una "alternativa más precisa al punto flotante", con una velocidad mejorada. Una mejora adicional del diseño de LNS basado en la arquitectura ELM ha demostrado su capacidad para ofrecer una velocidad y una precisión significativamente mayores que el punto flotante. ^[18]

Los LNS a veces se utilizan en aplicaciones basadas en FPGA donde la mayoría de las operaciones aritméticas son multiplicación o división. ^[19]

Véase también

• Decibel
• Número subnormal
• Punto flotante cónico (TFP)
• Aritmética de índice de nivel (LI) y aritmética de índice de nivel simétrico (SLI)
• Logaritmo gaussiano
• Logaritmo de Zech
• UIT-T G.711
• Algoritmo de ley A
• Algoritmo de la ley μ

Referencias

1. Lee, Samuel C.; Edgar, Albert D. (septiembre de 1979). "Adenda a "El sistema de números de enfoque"". IEEE Transactions on Computers . C-28 (9). IEEE : 693. doi :10.1109/TC.1979.1675442. ISSN  0018-9340.(NB. El nombre de Nicholas Kingsbury está mal escrito en esta cita).
2. Kingsbury, Nicholas G.; Rayner, Peter JW (28 de enero de 1971). "Filtrado digital mediante aritmética logarítmica". Electronics Letters . 7 (2). Institución de Ingeniería y Tecnología (IET): 56–58. doi :10.1049/el:19710039. ISSN  0013-5194.También reimpreso en: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Computer Arithmetic . Vol. I. Los Alamitos, CA, EE. UU.: IEEE Computer Society Press .
3. Swartzlander, Jr., Earl E.; Alexopoulos, Aristides Georgiou (diciembre de 1975). "El sistema de numeración de signos/logaritmos". IEEE Transactions on Computers . C-24 (12). IEEE : 1238–1242. doi :10.1109/TC.1975.224172. ISSN  0018-9340.También reimpreso en: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Computer Arithmetic . Vol. I. Los Alamitos, CA, EE. UU.: IEEE Computer Society Press .
4. Lee, Samuel C.; Edgar, Albert D. (noviembre de 1977). "El sistema de números de enfoque". IEEE Transactions on Computers . C-26 (11). IEEE : 1167–1170. doi :10.1109/TC.1977.1674770. ISSN  0018-9340.
5. Lee, Samuel C.; Edgar, Albert D. (1977). "Capítulo I.1.: Diseño de microcomputadoras: enfoque en el sistema numérico de microcomputadoras". En Lee, Samuel C. (ed.). Diseño y aplicaciones de microcomputadoras . Academic Press, Inc., págs. 1–40. doi :10.1016/B978-0-12-442350-3.50005-5. ISBN 0-12-442350-7.[1]
6. Edgar, Albert D.; Lee, Samuel C. (marzo de 1979). "Sistema numérico de microcomputadoras FOCUS". Comunicaciones de la ACM . 22 (3). ACM Press : 166–177. doi : 10.1145/359080.359085 .
7. Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Suplemento logarítmico. Théorie des logarithmes adicionalmente et diductifs (en francés). Burdeos: Brossier.(NB. 1802/1803 es el año XI en el Calendario Republicano Francés .)
8. Leonhardi, Gottfried Wilhelm (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (en alemán). Dresde: Walther'sche Hofbuchhandlung.(NB. Una traducción ampliada del Supplément logarithmique de Zecchini Leonelli . Théorie des logarithmes adicionalmente et diductifs .)
9. Gauss, Johann Carl Friedrich (12 de febrero de 1808). "LEONELLI, Suplemento logarítmico". Allgemeine Literaturzeitung (en alemán) (45). Halle-Leipzig: 353–356.
10. "Logaritmo: suma y resta, o logaritmos gaussianos". Encyclopædia Britannica Undécima edición .
11. Dunnington, Guy Waldo (2004) [1955]. Gray, Jeremy; Dohse, Fritz-Egbert (eds.). Carl Friedrich Gauss: titán de la ciencia. Serie Spectrum (edición revisada). Asociación Matemática de Estados Unidos (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8.
12. Horsburg, Ellice Martin (1914). "La solución instrumental de ecuaciones numéricas por D. Gibb, MA". Escrito en la Exposición del Tricentenario de Napier. Instrumentos y métodos de cálculo modernos: un manual de la Exposición del Tricentenario de Napier . Gerstein – Universidad de Toronto. Londres, Reino Unido: G. Bell. p. 263.
13. Mehmke, Rudolf [en alemán] (1908). "I23". Encyclopédie des sciences mathematiques pures et appliquées . París, Francia: Gauthier-Villars. pag. 351.
14. F. Thomas. Breve relato sobre el huso sin fin de Leonardo Torres , Mechanism and Machine Theory, vol. 43, n.º 8, págs. 1055-1063, 2008.
15. Makino, Junichiro; Taiji, Makoto (1998). Simulaciones científicas con computadoras de propósito especial: los sistemas GRAPE. John Wiley & Sons . Bibcode :1998sssc.book.....M. ISBN 978-0-471-96946-4.
16. Coleman, John Nicholas; Softley, Christopher I.; Kadlec, Jiri; Matousek, Rudolf; Licko, Miroslav; Pohl, Zdenek; Hermanek, Antonin (2002-08-07) [2001-11-04]. "El microprocesador logarítmico europeo: una aplicación QR RLS". Acta de la trigésima quinta conferencia de Asilomar sobre señales, sistemas y computadoras (Cat. No. 01CH37256) . Vol. 1. Monterey, CA, EE. UU.: IEEE . págs. 155–159. doi :10.1109/ACSSC.2001.986897. ISBN . 0-7803-7147-X. ISSN  1058-6393.
17. Coleman, John Nicholas; Softley, Christopher I.; Kadlec, Jiri; Matousek, Rudolf; Tichy, Milan; Pohl, Zdenek; Hermanek, Antonin; Benschop, Nico F. (abril de 2008) [26 de febrero de 2008]. "El microprocesador logarítmico europeo". IEEE Transactions on Computers . 57 (4). IEEE : 532–546. doi :10.1109/TC.2007.70791. ISSN  0018-9340.
18. Ismail, R. Che; Coleman, John Nicholas (18 de agosto de 2011) [25 de julio de 2011]. "LNS sin ROM". 20.º Simposio sobre aritmética informática del IEEE de 2011. IEEE . págs. 43–51. doi :10.1109/ARITH.2011.15. ISBN. 978-1-4244-9457-6. ISSN  1063-6889.
19. Fu, Haohuan; Mencer, Oskar; Luk, Wayne (2007-01-02) [2006-12-13]. "Comparación de representaciones numéricas logarítmicas y de punto flotante para aceleración reconfigurable". 2006 IEEE International Conference on Field Programmable Technology . IEEE . págs. 337–340. doi :10.1109/FPT.2006.270342. ISBN 978-0-7803-9728-6.

Lectura adicional

• Muller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (febrero de 1998). «Sistemas numéricos semilogarítmicos» (PDF) . IEEE Transactions on Computers . 47 (2): 145–151. doi :10.1109/12.663760. ISSN  0018-9340. Archivado (PDF) desde el original el 13 de julio de 2018. Consultado el 11 de julio de 2018 .Publicado previamente en: Muller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (julio de 1995). "Sistemas numéricos semilogarítmicos". Actas del 12.º Simposio IEEE sobre aritmética informática ( ARITH 12 ) . Bath, Reino Unido.
• Kahrs, Mark; Brandenburg, Karlheinz, eds. (2002) [1998]. Aplicaciones del procesamiento de señales digitales al audio y la acústica (PDF) . Kluwer Academic Publishing . ISBN 0-7923-8130-0Archivado (PDF) del original el 7 de julio de 2018. Consultado el 7 de julio de 2018 .(NB. Describe un LNS de 13 bits utilizado en los sintetizadores musicales Yamaha durante la década de 1980).
• Kremer, Hermann (29 de agosto de 2002). "Gauss'sche Additionslogarithmen feiern 200. Geburtstag". de.sci.mathematik (en alemán). Archivado desde el original el 7 de julio de 2018 . Consultado el 7 de julio de 2018 .
• Zehendner, Eberhard (verano de 2008). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (guión de la conferencia) (en alemán). Universidad Friedrich Schiller de Jena . Archivado (PDF) desde el original el 9 de julio de 2018 . Consultado el 9 de julio de 2018 .[2]
• Hayes, Brian (septiembre-octubre de 2009). «The Higher Arithmetic». American Scientist . 97 (5): 364–368. doi :10.1511/2009.80.364. Archivado desde el original el 9 de julio de 2018 . Consultado el 9 de julio de 2018 .[3]. También reimpreso en: Hayes, Brian (2017). "Capítulo 8: Aritmética superior". Foolproof, and Other Mathematical Meditations (1.ª ed.). The MIT Press . pp. 113–126. ISBN. 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X . 
• Amir Sabbagh, Molahosseini; de Sousa, Leonel Seabra; Chip-Hong Chang, eds. (2017-03-21). Diseño de sistemas integrados con sistemas aritméticos y numéricos especiales (1.ª ed.). Springer International Publishing AG . doi :10.1007/978-3-319-49742-6. ISBN 978-3-319-49741-9. Número de serie LCCN  2017934074.(389 páginas)

Enlaces externos

• Un sitio que enumera los artículos de LNS
• esprit – Microprocesador logarítmico europeo (anteriormente proyecto «Aritmética logarítmica de alta velocidad» (HSLA))
• Una biblioteca VHDL para la generación de hardware LNS
• Breve relato sobre El huso sin fin de Leonardo Torres