Proceso gaussiano

Modelo estadístico

En teoría de probabilidad y estadística , un proceso gaussiano es un proceso estocástico (una colección de variables aleatorias indexadas por tiempo o espacio), de modo que cada colección finita de esas variables aleatorias tiene una distribución normal multivariante . La distribución de un proceso gaussiano es la distribución conjunta de todas esas (infinitas) variables aleatorias y, como tal, es una distribución sobre funciones con un dominio continuo, por ejemplo, tiempo o espacio.

El concepto de procesos gaussianos recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss porque se basa en la noción de distribución gaussiana ( distribución normal ). Los procesos gaussianos pueden considerarse como una generalización de dimensión infinita de distribuciones normales multivariadas.

Los procesos gaussianos son útiles en el modelado estadístico , ya que se benefician de las propiedades heredadas de la distribución normal. Por ejemplo, si se modela un proceso aleatorio como un proceso gaussiano, se pueden obtener explícitamente las distribuciones de varias cantidades derivadas. Dichas cantidades incluyen el valor promedio del proceso en un rango de tiempos y el error en la estimación del promedio utilizando valores de muestra en un pequeño conjunto de tiempos. Si bien los modelos exactos a menudo escalan mal a medida que aumenta la cantidad de datos, se han desarrollado métodos de aproximación múltiple que a menudo mantienen una buena precisión al tiempo que reducen drásticamente el tiempo de cálculo.

Definición

Un proceso estocástico continuo en el tiempo es gaussiano si y solo si para cada conjunto finito de índices en el conjunto de índices ${\displaystyle \left\{X_{t};t\in T\right\}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \mathbf {X} _{t_{1},\ldots ,t_{k}}=(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})}$$

es una variable aleatoria gaussiana multivariada . ^[1] Esto es lo mismo que decir que cada combinación lineal de tiene una distribución normal (o gaussiana) univariante. ${\displaystyle (X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})}$

Utilizando funciones características de variables aleatorias con denotando la unidad imaginaria tal que , la propiedad gaussiana se puede formular de la siguiente manera: es gaussiana si y solo si, para cada conjunto finito de índices , hay , con valores reales tales que la siguiente igualdad se cumple para todos los , ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle \left\{X_{t};t\in T\right\}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{\ell j}}$ ${\displaystyle \mu _{\ell }}$ ${\displaystyle \sigma _{jj}>0}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\mathbb {E} }\left[\exp \left(i\sum _{\ell =1}^{k}s_{\ell }\,\mathbf {X} _{t_{\ell }}\right)\right]=\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\ell ,j}\sigma _{\ell j}s_{\ell }s_{j}+i\sum _{\ell }\mu _{\ell }s_{\ell }\right),}$$

o . Se puede demostrar que los números y son las covarianzas y medias de las variables en el proceso. ^[2] ${\displaystyle {\mathbb {E} }\left[{\mathrm {e} }^{i\,\mathbf {s} \,(\mathbf {X} _{t}-\mathbf {\mu } )}\right]={\mathrm {e} }^{-\mathbf {s} \,\sigma \,\mathbf {s} /2}}$ ${\displaystyle \sigma _{\ell j}}$ ${\displaystyle \mu _{\ell }}$

Diferencia

La varianza de un proceso gaussiano es finita en cualquier momento , formalmente ^{[3] : p. 515} ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \operatorname {var} [X(t)]={\mathbb {E} }\left[\left|X(t)-\operatorname {E} [X(t)]\right|^{2}\right]<\infty \quad {\text{for all }}t\in T.}$$

Estacionariedad

Para los procesos estocásticos generales, la estacionariedad en sentido estricto implica la estacionariedad en sentido amplio , pero no todos los procesos estocásticos estacionarios en sentido amplio son estacionarios en sentido estricto. Sin embargo, para un proceso estocástico gaussiano, los dos conceptos son equivalentes. ^{[3] : p. 518}

Un proceso estocástico gaussiano es estacionario en sentido estricto si y solo si es estacionario en sentido amplio.

Ejemplo

Existe una representación explícita para los procesos gaussianos estacionarios. ^[4] Un ejemplo simple de esta representación es

$${\displaystyle X_{t}=\cos(at)\,\xi _{1}+\sin(at)\,\xi _{2}}$$

donde y son variables aleatorias independientes con distribución normal estándar . ${\displaystyle \xi _{1}}$ ${\displaystyle \xi _{2}}$

Funciones de covarianza

Un hecho clave de los procesos gaussianos es que pueden definirse completamente por sus estadísticas de segundo orden. ^[5] Por lo tanto, si se supone que un proceso gaussiano tiene media cero, la definición de la función de covarianza define completamente el comportamiento del proceso. Es importante destacar que la definición no negativa de esta función permite su descomposición espectral utilizando la expansión de Karhunen–Loève . Los aspectos básicos que pueden definirse a través de la función de covarianza son la estacionariedad , la isotropía , la suavidad y la periodicidad del proceso . ^{[6] [7]}

La estacionariedad se refiere al comportamiento del proceso con respecto a la separación de dos puntos cualesquiera y . Si el proceso es estacionario, la función de covarianza depende únicamente de . Por ejemplo, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck es estacionario. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x-x'}$

Si el proceso depende únicamente de , la distancia euclidiana (no la dirección) entre y , entonces el proceso se considera isótropo. Un proceso que es simultáneamente estacionario e isótropo se considera homogéneo ; ^[8] en la práctica, estas propiedades reflejan las diferencias (o más bien la falta de ellas) en el comportamiento del proceso dada la ubicación del observador. ${\displaystyle |x-x'|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

En última instancia, los procesos gaussianos se traducen en la toma de valores a priori sobre funciones y la suavidad de estos valores a priori puede ser inducida por la función de covarianza. ^[6] Si esperamos que para los puntos de entrada "cercanos" y sus puntos de salida correspondientes y que también sean "cercanos", entonces está presente el supuesto de continuidad. Si deseamos permitir un desplazamiento significativo, entonces podemos elegir una función de covarianza más aproximada. Ejemplos extremos de este comportamiento son la función de covarianza de Ornstein-Uhlenbeck y la exponencial al cuadrado, donde la primera nunca es diferenciable y la segunda infinitamente diferenciable. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$

La periodicidad se refiere a la inducción de patrones periódicos en el comportamiento del proceso. Formalmente, esto se logra asignando la entrada a un vector bidimensional . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u(x)=\left(\cos(x),\sin(x)\right)}$

Funciones de covarianza usuales

El efecto de elegir diferentes núcleos en la distribución de la función previa del proceso gaussiano. A la izquierda se muestra un núcleo exponencial al cuadrado. En el medio, un núcleo browniano. A la derecha, un núcleo cuadrático.

Hay varias funciones de covarianza comunes: ^[7]

• Constante : ${\displaystyle K_{\operatorname {C} }(x,x')=C}$
• Lineal: ${\displaystyle K_{\operatorname {L} }(x,x')=x^{\mathsf {T}}x'}$
• ruido gaussiano blanco: ${\displaystyle K_{\operatorname {GN} }(x,x')=\sigma ^{2}\delta _{x,x'}}$
• Exponencial al cuadrado: ${\displaystyle K_{\operatorname {SE} }(x,x')=\exp \left(-{\tfrac {d^{2}}{2\ell ^{2}}}\right)}$
• Ornstein-Uhlenbeck: ${\displaystyle K_{\operatorname {OU} }(x,x')=\exp \left(-{\tfrac {d}{\ell }}\right)}$
• Materno: ${\displaystyle K_{\operatorname {Matern} }(x,x')={\tfrac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}\left({\tfrac {{\sqrt {2\nu }}d}{\ell }}\right)^{\nu }K_{\nu }\left({\tfrac {{\sqrt {2\nu }}d}{\ell }}\right)}$
• Periódico: ${\displaystyle K_{\operatorname {P} }(x,x')=\exp \left(-{\tfrac {2}{\ell ^{2}}}\sin ^{2}(d/2)\right)}$
• Cuadrática racional: ${\displaystyle K_{\operatorname {RQ} }(x,x')=\left(1+d^{2}\right)^{-\alpha },\quad \alpha \geq 0}$

Aquí . El parámetro es la escala de longitud característica del proceso (prácticamente, "cuán cerca" deben estar dos puntos y para influirse significativamente entre sí), es el delta de Kronecker y la desviación estándar de las fluctuaciones de ruido. Además, es la función de Bessel modificada de orden y es la función gamma evaluada en . Es importante destacar que una función de covarianza complicada se puede definir como una combinación lineal de otras funciones de covarianza más simples para incorporar diferentes perspectivas sobre el conjunto de datos en cuestión. ${\displaystyle d=|x-x'|}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Gamma (\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Los resultados inferenciales dependen de los valores de los hiperparámetros (por ejemplo , y ) que definen el comportamiento del modelo. Una opción popular para es proporcionar estimaciones a posteriori máximas (MAP) del mismo con algún a priori elegido. Si el a priori es muy cercano a la uniformidad, esto es lo mismo que maximizar la verosimilitud marginal del proceso; la marginalización se realiza sobre los valores del proceso observados . ^[7] Este enfoque también se conoce como máxima verosimilitud II , maximización de la evidencia o Bayes empírico . ^[9] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y}$

Continuidad

Para un proceso gaussiano, la continuidad en probabilidad es equivalente a la continuidad cuadrática media , ^{[10] : 145} y la continuidad con probabilidad uno es equivalente a la continuidad muestral . ^{[11] : 91 "Los procesos gaussianos son discontinuos en puntos fijos".} Esto último implica, pero no está implícito por, la continuidad en probabilidad. La continuidad en probabilidad se cumple si y solo si la media y la autocovarianza son funciones continuas. En contraste, la continuidad muestral fue un desafío incluso para procesos gaussianos estacionarios (como probablemente notó primero Andrey Kolmogorov ), y más desafiante para procesos más generales. ^{[12] : Sect. 2.8  [13] : 69, 81  [14] : 80  [15]} Como es habitual, por un proceso continuo muestral se entiende un proceso que admite una modificación continua muestral . ^{[16] : 292  [17] : 424}

Caja estacionaria

Para un proceso gaussiano estacionario, algunas condiciones en su espectro son suficientes para la continuidad de la muestra, pero no son necesarias. Una condición necesaria y suficiente, a veces llamada teorema de Dudley-Fernique, involucra la función definida por (el lado derecho no depende de debido a la estacionariedad). La continuidad de en probabilidad es equivalente a la continuidad de en Cuando la convergencia de a (como ) es demasiado lenta, la continuidad de la muestra de puede fallar. La convergencia de las siguientes integrales importa: estas dos integrales son iguales de acuerdo con la integración por sustitución El primer integrando no necesita estar acotado como por lo tanto, la integral puede converger ( ) o divergir ( ). Tomando por ejemplo para grande es decir, para pequeño se obtiene cuando y cuando En estos dos casos la función es creciente en pero generalmente no lo es. Además, la condición ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma (h)={\sqrt {{\mathbb {E} }{\big [}X(t+h)-X(t){\big ]}^{2}}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \sigma (h)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle I(\sigma )=\int _{0}^{1}{\frac {\sigma (h)}{h{\sqrt {\log(1/h)}}}}\,dh=\int _{0}^{\infty }2\sigma (e^{-x^{2}})\,dx,}$$ ${\textstyle h=e^{-x^{2}},}$ ${\textstyle x={\sqrt {\log(1/h)}}.}$ ${\displaystyle h\to 0+,}$ ${\displaystyle I(\sigma )<\infty }$ ${\displaystyle I(\sigma )=\infty }$ ${\textstyle \sigma (e^{-x^{2}})={\tfrac {1}{x^{a}}}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle \sigma (h)=(\log(1/h))^{-a/2}}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle I(\sigma )<\infty }$ ${\displaystyle a>1,}$ ${\displaystyle I(\sigma )=\infty }$ ${\displaystyle 0<a\leq 1.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$

(*)   existetal quees monótona en ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,\varepsilon ]}$

no se sigue de la continuidad de y las relaciones evidentes (para todos ) y ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (h)\geq 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \sigma (0)=0.}$

Teorema 1  —  Sea continua y satisfaga (*). Entonces la condición es necesaria y suficiente para la continuidad muestral de ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle I(\sigma )<\infty }$ ${\displaystyle X.}$

Un poco de historia. ^{[17] : 424} La suficiencia fue anunciada por Xavier Fernique en 1964, pero la primera prueba fue publicada por Richard M. Dudley en 1967. ^{[16] : El teorema 7.1} de necesidad fue demostrado por Michael B. Marcus y Lawrence Shepp en 1970. ^{[18] : 380}

Existen procesos continuos de muestra tales que violan la condición (*). Un ejemplo encontrado por Marcus y Shepp ^{[18] : 387} es una serie de Fourier aleatoria lacunar donde son variables aleatorias independientes con distribución normal estándar ; las frecuencias son una secuencia de rápido crecimiento; y los coeficientes satisfacen La última relación implica ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I(\sigma )=\infty ;}$ $${\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(\xi _{n}\cos \lambda _{n}t+\eta _{n}\sin \lambda _{n}t),}$$ ${\displaystyle \xi _{1},\eta _{1},\xi _{2},\eta _{2},\dots }$ ${\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dots }$ ${\displaystyle c_{n}>0}$ ${\textstyle \sum _{n}c_{n}<\infty .}$

${\textstyle {\mathbb {E} }\sum _{n}c_{n}(|\xi _{n}|+|\eta _{n}|)=\sum _{n}c_{n}{\mathbb {E} }[|\xi _{n}|+|\eta _{n}|]={\text{const}}\cdot \sum _{n}c_{n}<\infty ,}$

de donde casi con seguridad, lo que asegura la convergencia uniforme de la serie de Fourier casi con seguridad, y la continuidad de la muestra de ${\textstyle \sum _{n}c_{n}(|\xi _{n}|+|\eta _{n}|)<\infty }$ ${\displaystyle X.}$

Autocorrelación de una serie de Fourier lacunar aleatoria

Su función de autocovariación no es en ningún caso monótona (ver la imagen), así como la función correspondiente $${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{t}X_{t+h}]=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}^{2}\cos \lambda _{n}h}$$ ${\displaystyle \sigma ,}$ $${\displaystyle \sigma (h)={\sqrt {2{\mathbb {E} }[X_{t}X_{t}]-2{\mathbb {E} }[X_{t}X_{t+h}]}}=2{\sqrt {\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}^{2}\sin ^{2}{\frac {\lambda _{n}h}{2}}}}.}$$

El movimiento browniano como integral de los procesos gaussianos

Un proceso de Wiener (también conocido como movimiento browniano) es la integral de un proceso gaussiano generalizado de ruido blanco . No es estacionario , pero tiene incrementos estacionarios .

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso gaussiano estacionario .

El puente browniano es (como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck) un ejemplo de un proceso gaussiano cuyos incrementos no son independientes .

El movimiento browniano fraccional es un proceso gaussiano cuya función de covarianza es una generalización de la del proceso de Wiener.

Estructura RKHS y proceso gaussiano

Sea un proceso gaussiano de media cero con una función de covarianza definida no negativa y sea una función semidefinida positiva y simétrica. Entonces, existe un proceso gaussiano que tiene la covarianza . Además, el espacio de Hilbert de kernel reproductor asociado a coincide con el espacio asociado al teorema de Cameron-Martin de , y todos los espacios , , y son isométricos ^[19] . De ahora en adelante, sea un espacio de Hilbert de kernel reproductor con kernel definido positivo . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left\{X_{t};t\in T\right\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(H)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R(H)}$ ${\displaystyle H_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(R)}$ ${\displaystyle R}$

La ley cero-uno de Driscoll es un resultado que caracteriza las funciones de muestra generadas por un proceso gaussiano: donde y son las matrices de covarianza de todos los pares de puntos posibles, implica $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [K_{n}R_{n}^{-1}]<\infty ,}$$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Pr[f\in {\mathcal {H}}(R)]=1.}$$

Además, implica ^[20] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [K_{n}R_{n}^{-1}]=\infty }$$ $${\displaystyle \Pr[f\in {\mathcal {H}}(R)]=0.}$$

Esto tiene implicaciones importantes cuando , como ${\displaystyle K=R}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [R_{n}R_{n}^{-1}]=\lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [I]=\lim _{n\to \infty }n=\infty .}$$

Como tal, casi todas las trayectorias de muestra de un proceso gaussiano de media cero con núcleo definido positivo estarán fuera del espacio de Hilbert . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(K)}$

Procesos gaussianos con restricciones lineales

Para muchas aplicaciones de interés ya se cuenta con algún conocimiento previo sobre el sistema en cuestión. Consideremos, por ejemplo, el caso en el que la salida del proceso gaussiano corresponde a un campo magnético; en este caso, el campo magnético real está limitado por las ecuaciones de Maxwell y sería deseable encontrar una forma de incorporar esta restricción al formalismo del proceso gaussiano, ya que esto probablemente mejoraría la precisión del algoritmo.

Ya existe un método sobre cómo incorporar restricciones lineales en los procesos gaussianos: ^[21]

Considere la función de salida (con valores vectoriales) que se sabe que obedece la restricción lineal (es decir, es un operador lineal). Entonces, la restricción se puede cumplir eligiendo , donde se modela como un proceso gaussiano, y encontrando que Dado y usando el hecho de que los procesos gaussianos están cerrados bajo transformaciones lineales, el proceso gaussiano para obedecer la restricción se convierte en Por lo tanto, las restricciones lineales se pueden codificar en la función de media y covarianza de un proceso gaussiano. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}(f(x))=0.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ ${\displaystyle f(x)={\mathcal {G}}_{X}(g(x))}$ ${\displaystyle g(x)\sim {\mathcal {GP}}(\mu _{g},K_{g})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{X}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}({\mathcal {G}}_{X}(g))=0\qquad \forall g.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{X}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ $${\displaystyle f(x)={\mathcal {G}}_{X}g\sim {\mathcal {GP}}({\mathcal {G}}_{X}\mu _{g},{\mathcal {G}}_{X}K_{g}{\mathcal {G}}_{X'}^{\mathsf {T}}).}$$

Aplicaciones

Un ejemplo de regresión del proceso gaussiano (predicción) comparado con otros modelos de regresión. ^[22]

Un proceso gaussiano puede utilizarse como una distribución de probabilidad previa sobre funciones en la inferencia bayesiana . ^{[7] [23]} Dado cualquier conjunto de N puntos en el dominio deseado de sus funciones, tome una gaussiana multivariada cuyo parámetro de matriz de covarianza sea la matriz de Gram de sus N puntos con algún kernel deseado , y tome una muestra de esa gaussiana. Para la solución del problema de predicción de múltiples salidas, se desarrolló la regresión del proceso gaussiano para la función con valores vectoriales. En este método, se construye una covarianza "grande", que describe las correlaciones entre todas las variables de entrada y salida tomadas en N puntos en el dominio deseado. ^[24] Este enfoque se elaboró ​​en detalle para los procesos gaussianos con valores matriciales y se generalizó a procesos con "colas más pesadas" como los procesos t de Student . ^[25]

La inferencia de valores continuos con un proceso gaussiano previo se conoce como regresión de proceso gaussiano o kriging ; la extensión de la regresión de proceso gaussiano a múltiples variables objetivo se conoce como cokriging . ^{[26] Los procesos gaussianos son, por lo tanto, útiles como una poderosa herramienta} de interpolación multivariable no lineal . Kriging también se utiliza para extender el proceso gaussiano en el caso de entradas de números enteros mixtos. ^[27]

Los procesos gaussianos también se utilizan comúnmente para abordar problemas de análisis numérico como la integración numérica, la resolución de ecuaciones diferenciales o la optimización en el campo de la numérica probabilística .

Los procesos gaussianos también se pueden utilizar en el contexto de modelos de mezcla de expertos, por ejemplo. ^{[28] [29]} La lógica subyacente de un marco de aprendizaje de este tipo consiste en la suposición de que una función de mapeo dada no puede ser bien capturada por un solo modelo de proceso gaussiano. En cambio, el espacio de observación se divide en subconjuntos, cada uno de los cuales se caracteriza por una función de mapeo diferente; cada uno de estos se aprende a través de un componente de proceso gaussiano diferente en la mezcla postulada.

En las ciencias naturales, los procesos gaussianos se han utilizado como modelos probabilísticos de series temporales astronómicas y como predictores de propiedades moleculares. ^[30]

Predicción del proceso gaussiano o Kriging

Regresión del proceso gaussiano (predicción) con un núcleo exponencial al cuadrado. El gráfico de la izquierda muestra los datos extraídos de la distribución de la función anterior. El gráfico del medio muestra los datos extraídos de la distribución posterior. El gráfico de la derecha muestra la predicción de la media con una desviación estándar sombreada.

Cuando se trata de un problema general de regresión de proceso gaussiano (Kriging), se supone que para un proceso gaussiano observado en las coordenadas , el vector de valores ⁠ ⁠ es solo una muestra de una distribución gaussiana multivariada de dimensión igual al número de coordenadas observadas ⁠ ⁠ . Por lo tanto, bajo el supuesto de una distribución de media cero, ⁠ ⁠ , donde ⁠ ⁠ es la matriz de covarianza entre todos los pares posibles ⁠ ⁠ para un conjunto dado de hiperparámetros θ . ^[7] Como tal, la verosimilitud marginal logarítmica es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x')\sim N(0,K(\theta ,x,x'))}$ ${\displaystyle K(\theta ,x,x')}$ ${\displaystyle (x,x')}$

$${\displaystyle \log p(f(x')\mid \theta ,x)=-{\frac {1}{2}}\left(f(x)^{\mathsf {T}}K(\theta ,x,x')^{-1}f(x')+\log \det(K(\theta ,x,x'))+n\log 2\pi \right)}$$

y maximizar esta probabilidad marginal hacia θ proporciona la especificación completa del proceso gaussiano f . En este punto se puede notar brevemente que el primer término corresponde a un término de penalización por el fallo de un modelo en ajustar los valores observados y el segundo término a un término de penalización que aumenta proporcionalmente a la complejidad de un modelo. Habiendo especificado θ , hacer predicciones sobre valores no observados ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x^{*})}$ en las coordenadas x * es entonces solo una cuestión de extraer muestras de la distribución predictiva donde la estimación de la media posterior A se define como y la estimación de la varianza posterior B se define como: donde ⁠ ⁠ es la covarianza entre la nueva coordenada de estimación x * y todas las demás coordenadas observadas x para un vector de hiperparámetros dado θ , ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ se definen como antes y ⁠ ⁠ es la varianza en el punto x * según lo dictado por θ . Es importante notar que prácticamente la estimación media posterior de ⁠ ⁠ (la "estimación puntual") es simplemente una combinación lineal de las observaciones ⁠ ⁠ ; de manera similar, la varianza de ⁠ ⁠ es en realidad independiente de las observaciones ⁠ ⁠ . Un cuello de botella conocido en la predicción de procesos gaussianos es que la complejidad computacional de la inferencia y la evaluación de probabilidad es cúbica en el número de puntos | x |, y como tal puede volverse inviable para conjuntos de datos más grandes. ^[6] Los trabajos sobre procesos gaussianos dispersos, que generalmente se basan en la idea de construir un conjunto representativo para el proceso dado f , intentan sortear este problema. ^{[31] [32]} El método kriging se puede utilizar en el nivel latente de un modelo no lineal de efectos mixtos para una predicción funcional espacial: esta técnica se llama kriging latente. ^[33] ${\displaystyle p(y^{*}\mid x^{*},f(x),x)=N(y^{*}\mid A,B)}$ $${\displaystyle A=K(\theta ,x^{*},x)K(\theta ,x,x')^{-1}f(x)}$$ $${\displaystyle B=K(\theta ,x^{*},x^{*})-K(\theta ,x^{*},x)K(\theta ,x,x')^{-1}K(\theta ,x^{*},x)^{\mathsf {T}}}$$ ${\displaystyle K(\theta ,x^{*},x)}$ ${\displaystyle K(\theta ,x,x')}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle K(\theta ,x^{*},x^{*})}$ ${\displaystyle f(x^{*})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x^{*})}$ ${\displaystyle f(x)}$

A menudo, la covarianza tiene la forma , donde es un parámetro de escala. Ejemplos de ello son las funciones de covarianza de la clase Matérn. Si este parámetro de escala es conocido o desconocido (es decir, debe marginarse), entonces la probabilidad posterior, , es decir, la probabilidad de los hiperparámetros dado un conjunto de pares de datos de observaciones de y , admite una expresión analítica. ^[34] ${\textstyle K(\theta ,x,x')={\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\tilde {K}}(\theta ,x,x')}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle p(\theta \mid D)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Redes neuronales bayesianas como procesos gaussianos

Las redes neuronales bayesianas son un tipo particular de red bayesiana que resulta de tratar los modelos de aprendizaje profundo y de redes neuronales artificiales de manera probabilística, y de asignar una distribución previa a sus parámetros . El cálculo en redes neuronales artificiales generalmente se organiza en capas secuenciales de neuronas artificiales . La cantidad de neuronas en una capa se denomina ancho de capa. A medida que el ancho de capa aumenta, muchas redes neuronales bayesianas se reducen a un proceso gaussiano con un núcleo compositivo de forma cerrada . Este proceso gaussiano se denomina proceso gaussiano de redes neuronales (NNGP). ^{[7] [35] [36]} Permite evaluar de manera más eficiente las predicciones de las redes neuronales bayesianas y proporciona una herramienta analítica para comprender los modelos de aprendizaje profundo .

Problemas computacionales

En aplicaciones prácticas, los modelos de procesos gaussianos suelen evaluarse en una cuadrícula que da lugar a distribuciones normales multivariadas. El uso de estos modelos para la predicción o la estimación de parámetros mediante máxima verosimilitud requiere la evaluación de una densidad gaussiana multivariada, lo que implica calcular el determinante y la inversa de la matriz de covarianza. Ambas operaciones tienen una complejidad computacional cúbica, lo que significa que incluso para cuadrículas de tamaños modestos, ambas operaciones pueden tener un coste computacional prohibitivo. Este inconveniente condujo al desarrollo de métodos de aproximación múltiple .

Véase también

• Estadística lineal de Bayes
• Interpretación bayesiana de la regularización
• Kriging
• Campo libre gaussiano
• Proceso de Gauss-Markov
• Kriging mejorado con gradiente (GEK)
• Proceso t de Student

Referencias

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Enlaces externos

Literatura

• El sitio web de Procesos Gaussianos, incluido el texto de Procesos Gaussianos para Aprendizaje Automático de Rasmussen y Williams
• Ebden, Mark (2015). "Procesos gaussianos: una breve introducción". arXiv : 1505.02965 [math.ST].
• Una revisión de los campos aleatorios gaussianos y las funciones de correlación
• Aprendizaje por refuerzo eficiente mediante procesos gaussianos

Software

• GPML: una completa caja de herramientas de Matlab para la clasificación y regresión de GP
• STK: una pequeña caja de herramientas (Matlab/Octave) para modelado de Kriging y GP
• Módulo Kriging en el marco UQLab (Matlab)
• CODES Toolbox: implementaciones de Kriging, kriging variacional y modelos multifidelidad (Matlab)
• Función Matlab/Octave para campos gaussianos estacionarios
• Yelp MOE: un motor de optimización de caja negra que utiliza el aprendizaje de procesos gaussianos
• ooDACE Archivado el 9 de agosto de 2020 en Wayback Machine – Una caja de herramientas Matlab de Kriging orientada a objetos y flexible.
• GPstuff: caja de herramientas de procesos gaussianos para Matlab y Octave
• GPy: un marco de trabajo para procesos gaussianos en Python
• GSTools: una caja de herramientas geoestadísticas, que incluye regresión de proceso gaussiano, escrita en Python
• Demostración interactiva de regresión del proceso gaussiano
• Biblioteca básica de procesos gaussianos escrita en C++11
• scikit-learn: una biblioteca de aprendizaje automático para Python que incluye regresión y clasificación de procesos gaussianos
• [1] - El kit de herramientas Kriging (KriKit) se desarrolla en el Instituto de Bio y Geociencias 1 (IBG-1) del Forschungszentrum Jülich (FZJ)

Tutoriales en vídeo

• Fundamentos del proceso gaussiano por David MacKay
• Aprendizaje con procesos gaussianos por Carl Edward Rasmussen
• Inferencia bayesiana y procesos gaussianos por Carl Edward Rasmussen