Anillo de Loewy

En matemáticas , un anillo de Loewy izquierdo (derecho) o un anillo semiartiniano izquierdo (derecho) es un anillo en el que cada módulo izquierdo (derecho) distinto de cero tiene un zócalo distinto de cero , o equivalentemente si la longitud de Loewy de cada módulo izquierdo (derecho) está definida. Los conceptos reciben su nombre de Alfred Loewy .

Longitud baja

La longitud y la serie Loewy fueron introducidas por Emil Artin , Cecil J. Nesbitt y Robert M. Thrall  (1944).

Si M es un módulo, entonces defina la serie de Loewy M _α para ordinales α por M ₀  = 0, M _α+1 / M _α  = socle( M / M _α ), y M _α  = ∪ _λ<α  M _λ si α es un ordinal límite . La longitud de Loewy de M se define como el α más pequeño con M  =  M _α , si existe.

Módulos semiartinianos

${\displaystyle {}_{R}M}$es un módulo semiartiniano si, para todos los epimorfismos , donde , el zócalo de es esencial en ${\displaystyle M\rightarrow N}$ ${\displaystyle N\neq 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N.}$

Nótese que si es un módulo artiniano entonces es un módulo semiartiniano. Claramente 0 es semiartiniano. ${\displaystyle {}_{R}M}$ ${\displaystyle {}_{R}M}$

Si es exacto entonces y son semiartinianos si y sólo si son semiartinianos. ${\displaystyle 0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow M''\rightarrow 0}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M''}$ ${\displaystyle M}$

Si es una familia de -módulos, entonces es semiartiniano si y solo si es semiartiniano para todos ${\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{j}}$ ${\displaystyle j\in I.}$

Anillos semiartinianos

${\displaystyle R}$se llama semiartiniano izquierdo si es semiartiniano, es decir, es semiartiniano izquierdo si para cualquier ideal izquierdo , contiene un submódulo simple . ${\displaystyle _{R}R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$

Nótese que semiartiniano izquierdo no implica que sea artiniano izquierdo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Referencias

• Assem, Ibrahim; Simson, Daniel; Skowroński, Andrzej (2006), Elementos de la teoría de la representación de las álgebras asociativas. Vol. 1: Técnicas de la teoría de la representación , London Mathematical Society Student Texts, vol. 65, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-58631-3, Zbl1092.16001 ​
• Artin, Emil ; Nesbitt, Cecil J.; Thrall, Robert M. (1944), Anillos con condición mínima, Publicaciones de la Universidad de Michigan en Matemáticas, vol. 1, Ann Arbor, MI: University of Michigan Press, MR  0010543, Zbl  0060.07701
• Nastasescu, Constantin; Popescu, Nicolae (1968), "Anneaux semi-artiniens", Bulletin de la Société Mathématique de France , 96 : 357–368, ISSN  0037-9484, MR  0238887, Zbl  0227.16014
• Nastasescu, Constantin; Popescu, Nicolae (1966), "Sur la Structure des objets de surees catégories abéliennes", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A , 262 , GAUTHIER-VILLARS/EDITIONS ELSEVIER 23 RUE LINOIS, 75015 PARÍS, FRANCIA: A1295– A1297