Coeficiente de asimetría de Lorenz

Estadística de resumen de la curva de Lorenz

El coeficiente de asimetría de Lorenz ( LAC ) es una estadística resumen de la curva de Lorenz que mide el grado de asimetría de la curva. La curva de Lorenz se utiliza para describir la desigualdad en la distribución de una cantidad (normalmente el ingreso o la riqueza en economía, o el tamaño o la producción reproductiva en ecología). La estadística resumen más común para la curva de Lorenz es el coeficiente de Gini, que es una medida general de la desigualdad dentro de la población. El coeficiente de asimetría de Lorenz puede ser un complemento útil del coeficiente de Gini. El coeficiente de asimetría de Lorenz se define como

${\displaystyle S=F(\mu )+L(\mu )}$

donde las funciones F y L se definen como para la curva de Lorenz y μ es la media. Si S  > 1, entonces el punto donde la curva de Lorenz es paralela a la línea de igualdad está por encima del eje de simetría. En consecuencia, si S  < 1, entonces el punto donde la curva de Lorenz es paralela a la línea de igualdad está por debajo del eje de simetría.

Si los datos surgen de la distribución log-normal , entonces S  = 1, es decir, la curva de Lorenz es simétrica. ^[1]

La estadística de muestra S se puede calcular a partir de n datos de tamaño ordenado, , utilizando las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle (x_{1},...,x_{m},x_{m+1},...,x_{n})}$

${\displaystyle \delta ={\frac {\mu -x_{m}}{x_{m+1}-x_{m}}}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {m+\delta }{n}}}$

${\displaystyle L(\mu )={\frac {L_{m}+\delta x_{m+1}}{L_{n}}}}$,

donde m es el número de individuos con un tamaño o riqueza menor que  μ ^[1] y . Sin embargo, si uno o más de los tamaños de los datos son iguales a μ , entonces S debe definirse como un intervalo en lugar de un número (ver #LAC intervalo cuando algunos datos son iguales a μ). ${\displaystyle L_{i}=\sum _{j=1}^{i}x_{j}}$

El coeficiente de asimetría de Lorenz caracteriza un aspecto importante de la forma de una curva de Lorenz. Indica qué tamaño o clases de riqueza contribuyen más a la desigualdad total de la población, medida por el coeficiente de Gini. Si el LAC es menor que 1, la desigualdad se debe principalmente a la relativa cantidad de individuos pequeños o pobres. Si el LAC es mayor que 1, la desigualdad se debe principalmente a la cantidad de individuos más grandes o más ricos.

Para los ingresos distribuidos según una distribución log-normal , la LAC es idéntica a 1.

Intervalo LAC cuando algún dato es igual a μ

Las fórmulas anteriores suponen que ninguno de los valores de los datos es igual a μ ; en sentido estricto, suponemos que los tamaños de los datos se distribuyen de forma continua, de modo que . De lo contrario, si uno o más de , entonces una sección de la curva de Lorenz es paralela a la diagonal y S debe definirse como un intervalo en lugar de un número. El intervalo puede definirse de la siguiente manera: ${\displaystyle P(x_{i}=\mu )\approx 0}$ ${\displaystyle x_{i}=\mu }$

${\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}+{\frac {L_{m}}{L_{n}}},{\frac {m+a}{n}}+{\frac {L_{m+a}}{L_{n}}}\right]}$

donde a es el número de valores de datos que son iguales a μ .

Notas

1. Damgaard y Weiner (2000)

Referencias

• Damgaard, Christian; Weiner, Jacob (2000). "Descripción de la desigualdad en el tamaño o la fecundidad de las plantas". Ecología . 81 (4): 1139–1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.

Enlaces externos

• LORENZ 3.0 es un cuaderno de Mathematica que dibuja muestras de curvas de Lorenz y calcula coeficientes de Gini y coeficientes de asimetría de Lorenz a partir de datos en una hoja de Excel.