Constante de Lebesgue

En matemáticas , las constantes de Lebesgue (dependientes de un conjunto de nodos y de su tamaño) dan una idea de cuán bueno es el interpolador de una función (en los nodos dados) en comparación con la mejor aproximación polinómica de la función (el grado de los polinomios es fijo). La constante de Lebesgue para polinomios de grado como máximo n y para el conjunto de n + 1 nodos T se denota generalmente por Λ _n ( T  ) . Estas constantes reciben su nombre de Henri Lebesgue .

Definición

Fijamos los nodos de interpolación y un intervalo que contiene todos los nodos de interpolación. El proceso de interpolación asigna la función a un polinomio . Esto define una aplicación desde el espacio C ([ a , b ]) de todas las funciones continuas en [ a , b ] a sí misma. La aplicación X es lineal y es una proyección sobre el subespacio Π _n de polinomios de grado n o menor. ${\displaystyle x_{0},...,x_{n}}$ ${\displaystyle [a,\,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

La constante de Lebesgue se define como la norma del operador X. Esta definición requiere que especifiquemos una norma en C ([ a , b ]). La norma uniforme suele ser la más conveniente. ${\displaystyle \Lambda _{n}(T)}$

Propiedades

La constante de Lebesgue limita el error de interpolación: sea p ^∗ la mejor aproximación de f entre los polinomios de grado n o menor. En otras palabras, p ^∗ minimiza ||  p −   f  || entre todos los p en Π _n . Entonces

${\displaystyle \|f-X(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|f-p^{*}\right\|.}$

Probaremos aquí esta afirmación con la norma máxima.

${\displaystyle \|f-X(f)\|\leq \|f-p^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|}$

por la desigualdad triangular . Pero X es una proyección sobre Π _n , por lo que

p ^∗ − X (  f  ) = X ( p ^∗ ) − X (  f  ) = X ( p ^∗ − f  ) .

Con esto finaliza la prueba, ya que . Nótese que esta relación también es un caso especial del lema de Lebesgue . ${\displaystyle \|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|f-p^{*}\|}$

En otras palabras, el polinomio de interpolación es, como máximo, un factor Λ _n ( T  ) + 1 peor que la mejor aproximación posible. Esto sugiere que busquemos un conjunto de nodos de interpolación con una constante de Lebesgue pequeña.

La constante de Lebesgue se puede expresar en términos de los polinomios base de Lagrange :

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.}$

De hecho, tenemos la función de Lebesgue

${\displaystyle \lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.}$

y la constante de Lebesgue (o número de Lebesgue) para la cuadrícula es su valor máximo

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)}$

Sin embargo, no es fácil encontrar una expresión explícita para Λ _n ( T  ) .

Constantes mínimas de Lebesgue

En el caso de nodos equidistantes, la constante de Lebesgue crece exponencialmente . Más precisamente, tenemos la siguiente estimación asintótica

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{n\log n}}\qquad {\text{ as }}n\to \infty .}$

Por otra parte, la constante de Lebesgue crece sólo logarítmicamente si se utilizan nodos de Chebyshev , ya que tenemos

${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots }$

Concluimos nuevamente que los nodos de Chebyshev son una muy buena opción para la interpolación polinómica. Sin embargo, existe una transformación (lineal) sencilla de los nodos de Chebyshev que da una constante de Lebesgue mejor. Sea t _i el i -ésimo nodo de Chebyshev. Luego, definamos

${\displaystyle s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.}$

Para tales nodos:

${\displaystyle \Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots }$

Sin embargo, esos nodos no son óptimos (es decir, no minimizan las constantes de Lebesgue) y la búsqueda de un conjunto óptimo de nodos (que ya se ha demostrado que es único bajo algunas suposiciones) sigue siendo un tema intrigante en las matemáticas actuales. Sin embargo, este conjunto de nodos es óptimo para la interpolación sobre el conjunto de funciones n veces diferenciables cuyas derivadas n -ésimas están acotadas en valores absolutos por una constante M como lo muestra NS Hoang. Usando una computadora , uno puede aproximar los valores de las constantes mínimas de Lebesgue, aquí para el intervalo canónico [−1, 1] : ${\displaystyle C_{M}^{n}[-1,1]}$

Hay una infinidad de conjuntos de nodos en [−1,1] que minimizan, para n fijo > 1, la constante de Lebesgue. Sin embargo, si suponemos que siempre tomamos −1 y 1 como nodos para la interpolación (lo que se denomina configuración de nodos canónica ), entonces dicho conjunto es único y cero-simétrico. Para ilustrar esta propiedad, veremos qué sucede cuando n = 2 (es decir, consideramos 3 nodos de interpolación en cuyo caso la propiedad no es trivial). Se puede comprobar que cada conjunto de nodos (cero-simétricos) de tipo (− a , 0, a ) es óptimo cuando ⁠√ 8/3⁠ ≤ a ≤ 1 (consideramos solo nodos en [−1, 1]). Si forzamos que el conjunto de nodos sea del tipo (−1, b , 1) , entonces b debe ser igual a 0 (observe la función de Lebesgue, cuyo máximo es la constante de Lebesgue). Todos los conjuntos de nodos óptimos arbitrarios (es decir, cero-simétricos o cero-asimétricos) en [−1,1] cuando n = 2 han sido determinados por F. Schurer, y de manera alternativa por H.-J. Rack y R. Vajda (2014).

Si asumimos que tomamos −1 y 1 como nodos para la interpolación, entonces, como lo muestra H.-J. Rack (1984 y 2013), para el caso n = 3, se conocen los valores explícitos de los 4 nodos de interpolación óptimos (únicos y cero-simétricos) y el valor explícito de la constante de Lebesgue mínima. Todos los conjuntos óptimos arbitrarios de 4 nodos de interpolación en [1,1] cuando n = 3 han sido determinados explícitamente, de dos maneras diferentes pero equivalentes, por H.-J. Rack y R. Vajda (2015).

Los puntos de Padua proporcionan otro conjunto de nodos con crecimiento lento (aunque no tan lento como los nodos de Chebyshev) y con la propiedad adicional de ser un conjunto de puntos unisolventes .

Sensibilidad de los valores de un polinomio

Las constantes de Lebesgue también surgen en otro problema. Sea p ( x ) un polinomio de grado n expresado en la forma lagrangiana asociada a los puntos del vector t (es decir, el vector u de sus coeficientes es el vector que contiene los valores ). Sea un polinomio obtenido al cambiar ligeramente los coeficientes u del polinomio original p ( x ) por . Consideremos la desigualdad: ${\displaystyle p(t_{i})}$ ${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$ ${\displaystyle {\hat {u}}}$

${\displaystyle {\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}}$

Esto significa que el error (relativo) en los valores de no será mayor que la constante de Lebesgue apropiada multiplicada por el error relativo en los coeficientes. En este sentido, la constante de Lebesgue puede verse como el número de condición relativo del operador que asigna cada vector de coeficientes u al conjunto de los valores del polinomio con coeficientes u en la forma de Lagrange. En realidad, podemos definir un operador de este tipo para cada base polinómica, pero su número de condición es mayor que la constante de Lebesgue óptima para las bases más convenientes. ${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$

Referencias

• Brutman, L. (1997), "Funciones de Lebesgue para interpolación polinómica: un estudio", Annals of Numerical Mathematics , 4 : 111–127, ISSN  1021-2655
• Smith, Simon J. (2006), "Constantes de Lebesgue en interpolación polinomial" (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 33 : 109–123, ISSN  1787-5021
• Ibrahimoglu, Bayram Ali (2016), "Funciones de Lebesgue y constantes de Lebesgue en interpolación polinómica", Journal of Inequalities and Applications , 2016 : 2016:93, doi : 10.1186/s13660-016-1030-3 , ISSN  1029-242X
• Rack, H.-J. (1984), "Un ejemplo de nodos óptimos para interpolación", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 15 (3): 355–357, doi :10.1080/0020739840150312, ISSN  1464-5211
• Rack, H.-J. (2013), "Un ejemplo de nodos óptimos para interpolación revisado", Advances in Applied Mathematics and Approximation Theory , Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 41 : 117–120, doi :10.1007/978-1-4614-6393-1_7, ISBN 978-1-4614-6392-4, ISSN  2194-1009
• Rack, H.-J.; Vajda, R. (2014), "Sobre la interpolación cuadrática óptima de Lagrange: sistemas de nodos extremos con constante de Lebesgue mínima mediante cálculo simbólico", Serdica Journal of Computing , 8 : 71–96, doi : 10.55630/sjc.2014.8.71-96 , ISSN  1312-6555, S2CID  55568122
• Rack, H.-J.; Vajda, R. (2015), "Sobre la interpolación cúbica óptima de Lagrange: sistemas de nodos extremos con constante de Lebesgue mínima" (PDF) , Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica , 60 (2): 151–171, ISSN  0252-1938
• Schurer, F. (1974), "Una observación sobre los conjuntos extremos en la teoría de la interpolación polinómica", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 9 : 77–79, ISSN  0081-6906
• Hoang, NS (2013), Sobre la distribución de nodos para interpolación y métodos espectrales. , arXiv : 1305.6104 , Bibcode :2013arXiv1305.6104H

• Ibrahimoglu, Bayram Ali (2016), "Funciones de Lebesgue y constantes de Lebesgue en interpolación polinómica", J. Inequalities and Applications , 2016 (93), doi : 10.1186/s13660-016-1030-3 , S2CID  256244753

• Constantes de Lebesgue en MathWorld .