curva de lorenz

Representación gráfica de la distribución del ingreso o de la riqueza.

Una curva de Lorenz típica

En economía , la curva de Lorenz es una representación gráfica de la distribución del ingreso o de la riqueza . Fue desarrollado por Max O. Lorenz en 1905 para representar la desigualdad en la distribución de la riqueza .

La curva es un gráfico que muestra la proporción del ingreso o riqueza total asumida por el x % inferior de la población, aunque esto no es rigurosamente cierto para una población finita (ver más abajo). A menudo se utiliza para representar la distribución del ingreso , donde muestra para el x % inferior de los hogares, qué porcentaje ( y %) del ingreso total tienen. El porcentaje de hogares se representa en el eje x y el porcentaje de ingresos en el eje y . También se puede utilizar para mostrar la distribución de activos . En tal uso, muchos economistas lo consideran una medida de desigualdad social .

El concepto es útil para describir la desigualdad entre el tamaño de los individuos en ecología ^[1] y en estudios de biodiversidad , donde la proporción acumulada de especies se compara con la proporción acumulada de individuos. ^[2] También es útil en modelos de negocio : por ejemplo, en financiación al consumo , para medir el porcentaje real y % de morosidad atribuible al x % de personas con peores puntuaciones de riesgo . Las curvas de Lorenz también se aplicaron a la epidemiología y la salud pública , por ejemplo, para medir la desigualdad pandémica como la distribución de la incidencia acumulada nacional (y%) generada por la población que reside en áreas (x%) clasificadas con respecto a su tasa de ataque epidémico local . ^[3]

Explicación

Derivación de la curva de Lorenz y el coeficiente de Gini para el ingreso global en 2011

. . Datos de 2005.

Los puntos de la curva de Lorenz representan afirmaciones como "el 20% inferior de todos los hogares tiene el 10% del ingreso total".

Una distribución del ingreso perfectamente igual sería aquella en la que todas las personas tuvieran el mismo ingreso. En este caso, el N % inferior de la sociedad siempre tendría el N % de los ingresos. Esto se puede representar mediante la línea recta y = x ; llamada "línea de perfecta igualdad".

Por el contrario, una distribución perfectamente desigual sería aquella en la que una persona tiene todos los ingresos y los demás no tienen ninguno. En ese caso, la curva estaría en y = 0% para todo x < 100%, y y = 100% cuando x = 100%. Esta curva se llama "línea de desigualdad perfecta".

El coeficiente de Gini es la relación entre el área entre la línea de perfecta igualdad y la curva de Lorenz observada y el área entre la línea de perfecta igualdad y la línea de perfecta desigualdad. Cuanto mayor sea el coeficiente, más desigual será la distribución. En el diagrama de la derecha, esto viene dado por la relación A /( A + B ), donde A y B son las áreas de las regiones marcadas en el diagrama.

Definición y cálculo

Curva de Lorenz para la distribución de la riqueza en EE. UU. en 2016 que muestra riqueza y oligarquía negativas

La curva de Lorenz es un gráfico de probabilidad (un gráfico P – P ) que compara la distribución de una variable con una distribución uniforme hipotética de esa variable. Por lo general, se puede representar mediante una función L ( F ), donde F , la porción acumulada de la población, está representada por el eje horizontal, y L , la porción acumulada de la riqueza o ingreso total, está representada por el eje vertical.

La curva L no tiene por qué ser una función de F que aumenta suavemente . Para las distribuciones de riqueza puede haber oligarquías o personas con riqueza negativa, por ejemplo. ^[4]

Para una distribución discreta de Y dada por los valores y ₁ , ..., y _n en orden no decreciente ( y _i ≤ y _{i +1} ) y sus probabilidades, la curva de Lorenz es la función lineal continua por tramos que conecta los puntos ( F _i , L _i ), i = 0 an , donde F ₀ = 0, L ₀ = 0, y para i = 1 an : ${\displaystyle f(y_{j}):=\Pr(Y=y_{j})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\\S_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\\L_{i}&:={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

Cuando todos y _i son igualmente probables con probabilidades 1/ n, esto se simplifica a

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&={\frac {i}{n}}\\S_{i}&={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{i}\;y_{j}\\L_{i}&={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

Para una distribución continua con la función de densidad de probabilidad f y la función de distribución acumulativa F , la curva de Lorenz L viene dada por:

$${\displaystyle L(F(x))={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$$

LFxLxFx ${\displaystyle \mu }$

Alternativamente, para una función de distribución acumulativa F ( x ) con x ( F ) inversa , la curva de Lorenz L ( F ) viene dada directamente por:

$${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{0}^{F}x(F_{1})\,dF_{1}}{\int _{0}^{1}x(F_{1})\,dF_{1}}}}$$

Es posible que la inversa x ( F ) no exista porque la función de distribución acumulativa tiene intervalos de valores constantes. Sin embargo, la fórmula anterior aún puede aplicarse generalizando la definición de x ( F ):

$${\displaystyle x(F_{1})=\inf\{y:F(y)\geq F_{1}\}}$$

infmínimo

Para ver un ejemplo de curva de Lorenz, consulte Distribución de Pareto .

Propiedades

Un ejemplo práctico de curva de Lorenz: las curvas de Lorenz de Dinamarca, Hungría y Namibia

Una curva de Lorenz siempre comienza en (0,0) y termina en (1,1).

La curva de Lorenz no está definida si la media de la distribución de probabilidad es cero o infinita.

La curva de Lorenz para una distribución de probabilidad es una función continua . Sin embargo, las curvas de Lorenz que representan funciones discontinuas se pueden construir como el límite de las curvas de Lorenz de distribuciones de probabilidad, siendo un ejemplo la línea de desigualdad perfecta.

La información de una curva de Lorenz puede resumirse mediante el coeficiente de Gini y el coeficiente de asimetría de Lorenz . ^[1]

La curva de Lorenz no puede superar la línea de igualdad perfecta.

Una curva de Lorenz que nunca cae por debajo de una segunda curva de Lorenz y al menos una vez pasa por encima de ella, tiene dominio de Lorenz sobre la segunda. ^[5]

Si la variable que se mide no puede tomar valores negativos, la curva de Lorenz:

• no puede hundirse por debajo de la línea de la desigualdad perfecta,
• esta incrementando .

Sin embargo, tenga en cuenta que una curva de Lorenz para el patrimonio neto comenzaría siendo negativa debido al hecho de que algunas personas tienen un patrimonio neto negativo debido a sus deudas.

La curva de Lorenz es invariante bajo escala positiva. Si X es una variable aleatoria, para cualquier número positivo c la variable aleatoria c X tiene la misma curva de Lorenz que X.

La curva de Lorenz se invierte dos veces, una vez alrededor de F = 0,5 y otra alrededor de L = 0,5, mediante negación. Si X es una variable aleatoria con curva de Lorenz L _X ( F ), entonces − X tiene la curva de Lorenz:

L _{− X} = 1 − L _X (1 −  F )

Las traducciones cambian la curva de Lorenz de modo que la brecha de igualdad F  −  L ( F ) cambia en proporción a la relación entre las medias original y traducida. Si X es una variable aleatoria con una curva de Lorenz L _X ( F ) y media μ _X , entonces para cualquier constante c ≠ − μ _X , X + c tiene una curva de Lorenz definida por:

$${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))}$$

Para una función de distribución acumulativa F ( x ) con media μ e inversa (generalizada) x ( F ), entonces para cualquier F con 0 < F < 1:

• Si la curva de Lorenz es derivable:
  $${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}}={\frac {x(F)}{\mu }}}$$
• Si la curva de Lorenz es dos veces diferenciable, entonces la función de densidad de probabilidad f ( x ) existe en ese punto y:
  $${\displaystyle {\frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,}$$
• Si L ( F ) es continuamente diferenciable, entonces la tangente de L ( F ) es paralela a la recta de perfecta igualdad en el punto F ( μ ). Este es también el punto en el que la brecha de igualdad F  −  L ( F ), la distancia vertical entre la curva de Lorenz y la línea de perfecta igualdad, es mayor. El tamaño de la brecha es igual a la mitad de la desviación absoluta media relativa :
  $${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{mean absolute deviation}}{2\,\mu }}}$$

Ver también

• Distribución (economía)
• Distribución de riqueza
• Economía del bienestar
• Métricas de desigualdad de ingresos
• coeficiente GINI
• Índice de Hoover (también conocido como índice de Robin Hood)
• Análisis de la República de China
• Bienestar social (ciencia política)
• Desigualdad económica
• ley de zipf
• distribución de Pareto
• Desviación media
• La curva del elefante

Referencias

1. Damgaard, cristiano; Jacob Weiner (2000). "Describir la desigualdad en el tamaño o la fecundidad de las plantas". Ecología . 81 (4): 1139-1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.
2. Wittebolle, Lieven; et al. (2009). "La uniformidad inicial de la comunidad favorece la funcionalidad bajo estrés selectivo". Naturaleza . 458 (7238): 623–626. Código Bib :2009Natur.458..623W. doi : 10.1038/naturaleza07840. PMID  19270679. S2CID  4419280.
3. Nguyen, Quang D.; Chang, Sheryl L.; Jamerlan, Cristina M.; Prokopenko, Mikhail (2023). "Medir la distribución desigual de la gravedad de la pandemia entre los años del censo, las variantes de preocupación y las intervenciones". Métricas de salud de la población . 21 (17): 17. doi : 10.1186/s12963-023-00318-6 . PMC 10613397 . PMID  37899455. 
4. Li, Jie; Boghosian, Bruce M.; Li, Chengli (14 de febrero de 2018). "El modelo de riqueza afín: un modelo de intercambio de activos basado en agentes que permite agentes de riqueza negativa y su validación empírica". arXiv : 1604.02370v2 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
5. Obispo, John A.; Formby, John P.; Smith, W. James (1991). "Dominio y bienestar de Lorenz: cambios en la distribución del ingreso en Estados Unidos, 1967-1986". La Revista de Economía y Estadística . 73 (1): 134-139. doi :10.2307/2109695. ISSN  0034-6535. JSTOR  2109695.

Otras lecturas

• Lorenz, MO (1905). "Métodos de medición de la concentración de la riqueza". Publicaciones de la Asociación Estadounidense de Estadística . 9 (70). Publicaciones de la Asociación Estadounidense de Estadística, vol. 9, núm. 70: 209–219. Código bibliográfico : 1905PAmSA...9..209L. doi :10.2307/2276207. JSTOR  2276207. S2CID  154048722.
• Gastwirth, Joseph L. (1972). "La estimación de la curva de Lorenz y el índice de Gini". La Revista de Economía y Estadística . 54 (3). Revista de economía y estadística, vol. 54, núm. 3: 306–316. doi :10.2307/1937992. JSTOR  1937992.
• Chakravarty, SR (1990). Números de índice social ético . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-52274-3.
• Anand, Sudhir (1983). Desigualdad y pobreza en Malasia . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-520153-1.

enlaces externos

• WIID Archivado el 13 de marzo de 2011 en Wayback Machine : Base de datos sobre desigualdad de ingresos mundial, una fuente de información sobre desigualdad, recopilada por WIDER (Instituto Mundial de Investigación sobre Economía del Desarrollo, parte de la Universidad de las Naciones Unidas)
• glcurve: módulo de Stata para trazar la curva de Lorenz (escriba "findit glcurve" o "ssc install glcurve" en el mensaje de Stata para instalar)
• Complemento gratuito de STATA para calcular medidas de desigualdad y pobreza
• El software gratuito en línea (calculadora) calcula el coeficiente de Gini, traza la curva de Lorenz y calcula muchas otras medidas de concentración para cualquier conjunto de datos.
• Calculadora gratuita: scripts en línea y descargables ( Python y Lua ) para desigualdades de Atkinson, Gini y Hoover
• Los usuarios del software de análisis de datos R pueden instalar el paquete "ineq" que permite calcular una variedad de índices de desigualdad, incluidos Gini, Atkinson y Theil.
• Un paquete de desigualdad de MATLAB Archivado el 4 de octubre de 2008 en Wayback Machine , que incluye código para calcular los índices de Gini, Atkinson y Theil y para trazar la curva de Lorenz. Hay muchos ejemplos disponibles.
• Un folleto completo sobre la curva de Lorenz que incluye varias aplicaciones, incluida una hoja de cálculo de Excel que representa gráficamente las curvas de Lorenz y calcula los coeficientes de Gini y los coeficientes de variación.
• LORENZ 3.0 es un cuaderno de Mathematica que dibuja curvas de Lorenz de muestra y calcula coeficientes de Gini y coeficientes de asimetría de Lorenz a partir de datos en una hoja de Excel.